Fiche de révision : Nombres et calculs numériques

📋 Plan du Cours

1. Nombres entiers naturels et relatifs
2. Multiples diviseurs et nombres premiers
3. Fractions irréductibles
4. Nombres décimaux rationnels et réels
5. Intervalles de la droite réelle

📖 1. Nombres entiers naturels et relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres entiers naturels : Éléments de l’ensemble $N = \{0;1;2;3;4;...\}$.
• Nombres entiers relatifs : Éléments de l’ensemble $Z = \{...;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;...\}$.

📝 Points essentiels

📌 L’ensemble des nombres entiers naturels est inclus dans l’ensemble des nombres entiers relatifs, ce qui se note $N \subset Z$.

💡 Astuce mémo

N contient les naturels positifs ou nuls ; Z ajoute les entiers négatifs

📖 2. Multiples diviseurs et nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple et diviseur : Pour deux nombres entiers m et d, s’il existe un entier k tel que $m = k \times d$, alors d divise m, d est un diviseur de m et m est un multiple de d.
• Nombre pair : Un nombre entier n est pair s’il existe un entier k tel que $n = 2k$.
• Nombre impair : Un nombre entier n est impair s’il existe un entier k tel que $n = 2k + 1$.
• Nombre premier : Un nombre premier est un nombre entier naturel qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

📝 Points essentiels

• Comme $55 = 11 \times 5$, 5 et 11 sont des diviseurs de 55 et 55 est un multiple de 5 et de 11.

• Les dix premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29.

💡 Astuce mémo

Écriture m = k × d → d divise m et m est multiple de d

📖 3. Fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux, c’est-à-dire qu’ils n’ont aucun diviseur commun autre que 1.

📝 Points essentiels

• La simplification de $\frac{714}{105} = \frac{2 \times 3 \times 7 \times 17}{3 \times 5 \times 7}$ donne $\frac{34}{5}$, qui est une fraction irréductible.

📖 4. Nombres décimaux rationnels et réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : L’ensemble des nombres décimaux, noté D, est l’ensemble des quotients qui s’écrivent sous la forme $\frac{m}{10^n}$, avec m entier relatif et n entier positif.
• Nombres réels : L’ensemble des nombres réels, noté R, est l’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée appelée droite numérique.

★ À maîtriser

• Le nombre √2 est un nombre réel qui n’est pas rationnel.

Compléments

• Le nombre 12,45 appartient à D car $12{,}45 = \frac{1245}{100} = \frac{1245}{10^2}$.

• Le nombre $-\frac{17}{11}$ appartient à Q par définition.

• Pour montrer que √2 n’est pas rationnel, on suppose √2 = p/q avec p et q entiers naturels non nuls et premiers entre eux, puis on obtient p² = 2q², ce qui rend p et q pairs simultanément, contradiction avec le fait qu’ils sont premiers entre eux.

💡 Astuce mémo

D ⊂ Q ⊂ R

📖 5. Intervalles de la droite réelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle fermé : L’intervalle [3 ; 7] désigne l’ensemble des nombres réels compris entre 3 et 7, bornes incluses.
• Intervalle semi-infini : L’intervalle [5 ; +∞[ désigne l’ensemble des nombres réels supérieurs ou égaux à 5.

★ À maîtriser

📌 Dans la notation d’un intervalle, un crochet tourné vers l’intérieur inclut la borne, tandis qu’un crochet tourné vers l’extérieur l’exclut.

Compléments

• L’intervalle ]2 ; 8] désigne les nombres réels qui vérifient $2 < x \leq 8$.

💡 Astuce mémo

Les crochets ferment ou ouvrent la droite selon que les bornes sont incluses ou exclues