Fiche de révision : Arithmétique des entiers

📋 Plan du Cours

1. Division euclidienne et divisibilité
2. Critères et nombres premiers
3. Facteurs premiers et fractions
4. PGCD et PPCM

📖 1. Division euclidienne et divisibilité

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans une division euclidienne, le dividende vérifie $a=b\times q+r$, avec un diviseur b, un quotient q et un reste r.

📌 Si $c=a\times b$, alors a et b sont des diviseurs de c, tandis que c est un multiple de a et de b.

Compléments

• La division euclidienne peut être effectuée à la calculatrice avec la touche ÷, puis le quotient et le reste sont relevés séparément.

💡 Astuce mémo

Dividende = diviseur × quotient + reste

📖 2. Critères et nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Nombre entier qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

📌 Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair, par 5 si son chiffre des unités est 5 ou 0, et par 10 si son chiffre des unités est 0.

📌 Un entier est divisible par 3 ou par 9 lorsque la somme de ses chiffres est respectivement un multiple de 3 ou un multiple de 9.

Compléments

📌 Un entier est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un multiple de 4.

• Les nombres premiers strictement inférieurs à 30 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29.

💡 Astuce mémo

2-5-10 sur les unités ; 3-9 sur la somme

📖 3. Facteurs premiers et fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : Fraction simplifiée au maximum.

★ À maîtriser

• La décomposition en facteurs premiers consiste à écrire un entier comme un produit de nombres premiers.

• La décomposition en facteurs premiers de 132 est $132=2^2\times3\times11$.

Compléments

• Le nombre de diviseurs de 132 est 12, et ses diviseurs sont 1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 22, 33, 44, 66 et 132.

• La fraction $\frac{504}{315}$ se simplifie en $\frac{8}{5}$ après décomposition en facteurs premiers et suppression des facteurs communs.

💡 Astuce mémo

Décomposer → compter → simplifier

📖 4. PGCD et PPCM

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : Plus grand diviseur commun de deux nombres entiers.
• PPCM : Plus petit multiple commun de deux nombres entiers.

★ À maîtriser

• Pour calculer le PGCD par décomposition, on identifie les facteurs communs, on conserve pour chacun la plus petite puissance, puis on les multiplie.

• Pour calculer le PPCM par décomposition, on identifie tous les facteurs présents, communs ou non, on conserve pour chacun la plus grande puissance, puis on les multiplie.

Compléments

• Si $A=x^3\times y^4\times z^2$ et $B=x^2\times y^5$, alors $PGCD(A,B)=x^2\times y^4$.

• Si $A=x^3\times y^1\times z^4$ et $B=x^2\times y^5$, alors $PPCM(A,B)=x^3\times y^5\times z^4$.

💡 Astuce mémo

PGCD : petites puissances ; PPCM : grandes puissances

📊 Tableaux de synthèse

PGCD et PPCM