Fiche de révision : Applications et nombres complexes

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire et opérations logiques
2. Quantificateurs et raisonnements
3. Ensembles et opérations
4. Applications et images
5. Images et applications réciproques
6. Injectivité surjectivité et bijections
7. Composition et applications réciproques
8. Ensembles finis et cardinaux
9. Équations quadratiques réelles
10. Nombres complexes et formes polaires
11. Racines n-ièmes des complexes
12. Équations du second degré complexes
13. Systèmes linéaires et pivot de Gauss
14. Matrices et opérations élémentaires
15. Polynômes et division euclidienne
16. Divisibilité et division euclidienne
17. Racines et multiplicités
18. Racines complexes et irréductibilité

📖 1. Vocabulaire et opérations logiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition : Introduit un nouvel objet en le caractérisant par les relations qui le lient aux objets déjà définis.
• Négation : de A, notée ¬A, est vraie si A est fausse et fausse si A est vraie.
• Conjonction : La conjonction A ∧ B est vraie si A et B sont toutes les deux vraies et fausse si au moins l’une des deux est fausse.
• Disjonction : La disjonction A ∨ B est vraie si au moins l’une de A et B est vraie et fausse si elles sont toutes les deux fausses; le « ou » mathématique n’est pas exclusif.
• Implication : L’implication A ⇒ B est fausse seulement lorsque A est vraie et B est fausse, et elle est vraie dans tous les autres cas.

★ À maîtriser

📌 Une proposition ou assertion porte sur des objets déjà définis et possède une seule valeur de vérité, vraie ou fausse, tandis qu’une définition introduit un nouvel objet.

Compléments

📌 Deux propositions A et B sont équivalentes, notées A ⇔ B, si les implications A ⇒ B et B ⇒ A sont toutes les deux vraies.

📌 La transitivité logique affirme que ((A ⇒ B) et (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C).

💡 Astuce mémo

Une assertion est vraie ou fausse, tandis qu’un ensemble regroupe des objets.

📖 2. Quantificateurs et raisonnements

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantificateur universel : Le quantificateur universel ∀ x ∈ E : A(x) est vrai lorsque A(x) est vraie pour tout élément x de E.
• Quantificateur existentiel : Le quantificateur existentiel ∃ x ∈ E / A(x) est vrai lorsqu’il existe au moins un élément x de E tel que A(x) soit vraie, et ∃! indique qu’il n’en existe qu’un seul.

★ À maîtriser

📌 La négation de ∀ x ∈ E : A(x) est ∃ x ∈ E / non A(x), tandis que la négation de ∃ x ∈ E / A(x) est ∀ x ∈ E : non A(x).

📌 Dans ∀ x ∈ E : ∃ y ∈ F / ..., y peut dépendre de x, tandis que dans ∃ y ∈ F / ∀ x ∈ E ..., le même y doit convenir à tous les x.

• La récurrence simple démontre P(n) pour tout n naturel par une initialisation, une hérédité puis une conclusion.

• Pour réfuter ∀ x ∈ E : A(x), il suffit de trouver un élément x de E pour lequel A(x) est fausse.

Compléments

• Pour démontrer A ⇒ B par contraposée, on démontre l’implication non B ⇒ non A.

• Le raisonnement par l’absurde suppose provisoirement A et non B, puis en déduit une contradiction pour établir A ⇒ B.

💡 Astuce mémo

Direct, cas, contraposée, absurde, contre-exemple, récurrence.

📖 3. Ensembles et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Appartenance : Pour un ensemble E et un objet x, x ∈ E signifie que x appartient à E, tandis que x ∉ E signifie que x n’en est pas un élément.
• Ensembles de nombres : Les inclusions successives sont $\mathbb N \subset \mathbb Z \subset D \subset \mathbb Q \subset \mathbb R$, où D est l’ensemble des décimaux et Q celui des rationnels.
• Inclusion : E est inclus dans F, noté E ⊂ F, si tout élément de E appartient à F; deux ensembles sont égaux si chacun est inclus dans l’autre.
• Opérations ensemblistes : Pour des parties A et B de E, A ∩ B contient les éléments communs, A ∪ B les éléments appartenant à A ou B, et le complémentaire de A contient les éléments de E qui ne sont pas dans A.
• Produit cartésien : Le produit cartésien E × F est l’ensemble des couples (x,y) tels que x ∈ E et y ∈ F.
• Ensemble des parties : L’ensemble des parties de E, noté P(E), est l’ensemble de tous les sous-ensembles F tels que F ⊂ E.
• Différence symétrique : La différence symétrique A △ B contient les éléments appartenant à A ou B mais pas aux deux, et vérifie A △ B = (A ∖ B) ∪ (B ∖ A).

📝 Points essentiels

📌 Un ensemble peut être défini en extension par la liste de ses éléments ou en compréhension par une condition satisfaite par ses éléments.

💡 Astuce mémo

Visualiser des ensembles comme des boîtes contenant des éléments, puis leurs zones communes ou distinctes.

📖 4. Applications et images

🔑 Notions clés & Définitions

• Application : Une application f de E dans F associe à chaque élément x ∈ E un unique élément f(x) ∈ F.
• Image directe : Pour A ⊂ E, l’image directe f(A) est l’ensemble des valeurs prises par f sur A : f(A) = {y ∈ F ; ∃ x ∈ A, f(x)=y}.
• Image réciproque : Pour B ⊂ F, l’image réciproque f⁻¹(B) est l’ensemble des x ∈ E tels que f(x) ∈ B.
• Graphe : Le graphe de f est le sous-ensemble de E × F défini par G_f = {(x,f(x)) ; x ∈ E}.
• Restriction : La restriction f|A d’une application f:E→F à une partie A de E est l’application de A dans F qui conserve la même valeur f(x) pour chaque x ∈ A.

📝 Points essentiels

📌 Si A ⊂ B, alors f(A) ⊂ f(B), et l’on a toujours f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B), sans égalité générale.

💡 Astuce mémo

L’image part des éléments de E, tandis que l’image réciproque part des éléments ciblés de F.

📖 5. Images et applications réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Restriction : Application f|A:A→F qui vérifie f|A(x)=f(x) pour tout x∈A.
• Image directe : Ensemble {y∈F ; ∃x∈A, f(x)=y}.
• Image réciproque : Ensemble {x∈E ; f(x)∈B}, qui est une partie de E.

📝 Points essentiels

📌 Si A⊂B, alors f(A)⊂f(B), et l’on a f(A∪B)=f(A)∪f(B) ainsi que f(A∩B)⊂f(A)∩f(B).

💡 Astuce mémo

Image directe : E vers F ; image réciproque : F vers E

📖 6. Injectivité surjectivité et bijections

🔑 Notions clés & Définitions

• Application injective : Une application f:E→F est injective si deux éléments distincts de E ont des images distinctes, ou de façon équivalente si f(x)=f(x′) implique x=x′.
• Application surjective : Une application f:E→F est surjective si tout élément de F est l’image d’au moins un élément de E, ce qui équivaut à f(E)=F.
• Application bijective : Une application f:E→F est bijective si elle est à la fois injective et surjective, c’est-à-dire si tout y∈F possède un unique antécédent dans E.

📝 Points essentiels

• L’application x↦x² de R dans R n’est ni injective ni surjective, tandis que sa restriction à R+ est injective et que l’application x↦x² de R dans R+ est surjective.

💡 Astuce mémo

Injective = antécédent unique au plus ; surjective = antécédent au moins

📖 7. Composition et applications réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition : Si f:E→F et g:F→G, la composée g◦f:E→G est définie par (g◦f)(x)=g(f(x)).
• Application réciproque : Une bijection f:E→F possède une unique application réciproque f⁻¹:F→E telle que f⁻¹◦f=IdE et f◦f⁻¹=IdF.

★ À maîtriser

• La composition des applications est associative : h◦(g◦f)=(h◦g)◦f.

• Si f et g sont injectives, alors g◦f est injective ; si elles sont surjectives, alors g◦f est surjective ; si elles sont bijectives, alors g◦f est bijective.

• Si f:E→F et g:F→G sont bijectives, alors (g◦f)⁻¹=f⁻¹◦g⁻¹, avec inversion de l’ordre de composition.

Compléments

📌 Pour toute application f:E→F, on a f◦IdE=f et IdF◦f=f.

💡 Astuce mémo

Composer puis inverser : (g ◦ f)⁻¹ = f⁻¹ ◦ g⁻¹

📖 8. Ensembles finis et cardinaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Cardinal : Un ensemble E est fini s’il est vide ou s’il existe un entier n∈N* et une bijection de E sur {1,2,…,n}; cet entier unique est le cardinal de E, noté Card E, et Card∅=0.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux ensembles finis A et B, $\operatorname{Card}(A\cup B)+\operatorname{Card}(A\cap B)=\operatorname{Card}(A)+\operatorname{Card}(B)$.

📌 Pour une application f:E→F entre ensembles finis, l’injectivité implique Card E≤Card F, la surjectivité implique Card E≥Card F et la bijectivité implique Card E=Card F.

📌 Si E et F sont finis et ont le même cardinal, alors pour une application f:E→F l’injectivité, la surjectivité et la bijectivité sont équivalentes.

Compléments

📐 Formule — Si Card E=n, alors le nombre de parties de E de cardinal k est C_n^k pour 0≤k≤n et $\operatorname{Card}\mathcal P(E)=2^n$.

📖 9. Équations quadratiques réelles

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour l’équation ax²+bx+c=0 avec a≠0, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

• Si Δ>0, l’équation ax²+bx+c=0 possède deux racines réelles distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

• Si Δ=0, l’équation possède une racine réelle double $x_0=-\frac{b}{2a}$ et ax²+bx+c=a(x−x0)².

• Si Δ<0, l’équation ax²+bx+c=0 n’a aucune racine réelle.

💡 Astuce mémo

Discriminant positif, nul, négatif : deux, une, zéro racine réelle

📖 10. Nombres complexes et formes polaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : S’écrit de manière unique z=x+iy avec x,y∈R; x=Re z est sa partie réelle et y=Im z sa partie imaginaire.
• Conjugué complexe : Nombre complexe z̄=x−iy.
• Module : Le module de z=x+iy est $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ et représente la longueur du vecteur associé à z dans le plan complexe.
• Forme polaire : Tout nombre complexe non nul s’écrit de manière unique sous la forme z=|z|(cos θ+i sin θ) avec θ∈[0,2π[, appelé argument de z et noté Arg z.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour z=x+iy et z′=x′+iy′, on a $z+z′=(x+x′)+i(y+y′)$ et $zz′=(xx′−yy′)+i(xy′+yx′)$.

📌 Pour tout nombre complexe z, $|z|^2=z\overline z$; si z≠0, alors $\frac1z=\frac{\overline z}{|z|^2}$.

📐 Formule — Pour tout réel θ, $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$.

📐 Formule — Pour tout θ∈R et tout n∈N, $(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$.

📌 Pour n≥1, l’équation z^n=1 possède exactement n solutions distinctes $\omega_k=e^{i\frac{2k\pi}{n}}$ pour k∈{0,1,…,n−1}.

📌 Si z0=r0e^{iθ0}≠0 et n≥1, les solutions de z^n=z0 sont $\sqrt[n]{r_0}e^{i(\frac{\theta_0}{n}+\frac{2k\pi}{n})}$ pour k∈{0,1,…,n−1}, et elles sont au nombre de n.

💡 Astuce mémo

Le complexe se place dans le plan : module comme distance, argument comme angle

📖 11. Racines n-ièmes des complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine n-ième : toute solution de l’équation $z^n=z_0$

★ À maîtriser

• L’équation $z^n=1$ possède exactement n solutions distinctes $\omega_k=e^{2ik\pi/n}$ pour $k\in\{0{,}1,\ldots,n-1\}$.

📐 Formule — Si $z_0=r_0e^{i\theta_0}\neq0$, les solutions de $z^n=z_0$ sont $z_k=\sqrt[n]{r_0}e^{i(\theta_0/n+2k\pi/n)}$ pour $k\in\{0{,}1,\ldots,n-1\}$.

Compléments

• Les racines n-ièmes de l’unité sont les sommets d’un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle trigonométrique.

• Si z₁ est une solution de $z^n=z_0$, toutes les solutions sont les produits $z_1\omega_k$ par les racines n-ièmes de l’unité.

💡 Astuce mémo

Les racines n-ièmes se répartissent régulièrement sur un cercle, comme les sommets d’un polygone.

📖 12. Équations du second degré complexes

★ À maîtriser

• Pour calculer une racine carrée cartésienne de $z_0=x_0+iy_0$, on écrit $z=x+iy$, puis on résout $x^2-y^2=x_0$, $x^2+y^2=|z_0|$ et $2xy=y_0$ afin de déterminer x, y et leurs signes.

📐 Formule — Pour l’équation $az^2+bz+c=0$ avec $a\neq0$, si $\delta^2=\Delta=b^2-4ac$, les solutions sont $z_1=\frac{-b-\delta}{2a}$ et $z_2=\frac{-b+\delta}{2a}$.

Compléments

📐 Formule — Pour $z^2=z_0$, on obtient $x^2=\frac{|z_0|+\operatorname{Re}(z_0)}{2}$ et $y^2=\frac{|z_0|-\operatorname{Re}(z_0)}{2}$.

💡 Astuce mémo

Discriminant, racine carrée, deux solutions.

📖 13. Systèmes linéaires et pivot de Gauss

🔑 Notions clés & Définitions

• Système homogène : un système linéaire dont le second membre est nul et qui admet toujours la solution triviale nulle
• Système échelonné : lorsque le nombre de coefficients nuls au début des lignes croît strictement d’une ligne à la suivante

📝 Points essentiels

• Un système linéaire possède soit aucune solution, soit une seule solution, soit une infinité de solutions.

• La méthode du pivot de Gauss transforme un système en un système équivalent échelonné, identifie les inconnues principales et secondaires, puis remonte le système pour exprimer les solutions.

📌 Les solutions d’un système restent inchangées lorsqu’on échange deux lignes, multiplie une ligne par un réel non nul ou ajoute un multiple d’une ligne à une autre.

💡 Astuce mémo

Opérations élémentaires → forme échelonnée → paramètres et solutions.

📖 14. Matrices et opérations élémentaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice : un tableau de nombres réels comportant m lignes et n colonnes
• Matrice transposée : la matrice de taille (n,m) obtenue en échangeant ses lignes et ses colonnes

📝 Points essentiels

• Si A est de taille (m,n) et B de taille (p,q), le produit AB existe seulement si n=p et sa taille est alors (m,q).

📐 Formule — Le coefficient (i,j) du produit matriciel AB est $c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$.

📌 Même lorsque A et B sont des matrices carrées de même taille, le produit matriciel n’est généralement pas commutatif : AB peut être différent de BA.

💡 Astuce mémo

Addition terme à terme, multiplication par lignes et colonnes.

📖 15. Polynômes et division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice inversible : s’il existe une matrice B telle que $AB=I$ et $BA=I$, auquel cas B est notée $A^{-1}$

★ À maîtriser

📐 Formule — Si A est inversible, l’unique solution de $AX=B$ est $X=A^{-1}B$.

• Pour calculer l’inverse d’une matrice inversible A, on résout le système $AX=B$ avec B un vecteur colonne de paramètres, puis on lit dans les expressions de X les coefficients de $A^{-1}$.

Compléments

📐 Formule — Pour des matrices inversibles A et B, on a $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$.

📌 Multiplier une matrice A à gauche par une matrice élémentaire revient à effectuer sur A l’opération élémentaire correspondante sur ses lignes.

💡 Astuce mémo

Degré, divisibilité, quotient, reste.

📖 16. Divisibilité et division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : Pour A,B∈k[X], on dit que B divise A, noté B|A, s’il existe Q∈k[X] tel que A=BQ ; A est alors un multiple de B ou est divisible par B.
• Division euclidienne : Pour A,B∈k[X] avec B≠0, il existe un unique quotient Q et un unique reste R tels que A=BQ+R et deg R<deg B.

★ À maîtriser

📌 Dans la division euclidienne de A par B, le reste est nul si et seulement si B divise A.

Compléments

📌 La divisibilité est transitive : si A|B et B|C, alors A|C ; de plus, si C|A et C|B, alors C|(AU+BV) pour tous U,V∈k[X].

• La division de A=2X^4−X^3−2X^2+3X−1 par B=X^2−X+1 donne Q=2X^2+X−3 et R=−X+2.

💡 Astuce mémo

Diviser : A = BQ + R, puis vérifier deg R < deg B

📖 17. Racines et multiplicités

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’un polynôme : Un élément α∈k est une racine, ou un zéro, de P∈k[X] si P(α)=0.
• Racine de multiplicité : α est une racine de multiplicité k∈N* de P si (X−α)^k divise P mais que (X−α)^(k+1) ne divise pas P ; k=1 correspond à une racine simple et k=2 à une racine double.

📝 Points essentiels

📌 Pour P∈k[X] et α∈k, P(α)=0 si et seulement si (X−α) divise P.

📌 Pour un polynôme non constant, α est une racine de multiplicité k si et seulement s’il existe Q tel que P=(X−α)^kQ avec Q(α)≠0, ce qui équivaut à P(α)=P′(α)=⋯=P^(k−1)(α)=0 et P^(k)(α)≠0.

💡 Astuce mémo

P(α)=0 → (X−α) divise P

📖 18. Racines complexes et irréductibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme irréductible : Un polynôme P∈k[X] de degré au moins 1 est irréductible si ses seuls diviseurs sont les constantes non nulles ou les multiples scalaires de P.
• Fraction rationnelle : Une expression A/B avec A,B∈k[X] et B≠0 ; l’ensemble de ces fractions se note k(X).
• Élément simple : Un élément simple de C(X) est de la forme a/(X−b)^k, tandis qu’un élément simple de R(X) est de la forme α/(X−β)^k ou (aX+b)/(X^2+pX+q)^k avec p^2−4q<0.

★ À maîtriser

• Tout polynôme complexe de degré n≥1 possède au moins une racine complexe et possède exactement n racines complexes si chaque racine est comptée avec sa multiplicité.

📌 Si P est un polynôme à coefficients réels, alors pour tout z∈C on a P(z)=P(z), de sorte que toute racine complexe non réelle possède sa conjuguée comme racine.

• Pour un trinôme réel ax^2+bx+c avec a≠0, le discriminant Δ=b^2−4ac détermine deux racines réelles distinctes si Δ>0, deux racines complexes distinctes si Δ<0 et une racine réelle double si Δ=0.

• Tout polynôme de degré 1 est irréductible sur tout corps k.

• Les polynômes irréductibles de C[X] sont exactement les polynômes de degré 1, tandis que ceux de R[X] sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif.

• Tout polynôme non constant se décompose de manière unique, à l’ordre près des facteurs, en un produit d’un scalaire non nul et de polynômes irréductibles unitaires.

📐 Formule — Sur C, tout polynôme P de degré n≥1 s’écrit $P(x)=λ\prod_{i=1}^{r}(x−α_i)^{k_i}$, où les α_i sont les racines distinctes, k_i leurs multiplicités et $k_1+⋯+k_r=n$.

📐 Formule — Sur R, tout polynôme P de degré n≥1 se factorise en facteurs linéaires réels et facteurs quadratiques réels à discriminant négatif, avec $k_1+⋯+k_r+2(ℓ_1+⋯+ℓ_s)=n$.

📌 Toute fraction rationnelle A/B avec deg A<deg B se décompose de manière unique comme somme d’éléments simples.

• Pour décomposer une fraction A/B, on effectue d’abord la division euclidienne pour obtenir la partie polynomiale, puis on factorise le dénominateur, on écrit la forme théorique des éléments simples et on détermine leurs coefficients.

Compléments

• Un polynôme réel de degré n≥1 possède au plus n racines réelles.

📐 Formule — Pour P(X)=a0+a1X+⋯+anX^n, le polynôme dérivé est $P'(X)=a1+2a2X+⋯+nanX^{n−1}$.

• X^2−1 est réductible dans R[X], X^2+1 est réductible dans C[X] mais irréductible dans R[X], et X^2−2 est réductible dans R[X] mais irréductible dans Q[X].

💡 Astuce mémo

Sur C : degré 1 ; sur R : degré 1 ou degré 2 à discriminant négatif

📊 Tableaux de synthèse

Types d’applications

Irréductibles selon le corps