Fiche de révision : Calculs avec nombres rationnels

📋 Plan du Cours

1. Addition des nombres relatifs
2. Parenthèses et règles de signes
3. Produits et quotients relatifs
4. Priorités opératoires
5. Fractions et opérations
6. Puissances et calculs

📖 1. Addition des nombres relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Addition de nombres relatifs : Consiste à conserver le signe lorsque les nombres ont le même signe, et à conserver le signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro lorsque les signes sont différents.

★ À maîtriser

• 🔄 Pour additionner plusieurs gains et pertes:
  1. Regrouper les gains entre eux
  2. Regrouper les pertes entre elles
  3. Comparer les deux sommes sous la forme gain − perte

Compléments

• Dans le calcul 35 − 72, la perte 72 est plus grande que le gain 35, donc le résultat est −37.

💡 Astuce mémo

Gain positif, perte négative : le plus éloigné de zéro impose le signe.

📖 2. Parenthèses et règles de signes

📝 Points essentiels

📌 Lorsqu’un signe + précède des parenthèses, on supprime les parenthèses en conservant les valeurs et les signes qui sont à l’intérieur.

📌 Lorsqu’un signe − précède des parenthèses, on change tous les signes à l’intérieur avant de supprimer les parenthèses.

💡 Astuce mémo

Devant +, les signes restent ; devant −, tous les signes changent.

📖 3. Produits et quotients relatifs

★ À maîtriser

📌 Le produit de nombres relatifs est positif lorsque le nombre de facteurs négatifs est pair et négatif lorsque ce nombre est impair.

• Pour multiplier deux nombres relatifs, on détermine d’abord le signe avec la règle des signes, puis on multiplie leurs distances à zéro.

• Pour diviser deux nombres relatifs, on détermine d’abord le signe avec la règle des signes, puis on effectue le quotient de leurs distances à zéro.

Compléments

• Le produit −2 × 5 × 8 × (−1) × 5 vaut 400, car il contient deux facteurs négatifs.

💡 Astuce mémo

Pair positif, impair négatif.

📖 4. Priorités opératoires

📝 Points essentiels

• L’ordre de priorité est:
  • Parenthèses
  • Puissances
  • Multiplications ou divisions
  • Additions ou soustractions

💡 Astuce mémo

Parenthèses → puissances → multiplications ou divisions → additions ou soustractions.

📖 5. Fractions et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction équivalente : Une fraction ne change pas lorsqu’on multiplie ou divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre différent de zéro.

📝 Points essentiels

• Pour comparer deux fractions, on les écrit d’abord avec le même dénominateur, puis on compare leurs numérateurs.

📌 Pour additionner ou soustraire des fractions ayant le même dénominateur, on conserve le dénominateur et on additionne ou soustrait les numérateurs.

• Pour additionner ou soustraire des fractions ayant des dénominateurs différents, on les écrit d’abord avec un même dénominateur, puis on applique la règle des dénominateurs communs.

📌 Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux après avoir appliqué la règle des signes.

• Pour calculer une proportion d’une quantité ou d’une fraction, on multiplie la fraction par la quantité ou par la fraction concernée.

📌 Diviser une fraction par un nombre revient à multiplier cette fraction par l’inverse de ce nombre.

💡 Astuce mémo

Même dénominateur pour comparer, additionner et soustraire ; inverse pour diviser.

📖 6. Puissances et calculs

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Correspond à une multiplication successive de ce nombre, selon la relation $a^n = a \times a \times a \times \dots \times a$ avec n facteurs égaux à a.

★ À maîtriser

📌 Pour tout nombre a, $a^0 = 1$ et $a^1 = a$.

📌 Dans un calcul, −2² vaut −4, tandis que (−2)² vaut 4, car la puissance porte sur 2 dans le premier cas et sur −2 dans le second.

Compléments

• Le calcul (−5)³ donne −125, car le produit de trois facteurs négatifs est négatif.

💡 Astuce mémo

−2² = −4, mais (−2)² = 4 : la parenthèse change le résultat.

📊 Tableaux de synthèse

Règles de signes