Fiche de révision : Arithmétique des entiers

📋 Plan du Cours

1. Notions fondamentales de l’arithmétique
2. Entiers naturels et appartenance
3. Entiers relatifs et signes
4. Divisibilité et multiples
5. Parité et propriétés arithmétiques
6. Nombres premiers et fractions

📖 1. Notions fondamentales de l’arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Arithmétique : Partie des mathématiques qui étudie les propriétés fondamentales des nombres rationnels.

📝 Points essentiels

• Le chapitre porte sur les ensembles N et Z, les multiples et diviseurs, les nombres pairs et impairs, les opérations sur les nombres positifs ou négatifs et la réduction des fractions.

📖 2. Entiers naturels et appartenance

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Nombres qui servent à dénombrer ; ils sont positifs ou nuls et se notent $\mathbb{N}=\{0;1;2;3;\ldots\}$.
• Symbole d’appartenance : Le symbole $\in$ indique qu’un objet mathématique appartient à un ensemble, tandis que $\notin$ indique qu’il n’y appartient pas.

💡 Astuce mémo

Imaginer une droite graduée commençant à 0 et avançant vers les nombres positifs.

📖 3. Entiers relatifs et signes

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers relatifs : Entiers naturels auxquels on ajoute leurs opposés et se notent $\mathbb{Z}=\{\ldots;-3;-2;-1;0;1;2;\ldots\}$.

📝 Points essentiels

📌 Le produit de deux nombres de même signe est positif, tandis que le produit de deux nombres de signes contraires est négatif.

💡 Astuce mémo

Naturels : positifs ou nuls ; relatifs : naturels et opposés.

📖 4. Divisibilité et multiples

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : Un entier a est divisible par un entier b lorsque la division euclidienne de a par b a un reste nul ; a est alors un multiple de b et b est un diviseur de a.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si a est un multiple de b, alors il existe un entier $k\in\mathbb{Z}$ tel que $a=k\times b$.

Compléments

• 72 est divisible par 24 car $72=24\times3$ ; 72 est donc un multiple de 24 et 24 est un diviseur de 72.

💡 Astuce mémo

Division euclidienne sans reste → multiple et diviseur.

📖 5. Parité et propriétés arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre pair : Entier divisible par 2, c’est-à-dire s’il existe un entier $k\in\mathbb{Z}$ tel que $a=2\times k$.
• Nombre impair : Entier qui n’est pas divisible par 2, c’est-à-dire s’il existe un entier $k\in\mathbb{Z}$ tel que $a=2\times k+1$.

★ À maîtriser

📌 La somme de deux multiples d’un entier a est encore un multiple de a.

Compléments

📌 Le carré d’un nombre impair est impair, car si $a=2k+1$ alors $a^2=2(2k^2+2k)+1$.

• 42 est pair car $42=2\times21$, tandis que 7 est impair car $7=2\times3+1$.

💡 Astuce mémo

Pair : forme 2k ; impair : forme 2k + 1.

📖 6. Nombres premiers et fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Entier qui possède exactement deux diviseurs.

★ À maîtriser

• Un entier est divisible: par 2 si son chiffre des unités est pair, par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5, par 10 si son chiffre des unités est 0, par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3, par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9, par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4

📌 Tout entier naturel non nul s’écrit, à l’ordre près, comme un produit de facteurs premiers.

• 🔄 Pour rendre une fraction irréductible: décomposer le numérateur en facteurs premiers, décomposer le dénominateur en facteurs premiers, simplifier les facteurs communs

Compléments

• Le nombre 1 n’est pas premier car il possède un seul diviseur.

• Les décompositions en facteurs premiers sont $42=2\times3\times7$ et $60=2\times2\times3\times5$.

• La fraction $\frac{42}{60}$ se simplifie en $\frac{7}{10}$ après suppression des facteurs communs 2 et 3.

💡 Astuce mémo

Décomposer en facteurs premiers → simplifier les facteurs communs.

📊 Tableaux de synthèse

Entiers naturels et relatifs