QCM : Arithmétique des entiers — 16 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que signifie la relation a∣ba\mid b entre deux entiers ?

Il existe un entier kk tel que a=kba=kb.
La différence b−ab-a est un multiple de aa.
Les entiers aa et bb ont la même valeur absolue.
Il existe un entier kk tel que b=kab=ka.

Il existe un entier $$k$$ tel que $$b=ka$$.

Explication

La notation a∣ba\mid b signifie qu’un entier kk vérifie b=kab=ka. Elle indique donc que aa est un diviseur de bb, et non l’inverse.

2. Laquelle de ces formulations décrit la même relation que « aa divise bb » ?

aa est un multiple de bb.
bb est un multiple de aa.
bb est un diviseur de aa.
a+ba+b est un multiple de bb.

$$b$$ est un multiple de $$a$$.

Explication

Dire que aa divise bb revient à dire que bb est un multiple de aa. Les formulations inversant les rôles de aa et bb décrivent une autre relation.

3. Si a∣ba\mid b pour deux entiers relatifs, quelle relation est nécessairement vraie ?

−a∣−b-a\mid -b
a+1∣b+1a+1\mid b+1
∣a∣+1∣∣b∣+1|a|+1\mid |b|+1
a−b∣b−aa-b\mid b-a

$$-a\mid -b$$

Explication

Changer simultanément les signes du diviseur et du multiple conserve la divisibilité, car b=kab=ka entraîne −b=k(−a)-b=k(-a). En revanche, modifier les valeurs par addition ou par décalage ne préserve pas cette propriété en général.

4. Sachant que a∣ba\mid b et b∣cb\mid c, quelle conclusion exprime la transitivité de la divisibilité ?

a+b∣ca+b\mid c
b∣ab\mid a
c∣ac\mid a
a∣ca\mid c

$$a\mid c$$

Explication

La transitivité donne a∣ca\mid c lorsque a∣ba\mid b et b∣cb\mid c. Ces hypothèses n’impliquent pas que bb divise aa.

5. Pour simplifier une condition de divisibilité faisant intervenir deux expressions multiples d’un même entier, quelle méthode est appropriée ?

Former une combinaison linéaire de ces deux multiples.
Comparer les deux multiples sans les combiner.
Ajouter une constante identique aux deux multiples.
Remplacer chaque multiple par sa valeur absolue.

Former une combinaison linéaire de ces deux multiples.

Explication

Une combinaison linéaire de deux multiples d’un même entier reste divisible par cet entier et peut produire un diviseur plus simple. Les transformations fondées sur les valeurs absolues ou sur l’ajout d’une constante ne fournissent pas cette garantie.

6. Quelles sont les solutions entières de la condition 2m−1∣m+42m-1\mid m+4 ?

m∈{−4,−1,0,1,2,5}m\in\{-4,-1,0,1,2,5\}
m∈{−5,−2,−1,0,1,4}m\in\{-5,-2,-1,0,1,4\}
m∈{−4,−1,0,1,2,4}m\in\{-4,-1,0,1,2,4\}
m∈{−3,−2,0,1,3,5}m\in\{-3,-2,0,1,3,5\}

$$m\in\{-4,-1,0,1,2,5\}$$

Explication

Une combinaison linéaire montre que 2m−1∣92m-1\mid 9, puis l’examen des diviseurs entiers de 99 conduit à m∈{−4,−1,0,1,2,5}m\in\{-4,-1,0,1,2,5\}. Les autres ensembles contiennent des valeurs qui ne satisfont pas cette condition ou omettent des solutions valides.

7. Dans une division euclidienne de aa par un entier non nul bb, quelles conditions caractérisent le quotient qq et le reste rr ?

qq est entier et 0<r≤∣b∣0<r\le |b|
qq est entier et 0≤r<∣b∣0\le r<|b|
qq est réel et 0≤r<∣b∣0\le r<|b|
qq est naturel et 0<r≤∣b∣0<r\le |b|

$$q$$ est entier et $$0\le r<|b|$$

Explication

La division euclidienne s’écrit a=bq+ra=bq+r avec qq entier et un reste vérifiant 0≤r<∣b∣0\le r<|b|. Le quotient peut être négatif, tandis que le reste respecte cette borne indépendamment du signe de qq.

8. Dans l’égalité 38=3×13+738=3\times13+7, quels sont le quotient et le reste de la division euclidienne de 3838 par 1313 ?

Le quotient est 77 et le reste est 33.
Le quotient est 1313 et le reste est 33.
Le quotient est 33 et le reste est 77.
Le quotient est 77 et le reste est 1313.

Le quotient est $$3$$ et le reste est $$7$$.

Explication

Dans la forme a=bq+ra=bq+r, le nombre multiplié par le diviseur est le quotient et le terme ajouté est le reste. Ainsi, 33 est le quotient et 77 est le reste.

9. Quelle propriété caractérise la partie entière E(x)E(x) d’un réel xx ?

Elle est l’entier le plus proche de xx.
Elle est toujours supérieure ou égale à xx.
Elle vérifie x≤E(x)<x+1x\le E(x)<x+1.
Elle vérifie E(x)≤x<E(x)+1E(x)\le x<E(x)+1.

Elle vérifie $$E(x)\le x<E(x)+1$$.

Explication

La partie entière est le plus grand entier inférieur ou égal à xx, d’où E(x)≤x<E(x)+1E(x)\le x<E(x)+1. Cette définition se distingue de l’arrondi, qui peut être supérieur à xx.

10. Pour construire la division euclidienne de aa par un entier non nul bb, quelle démarche permet d’obtenir le quotient et le reste ?

Poser r=E(a/b)r=E(a/b) puis calculer q=a−brq=a-br.
Poser r=a+bqr=a+bq puis choisir q=E(b/a)q=E(b/a).
Poser q=E(a/b)q=E(a/b) puis calculer r=a−bqr=a-bq.
Poser q=a−bq=a-b puis calculer r=E(a/b)r=E(a/b).

Poser $$q=E(a/b)$$ puis calculer $$r=a-bq$$.

Explication

La construction commence par q=E(a/b)q=E(a/b), puis définit le reste par r=a−bqr=a-bq, ce qui donne a=bq+ra=bq+r avec les bornes requises. Le reste n’est donc pas obtenu en prenant directement la partie entière du quotient.

11. Que peut-on affirmer au sujet du couple quotient-reste d’une division euclidienne donnée ?

Le couple dépend du choix d’un arrondi de a/ba/b.
Le quotient est unique, mais plusieurs restes sont possibles.
Le couple (q,r)(q,r) est unique.
Le reste est unique, mais plusieurs quotients sont possibles.

Le couple $$(q,r)$$ est unique.

Explication

Pour un dividende et un diviseur fixés, le couple (q,r)(q,r) de la division euclidienne est unique. Le choix d’un autre quotient compatible avec l’égalité modifierait le reste et violerait les conditions imposées.

12. Pour un entier naturel non nul bb, sous quelle forme tout entier nn s’écrit-il de manière unique ?

n=kb+rn=kb+r, avec k∈Nk\in\mathbb N et r∈{1,2,…,b}r\in\{1,2,\ldots,b\}
n=kb+rn=kb+r, avec k∈Zk\in\mathbb Z et r∈{0,1,…,b}r\in\{0,1,\ldots,b\}
n=kb+rn=kb+r, avec k∈Zk\in\mathbb Z et r∈{0,1,…,b−1}r\in\{0,1,\ldots,b-1\}
n=kb+rn=kb+r, avec k∈Zk\in\mathbb Z et r∈{−b+1,…,0}r\in\{-b+1,\ldots,0\}

$$n=kb+r$$, avec $$k\in\mathbb Z$$ et $$r\in\{0,1,\ldots,b-1\}$$

Explication

La division euclidienne fournit une écriture unique avec un quotient entier relatif et un reste compris entre 00 et b−1b-1. Le quotient peut donc être négatif, tandis que le reste appartient à l’ensemble standard des représentants.

13. Quelle caractérisation décrit correctement les entiers pairs et impairs ?

Un entier est pair s’il vaut k/2k/2 et impair s’il vaut (k+1)/2(k+1)/2, avec k∈Zk\in\mathbb Z.
Un entier est pair s’il vaut 3k3k et impair s’il vaut 3k+13k+1, avec k∈Zk\in\mathbb Z.
Un entier est pair s’il vaut 2k2k et impair s’il vaut 2k+12k+1, avec k∈Zk\in\mathbb Z.
Un entier est pair s’il vaut 2k+12k+1 et impair s’il vaut 2k2k, avec k∈Zk\in\mathbb Z.

Un entier est pair s’il vaut $$2k$$ et impair s’il vaut $$2k+1$$, avec $$k\in\mathbb Z$$.

Explication

Les restes modulo 22 sont 00 et 11 : un entier pair s’écrit donc 2k2k et un entier impair 2k+12k+1, avec kk entier. Les formes utilisant le module 33 décrivent une autre classification et ne distinguent pas la parité.

14. Pour déterminer les diviseurs possibles de bb lorsque la division de 7272 par bb laisse un reste de 1212, quelle condition faut-il imposer à bb après avoir écrit 72=qb+1272=qb+12 ?

bb doit être un diviseur positif de 7272 et vérifier b≤12b\leq 12
bb doit être un diviseur quelconque de 6060 et vérifier b≥12b\geq 12
bb doit être un diviseur positif de 6060 et vérifier b>12b>12
bb doit être un diviseur positif de 7272 et vérifier b>12b>12

$$b$$ doit être un diviseur positif de $$60$$ et vérifier $$b>12$$

Explication

L’égalité donne qb=72−12=60qb=72-12=60, donc bb divise 6060, tandis que la règle du reste impose 12<b12<b. Se limiter aux diviseurs de 7272 ou accepter tous les diviseurs de 6060 néglige l’une de ces deux conditions.

15. Quelles sont les valeurs possibles du diviseur bb lorsque la division de 7272 par bb laisse un reste de 1212 ?

12,15,2012,15,20 et 6060
1,2,3,4,51,2,3,4,5 et 66
−60,−30,−20-60,-30,-20 et −15-15
15,20,3015,20,30 et 6060

$$15,20,30$$ et $$60$$

Explication

Les valeurs admissibles sont les diviseurs positifs de 6060 qui sont strictement supérieurs à 1212, soit 15,20,3015,20,30 et 6060. Les diviseurs négatifs ne conviennent pas, et 1212 ne peut pas être un diviseur puisque le diviseur doit dépasser le reste.

16. Quelle exigence caractérise un programme qui réalise une division euclidienne sans utiliser les opérateurs //// et %\% ?

Il utilise une soustraction répétée limitée aux diviseurs positifs
Il détermine le quotient et le reste pour tout entier relatif
Il calcule le quotient pour les entiers positifs et ignore le reste
Il détermine le reste pour les entiers positifs et négatifs

Il détermine le quotient et le reste pour tout entier relatif

Explication

Le programme doit produire à la fois le quotient et le reste, et fonctionner pour tous les entiers relatifs sans recourir directement à //// ni à %\%. Calculer une seule composante ou restreindre les entrées aux entiers positifs ne satisfait pas cette exigence.

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Que signifie la divisibilité de b par a, notée a|b ?

Il existe un entier k tel que b = ka.

Pourquoi 13 divise-t-il 52 ?

Parce que 52 = 4 × 13.

Que décrivent les expressions « a divise b » et « b est un multiple de a » ?

Elles décrivent la même relation de divisibilité.

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