Fiche de révision : Arithmétique des entiers

📋 Plan du Cours

1. Divisibilité et multiples entiers
2. Propriétés de la divisibilité
3. Combinaisons linéaires et applications
4. Division euclidienne dans les entiers
5. Partie entière et unicité
6. Congruences et classes de restes
7. Applications et algorithmique

📖 1. Divisibilité et multiples entiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : signifie qu’il existe un entier k tel que b=ka

📝 Points essentiels

• 13 divise 52 car 52=4×13.

📌 Les expressions « a divise b », « b est divisible par a », « a est un diviseur de b » et « b est un multiple de a » décrivent la même relation.

💡 Astuce mémo

Diviseur a → multiple b : a|b signifie que b est construit à partir de a.

📖 2. Propriétés de la divisibilité

📝 Points essentiels

📌 Pour des entiers relatifs a et b, a|b est équivalent à −a|b, à a|−b et à −a|−b.

📌 Si a|b et b|c, alors a|c ; cette propriété est la transitivité de la divisibilité.

💡 Astuce mémo

Signe → combinaison linéaire → transitivité

📖 3. Combinaisons linéaires et applications

★ À maîtriser

• Pour résoudre une condition de divisibilité, on peut combiner linéairement deux multiples d’un même entier afin d’obtenir un diviseur plus simple.

• La condition 2m−1|m+4 implique 2m−1|9, puis les solutions entières sont m∈{−4,−1,0,1,2,5}.

Compléments

• Dans un système linéaire, on peut multiplier les équations puis les additionner ou les soustraire pour éliminer une inconnue.

• Le système 4x+y=3 et 3x−y/2=3 a pour solution (x,y)=(9/10,−3/5).

💡 Astuce mémo

Combiner des multiples → réduire le problème à des diviseurs connus.

📖 4. Division euclidienne dans les entiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : l’écriture a=bq+r avec q entier et 0≤r<|b|

📝 Points essentiels

• La division euclidienne de 38 par 13 est 38=3×13+7, avec quotient 3 et reste 7.

💡 Astuce mémo

Quotient q fixé par l’égalité, reste r encadré par 0 et |b|.

📖 5. Partie entière et unicité

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie entière : le plus grand entier inférieur ou égal au réel x, et elle vérifie E(x)≤x<E(x)+1

★ À maîtriser

• Pour établir l’existence de la division euclidienne, on pose q=E(a/b), puis r=a−bq, ce qui donne a=bq+r avec 0≤r<|b|.

📌 Le couple (q,r) de la division euclidienne est unique.

Compléments

• On a E(π)=3, E(5,10²)=0 et E(−3√5)=−7.

💡 Astuce mémo

Partie entière → encadrement → existence du quotient et du reste.

📖 6. Congruences et classes de restes

★ À maîtriser

📌 Pour un entier naturel b non nul, tout entier n s’écrit de manière unique sous la forme n=kb+r, avec r appartenant à {0,1,…,b−1}.

📌 Tout entier est soit pair, de la forme 2k, soit impair, de la forme 2k+1, avec k entier.

Compléments

📌 Tout entier s’écrit sous l’une des formes 3k, 3k+1 ou 3k+2, avec k entier.

• Pour tout entier m, m³−m est divisible par 3.

💡 Astuce mémo

Reste 0, 1, 2, …, b−1 : chaque entier appartient à une classe.

📖 7. Applications et algorithmique

★ À maîtriser

• Pour déterminer les valeurs possibles du diviseur b lorsque le reste de 72 par b vaut 12, on écrit 72=qb+12, donc qb=60, puis b doit être un diviseur positif de 60 supérieur à 12.

• Les valeurs possibles du diviseur b dans cette situation sont 15, 20, 30 et 60.

• Un programme de division euclidienne doit déterminer le quotient et le reste pour tous les entiers relatifs sans utiliser les opérateurs // et %.

Compléments

📌 Si un entier a laisse le reste 4 dans la division par 9 et un entier b laisse le reste 5, alors a+b laisse le reste 0 dans la division par 9.

💡 Astuce mémo

Écrire → soustraire des multiples → obtenir quotient et reste.

📊 Tableaux de synthèse

Écritures selon le diviseur