Fiche de révision : Nombres et calculs numériques

📋 Plan du Cours

1. Nombres naturels et relatifs
2. Divisibilité et nombres premiers
3. Fractions irréductibles
4. Nombres décimaux et rationnels
5. Nombres réels et irrationnels
6. Intervalles de la droite réelle

📖 1. Nombres naturels et relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres entiers naturels : forment l’ensemble N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...}
• Nombres entiers relatifs : forment l’ensemble Z = {... ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...}

📝 Points essentiels

📌 L’ensemble N est inclus dans l’ensemble Z, ce qui se note N ⊂ Z ; par exemple, -5 ∉ N mais -5 ∈ Z.

💡 Astuce mémo

N contient les naturels positifs, tandis que Z ajoute les entiers négatifs

📖 2. Divisibilité et nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiples et diviseurs : Pour deux entiers m et d, s’il existe un entier k tel que m = k × d, alors d divise m, d est un diviseur de m et m est un multiple de d.
• Nombres pairs : Un entier n est pair si et seulement s’il existe un entier k tel que n = 2k.
• Nombres impairs : Un entier n est impair si et seulement s’il existe un entier k tel que n = 2k + 1.
• Nombre premier : Un nombre premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

📝 Points essentiels

• Comme 55 = 11 × 5, 5 et 11 sont des diviseurs de 55 et 55 est un multiple de 5 et de 11.

• Les dix premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29.

💡 Astuce mémo

m = k × d entraîne que d divise m et que m est multiple de d

📖 3. Fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux, c’est-à-dire qu’ils n’ont aucun diviseur commun autre que 1.

📝 Points essentiels

• La fraction 714/105 se simplifie en 34/5, qui est irréductible.

📖 4. Nombres décimaux et rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : L’ensemble des nombres décimaux, noté D, est l’ensemble des quotients qui peuvent s’écrire sous la forme m/10^n, avec m un entier relatif et n un entier positif.
• Nombres rationnels : L’ensemble des nombres rationnels, noté Q, est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’un quotient m/n, avec m et n des entiers relatifs et m non nul.

📝 Points essentiels

• 12,45 appartient à D car 12,45 = 1245/100 = 1245/10^2, tandis que -17/11 appartient à Q par définition.

💡 Astuce mémo

D impose un dénominateur puissance de 10, tandis que Q accepte tout quotient entier

📖 5. Nombres réels et irrationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : L’ensemble des nombres réels, noté R, est l’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée appelée droite numérique.

📝 Points essentiels

• Il existe des nombres réels qui ne sont pas rationnels, comme √2.

• La démonstration par l’absurde de l’irrationalité de √2 suppose √2 = p/q avec p et q naturels non nuls et premiers entre eux, déduit que p puis q sont pairs, puis aboutit à une contradiction.

💡 Astuce mémo

√2 rationnel → p et q pairs → contradiction

📖 6. Intervalles de la droite réelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle fermé : L’ensemble des nombres réels compris entre 3 et 7 se note [3 ; 7], et l’ensemble des nombres réels supérieurs ou égaux à 5 se note [5 ; +∞[.
• Intervalle ouvert : L’intervalle ]2 ; 8[ désigne tous les nombres réels x qui vérifient 2 < x < 8.

📝 Points essentiels

• Le symbole +∞ se lit « plus infini » et le symbole -∞ se lit « moins infini ».

💡 Astuce mémo

Les crochets tournés vers l’intérieur ferment l’intervalle, vers l’extérieur l’ouvrent