QCM : Arithmétique et divisibilité — 16 questions

Question 1

1. Que signifie l’énoncé « $b$ divise $a$ » pour des entiers relatifs, avec $b\neq 0$ ?

Il existe un entier relatif

k

tel que

a=kb

.

Il existe un entier relatif

k

tel que

a=b-k

.

Il existe un entier naturel

k

tel que

a=b+k

.

Il existe un entier relatif

k

tel que

b=ka

.

Explication

La divisibilité signifie qu’un entier relatif $k$ permet d’écrire $a=kb$ . La confusion fréquente consiste à inverser les rôles : dans cette relation, $b$ est le diviseur et $a$ est le multiple.

Answer

Il existe un entier relatif $$k$$ tel que $$a=kb$$.

Question 2

2. Quelle affirmation explique pourquoi $0$ est un multiple de tout entier relatif $n$ ?

Tout entier relatif possède

0

comme diviseur non nul.

On peut écrire

0=0\times n

avec un coefficient entier.

On peut écrire

n=0\times 0

avec un coefficient entier.

Le produit de deux entiers relatifs non nuls vaut parfois

0

.

Explication

La relation $0=0\times n$ montre directement que $0$ est un multiple de $n$ . En revanche, cela ne signifie pas que $0$ soit un diviseur non nul de chaque entier.

Answer

On peut écrire $$0=0\times n$$ avec un coefficient entier.

Question 3

3. Quels sont les seuls diviseurs communs de deux entiers relatifs premiers entre eux ?

1

et

-1

0

et

1

Leurs deux valeurs absolues

Tous leurs diviseurs positifs

Explication

Deux entiers relatifs sont premiers entre eux lorsque leurs seuls diviseurs communs sont $1$ et $-1$ . La présence d’un autre diviseur commun non inversible exclurait cette propriété.

Answer

$$1$$ et $$-1$$

Question 4

4. Si $c$ divise $b$ et $b$ divise $a$ , quelle conclusion est valide ?

c

divise

a

a+b

divise

c

a

divise

c

b

et

c

sont premiers entre eux

Explication

La divisibilité est transitive : un facteur de $b$ est aussi un facteur de $a$ lorsque $b$ divise $a$ . La relation ne s’inverse pas automatiquement pour conclure que $a$ divise $c$ .

Answer

$$c$$ divise $$a$$

Question 5

5. Quelle condition caractérise la division euclidienne de $a$ par un entier naturel non nul $b$ ?

Il existe plusieurs couples

(q,r)

tels que

a=bq+r

et

r\ge b

.

Il existe un unique couple

(q,r)

tel que

a=b+r+q

et

0<r\le b

.

Il existe un unique couple

(q,r)

tel que

a=bq+r

et

0\le r<b

.

Il existe un couple

(q,r)

tel que

a=bq-r

et

r<0

.

Explication

La division euclidienne repose sur l’écriture unique $a=bq+r$ avec un reste naturel vérifiant $0\le r<b$ . La borne $r<b$ distingue le reste euclidien d’une décomposition quelconque.

Answer

Il existe un unique couple $$(q,r)$$ tel que $$a=bq+r$$ et $$0\le r<b$$.

Question 6

6. Dans la division euclidienne de $103$ par $13$ , quels sont le quotient et le reste ?

Le quotient est

6

et le reste est

25

.

Le quotient est

7

et le reste est

13

.

Le quotient est

7

et le reste est

12

.

Le quotient est

8

et le reste est

-1

.

Explication

On vérifie l’égalité $103=13\times7+12$ , et $12$ respecte la condition $0\le12<13$ . Avec le quotient $6$ , le reste serait $25$ , supérieur au diviseur, ce qui ne convient pas à une division euclidienne.

Answer

Le quotient est $$7$$ et le reste est $$12$$.

Question 7

7. Lorsqu’un entier relatif $a$ est divisé euclidiennement par un entier relatif non nul $b$ , quelle inégalité doit vérifier le reste $r$ ?

0\le r<|b|

|b|\le r<2|b|

-|b|<r<0

0<r\le b

Explication

Le reste est positif ou nul et strictement inférieur à la valeur absolue du diviseur, soit $0\le r<|b|$ . Cette formulation reste valable lorsque $b$ est négatif, car la borne utilise $|b|$ .

Answer

$$0\le r<|b|$$

Question 8

8. Quel entier vérifie la définition de la partie entière de $x=-7,7$ ?

8

7

-8

-7

Explication

La partie entière est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$ , donc $E(-7,7)=-8$ . La troncature décimale donnerait $-7$ , mais elle ne respecte pas la définition de la partie entière.

Answer

Une fonction en escalier

Answer

$$a-b$$ est un multiple de $$c$$

Answer

Ils ont le même reste

Answer

$$a\equiv a''\ [c]$$

Answer

$$ab\equiv a'b'\ [c]$$

Answer

Il existe un entier $$b$$ tel que $$ab\equiv1\ [n]$$

Answer

Parce que $$3\times2\equiv1\ [5]$$

Question 9

9. Quelle représentation graphique correspond à la fonction partie entière ?

Une parabole symétrique

Une fonction en escalier

Une droite affine continue

Une courbe exponentielle

Explication

La fonction partie entière est constante sur des intervalles de longueur un et prend des sauts aux entiers, ce qui forme une représentation en escalier. Une fonction affine continue ne présente pas ces discontinuités par sauts.

Question 10

10. Quelle condition caractérise la congruence de deux entiers $a$ et $b$ modulo $c$ , où $c$ est non nul ?

a+b

est un multiple de

c

ab

est égal à un multiple de

c

a-b

est un multiple de

c

a

et

b

sont tous deux multiples de

c

Explication

Par définition, $a$ et $b$ sont congrus modulo $c$ lorsque leur différence $a-b$ est divisible par $c$ . La divisibilité de leur somme ou de leur produit ne suffit pas à établir cette congruence.

Question 11

11. Deux entiers congrus modulo $c$ ont quelle propriété dans leurs divisions euclidiennes par $c$ ?

Ils ont le même quotient

Ils ont des quotients opposés

Ils ont le même reste

Ils ont des diviseurs communs

Explication

La congruence modulo $c$ équivaut à l’égalité des restes obtenus dans les divisions euclidiennes par $c$ . Les quotients peuvent différer puisque les deux entiers peuvent être éloignés de plusieurs multiples de $c$ .

Question 12

12. Si $a\equiv a'\ [c]$ et $a'\equiv a''\ [c]$ , quelle congruence peut-on conclure ?

a-a'\equiv a''\ [c]

a\equiv a'a''\ [c]

a\equiv a''\ [c]

a+a'\equiv a''\ [c]

Explication

La transitivité relie les deux extrémités par l’entier commun $a'$ , donc $a\equiv a''\ [c]$ . Deux congruences qui ne partagent pas de terme intermédiaire ne permettent pas cette conclusion directe.

Question 13

13. Si $a\equiv a'\ [c]$ et $b\equiv b'\ [c]$ , quelle relation est nécessairement conservée par les opérations usuelles ?

a-b\equiv a'b'\ [c]

a+b\equiv a'b'\ [c]

ab\equiv a'b'\ [c]

ab\equiv a'+b'\ [c]

Explication

Les congruences sont conservées par multiplication, d’où $ab\equiv a'b'\ [c]$ . Les expressions qui mélangent une addition d’un côté et une multiplication de l’autre ne découlent pas de cette règle.

Question 14

14. Que signifie « $a$ est inversible modulo $n$ » pour $n\geq 2$ ?

Il existe un entier

b

tel que

a+b\equiv1\ [n]

L’entier

a

est nécessairement un multiple de

n

Le produit

an

est congru à

1

modulo

n

Il existe un entier

b

tel que

ab\equiv1\ [n]

Explication

Un inverse de $a$ modulo $n$ est un entier $b$ dont le produit avec $a$ laisse le reste $1$ dans la division par $n$ . Une relation additive ou la divisibilité par $n$ ne définit pas l’inversibilité.

Question 15

15. Pourquoi $3$ est-il inversible modulo $5$ ?

Parce que

3+2\equiv1\ [5]

Parce que

3\times2\equiv1\ [5]

Parce que

3

est un multiple de

5

Parce que

3\times5\equiv1\ [5]

Explication

L’entier $2$ fournit un inverse de $3$ modulo $5$ , car leur produit vaut $6$ , congru à $1$ modulo $5$ . Une somme congrue à $1$ ou un produit avec le module ne constitue pas la définition d’un inverse.

Question 16

16. Quel nombre est divisible par $3$ selon le critère de somme des chiffres ?

124

127

125

123

Explication

La somme des chiffres de $123$ vaut $1+2+3=6$ , qui est divisible par $3$ . Les sommes correspondant aux autres nombres ne sont pas divisibles par $3$ .

QCM : Arithmétique et divisibilité — 16 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que signifie l’énoncé « $b$ divise $a$ » pour des entiers relatifs, avec $b\neq 0$ ?

2. Quelle affirmation explique pourquoi $0$ est un multiple de tout entier relatif $n$ ?

3. Quels sont les seuls diviseurs communs de deux entiers relatifs premiers entre eux ?

4. Si $c$ divise $b$ et $b$ divise $a$ , quelle conclusion est valide ?

5. Quelle condition caractérise la division euclidienne de $a$ par un entier naturel non nul $b$ ?

6. Dans la division euclidienne de $103$ par $13$ , quels sont le quotient et le reste ?

7. Lorsqu’un entier relatif $a$ est divisé euclidiennement par un entier relatif non nul $b$ , quelle inégalité doit vérifier le reste $r$ ?

8. Quel entier vérifie la définition de la partie entière de $x=-7,7$ ?

9. Quelle représentation graphique correspond à la fonction partie entière ?

10. Quelle condition caractérise la congruence de deux entiers $a$ et $b$ modulo $c$ , où $c$ est non nul ?

11. Deux entiers congrus modulo $c$ ont quelle propriété dans leurs divisions euclidiennes par $c$ ?

12. Si $a\equiv a'\ [c]$ et $a'\equiv a''\ [c]$ , quelle congruence peut-on conclure ?

13. Si $a\equiv a'\ [c]$ et $b\equiv b'\ [c]$ , quelle relation est nécessairement conservée par les opérations usuelles ?

14. Que signifie « $a$ est inversible modulo $n$ » pour $n\geq 2$ ?

15. Pourquoi $3$ est-il inversible modulo $5$ ?

16. Quel nombre est divisible par $3$ selon le critère de somme des chiffres ?

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QCM : Arithmétique et divisibilité — 16 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que signifie l’énoncé « bbb divise aaa » pour des entiers relatifs, avec b≠0b\neq 0b=0 ?

2. Quelle affirmation explique pourquoi 000 est un multiple de tout entier relatif nnn ?

3. Quels sont les seuls diviseurs communs de deux entiers relatifs premiers entre eux ?

4. Si ccc divise bbb et bbb divise aaa, quelle conclusion est valide ?

5. Quelle condition caractérise la division euclidienne de aaa par un entier naturel non nul bbb ?

6. Dans la division euclidienne de 103103103 par 131313, quels sont le quotient et le reste ?

7. Lorsqu’un entier relatif aaa est divisé euclidiennement par un entier relatif non nul bbb, quelle inégalité doit vérifier le reste rrr ?

8. Quel entier vérifie la définition de la partie entière de x=−7,7x=-7,7x=−7,7 ?

9. Quelle représentation graphique correspond à la fonction partie entière ?

10. Quelle condition caractérise la congruence de deux entiers aaa et bbb modulo ccc, où ccc est non nul ?

11. Deux entiers congrus modulo ccc ont quelle propriété dans leurs divisions euclidiennes par ccc ?

12. Si a≡a′ [c]a\equiv a'\ [c]a≡a′ [c] et a′≡a′′ [c]a'\equiv a''\ [c]a′≡a′′ [c], quelle congruence peut-on conclure ?

13. Si a≡a′ [c]a\equiv a'\ [c]a≡a′ [c] et b≡b′ [c]b\equiv b'\ [c]b≡b′ [c], quelle relation est nécessairement conservée par les opérations usuelles ?

14. Que signifie « aaa est inversible modulo nnn » pour n≥2n\geq 2n≥2 ?

15. Pourquoi 333 est-il inversible modulo 555 ?

16. Quel nombre est divisible par 333 selon le critère de somme des chiffres ?

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1. Que signifie l’énoncé « $b$ divise $a$ » pour des entiers relatifs, avec $b\neq 0$ ?

2. Quelle affirmation explique pourquoi $0$ est un multiple de tout entier relatif $n$ ?

4. Si $c$ divise $b$ et $b$ divise $a$ , quelle conclusion est valide ?

5. Quelle condition caractérise la division euclidienne de $a$ par un entier naturel non nul $b$ ?

6. Dans la division euclidienne de $103$ par $13$ , quels sont le quotient et le reste ?

7. Lorsqu’un entier relatif $a$ est divisé euclidiennement par un entier relatif non nul $b$ , quelle inégalité doit vérifier le reste $r$ ?

8. Quel entier vérifie la définition de la partie entière de $x=-7,7$ ?

10. Quelle condition caractérise la congruence de deux entiers $a$ et $b$ modulo $c$ , où $c$ est non nul ?

11. Deux entiers congrus modulo $c$ ont quelle propriété dans leurs divisions euclidiennes par $c$ ?

12. Si $a\equiv a'\ [c]$ et $a'\equiv a''\ [c]$ , quelle congruence peut-on conclure ?

13. Si $a\equiv a'\ [c]$ et $b\equiv b'\ [c]$ , quelle relation est nécessairement conservée par les opérations usuelles ?

14. Que signifie « $a$ est inversible modulo $n$ » pour $n\geq 2$ ?

15. Pourquoi $3$ est-il inversible modulo $5$ ?

16. Quel nombre est divisible par $3$ selon le critère de somme des chiffres ?