Fiche de révision : Arithmétique et divisibilité

📋 Plan du Cours

1. Division euclidienne
2. Diviseurs et multiples
3. Recherche des diviseurs
4. Critères de divisibilité
5. Diviseurs communs

📖 1. Division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : Division de a par b, avec b non nul, qui consiste à déterminer deux entiers naturels q et r tels que $a=b\times q+r$ et $r<b$.

📝 Points essentiels

• Dans la division euclidienne de 377 par 12, le quotient est 31 et le reste est 5, car $377=12\times31+5$.

📖 2. Diviseurs et multiples

🔑 Notions clés & Définitions

• Diviseur : Entier b de a lorsqu’il existe un entier n tel que $a=n\times b$, ce qui équivaut à dire que le reste de la division euclidienne de a par b est nul.

★ À maîtriser

📌 Dire que b est un diviseur de a, que a est un multiple de b ou que a est divisible par b exprime la même relation de divisibilité.

Compléments

• Comme $45=9\times5$, 9 et 5 sont des diviseurs de 45, 45 est un multiple de 9 et de 5, et 45 est divisible par 5.

💡 Astuce mémo

Diviseur : il partage a ; multiple : a est obtenu en le multipliant.

📖 3. Recherche des diviseurs

★ À maîtriser

📌 Si un entier n’est pas premier, alors il possède un diviseur plus petit que $\sqrt{n}$.

• Pour trouver tous les diviseurs d’un entier N, on calcule $\sqrt{N}$, puis on teste la divisibilité de N par tous les entiers inférieurs ou égaux à cette racine.

Compléments

• Pour 45, comme $\sqrt{45}=6{,}7$, on teste 1, 2, 3, 4, 5 et 6, ce qui donne les diviseurs 1, 3, 5, 9, 15 et 45.

💡 Astuce mémo

Calculer √N, tester jusqu’à √N, compléter les couples de diviseurs.

📖 4. Critères de divisibilité

📝 Points essentiels

• Les critères de divisibilité sont les suivants:
  • par 2 : le nombre est pair et se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8
  • par 3 : la somme de ses chiffres est un multiple de 3
  • par 4 : le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4
  • par 5 : le nombre se termine par 0 ou 5
  • par 9 : la somme de ses chiffres est divisible par 9
  • par 10 : le nombre se termine par 0

📖 5. Diviseurs communs

🔑 Notions clés & Définitions

• Diviseurs communs : Entiers naturels qui divisent à la fois a et b.

📝 Points essentiels

• Les diviseurs communs à 12 et 63 sont 1 et 3, car les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 6 et 12, tandis que ceux de 63 sont 1, 3, 7, 9, 21 et 63.

• Le PGCD est le Plus Grand Commun Diviseur et le PPCM est le Plus Petit Commun Multiple.

📊 Tableaux de synthèse

Vocabulaire de la divisibilité