Fiche de révision : Arithmétique et divisibilité

📋 Plan du Cours

1. Divisibilité et multiples
2. Propriétés de divisibilité
3. Division euclidienne
4. Partie entière et restes
5. Congruences et calculs
6. Inverses et critères

📖 1. Divisibilité et multiples

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : Un entier relatif b non nul divise un entier relatif a s’il existe un entier relatif k tel que a = kb.
• Entiers premiers entre eux : Deux entiers relatifs sont premiers entre eux si leurs seuls diviseurs communs sont 1 et −1.

★ À maîtriser

📌 0 est un multiple de tout entier car 0 = 0 × n pour tout entier n.

Compléments

• 63 est un multiple de −7 car 63 = (−7) × (−9).

• Les diviseurs de 6 sont 1, 2, 3, 6, −1, −2, −3 et −6.

💡 Astuce mémo

Diviseur : il partage ; multiple : il est obtenu par multiplication

📖 2. Propriétés de divisibilité

★ À maîtriser

📌 Si c divise b et b divise a, alors c divise a.

📌 Si c divise a et c divise b, alors c divise toute combinaison linéaire entière ma + nb, où m et n sont des entiers relatifs.

Compléments

• Pour montrer que deux entiers consécutifs sont premiers entre eux, tout diviseur commun de n et n + 1 divise leur différence (n + 1) − n = 1.

💡 Astuce mémo

Divisibilité en chaîne → divisibilité du composé

📖 3. Division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : Pour a entier naturel et b entier naturel non nul, il existe un unique couple (q,r) d’entiers naturels tel que a = bq + r et 0 ≤ r < b.

★ À maîtriser

• Dans la division euclidienne de 103 par 13, le quotient est 7 et le reste est 12, car 103 = 13 × 7 + 12.

📌 Dans la division euclidienne d’un entier relatif a par un entier relatif b non nul, le reste vérifie 0 ≤ r < |b|.

Compléments

• La division euclidienne de −2 par 26 s’écrit −2 = 26 × (−1) + 24.

• Une division euclidienne par b possède exactement b restes possibles : 0, 1, 2, jusqu’à b − 1.

💡 Astuce mémo

Dividende = diviseur × quotient + reste

📖 4. Partie entière et restes

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie entière : La partie entière E(x) d’un réel x est l’unique entier vérifiant E(x) ≤ x < E(x) + 1.

★ À maîtriser

• On a E(7) = 7, E(7,7) = 7, E(−7) = −7 et E(−7,7) = −8.

Compléments

• La fonction partie entière se représente graphiquement comme une fonction en escalier.

📐 Formule — Le quotient de la division euclidienne de a par b peut être obtenu par $q = E\left(\frac{a}{b}\right)$ lorsque b est positif.

💡 Astuce mémo

Une fonction en escalier, avec un entier sous chaque marche

📖 5. Congruences et calculs

🔑 Notions clés & Définitions

• Congruence modulo : Deux entiers relatifs a et b sont congrus modulo c, avec c entier naturel non nul, si et seulement si a − b est un multiple de c.

★ À maîtriser

• Deux entiers sont congrus modulo c si et seulement s’ils ont le même reste dans la division euclidienne par c.

• La congruence modulo c est transitive : si a ≡ a′ [c] et a′ ≡ a″ [c], alors a ≡ a″ [c].

• Les congruences se conservent par addition, soustraction et multiplication : si a ≡ a′ [c] et b ≡ b′ [c], alors a + b ≡ a′ + b′ [c], a − b ≡ a′ − b′ [c] et ab ≡ a′b′ [c].

Compléments

📌 Si a ≡ b [c], alors an ≡ bn [c] pour tout entier naturel n.

💡 Astuce mémo

Même reste modulo c ↔ différence multiple de c

📖 6. Inverses et critères

🔑 Notions clés & Définitions

• Inverse modulo : Un entier a est inversible modulo n, avec n ≥ 2, s’il existe un entier b tel que ab ≡ 1 [n].

★ À maîtriser

• 3 est inversible modulo 5 car 3 × 2 ≡ 1 [5].

📌 Un entier naturel est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3, par 4 si le nombre formé de ses deux derniers chiffres est divisible par 4, par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5, et par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Compléments

• 4 n’admet pas d’inverse modulo 6.

📊 Tableaux de synthèse

Critères de divisibilité usuels