Fiche de révision : Arithmétique et fonctions

📋 Plan du Cours

1. Diviseurs communs et multiples communs
2. Nombres premiers et factorisation
3. Primalité et listes de diviseurs
4. PGCD et fractions irréductibles
5. PPCM et calcul fractionnaire
6. Notion de fonction et domaine
7. Images et antécédents par calcul
8. Lecture graphique des fonctions
9. Modélisation et courbes représentatives

📖 1. Diviseurs communs et multiples communs

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : Le PGCD de deux nombres entiers est leur plus grand diviseur commun.
• PPCM : Le PPCM de deux nombres entiers est leur plus petit multiple commun non nul.

📝 Points essentiels

• Pour répartir 294 garçons et 210 filles en un nombre maximal d’équipes identiques, on calcule PGCD(294 ; 210)=42 ; chaque équipe compte alors 7 garçons et 5 filles.

• Deux voitures roulant respectivement pendant 36 minutes et 30 minutes par tour se retrouvent sur la ligne de départ après 180 minutes, qui est le PPCM de 36 et 30.

💡 Astuce mémo

PGCD = partager au maximum ; PPCM = se retrouver au plus tôt

📖 2. Nombres premiers et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

📌 Tout nombre entier positif non nul peut s’écrire comme un produit de facteurs premiers.

Compléments

• Les nombres premiers inférieurs à 50 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 et 47.

• Les décompositions en facteurs premiers sont 42 = 2 × 3 × 7 et 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5.

💡 Astuce mémo

Diviser, tester, décomposer

📖 3. Primalité et listes de diviseurs

★ À maîtriser

📌 Pour tester la primalité d’un entier, il suffit de vérifier qu’il n’est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à sa racine carrée.

• Pour lister les diviseurs de 84, on teste les entiers positifs jusqu’à la racine carrée et on associe chaque diviseur trouvé à son quotient : les diviseurs sont 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 et 84.

📐 Formule — Si $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$ est la décomposition en facteurs premiers d’un entier, alors son nombre de diviseurs est $\left(a_1+1\right)\left(a_2+1\right)\cdots\left(a_k+1\right)$.

Compléments

• 257 est premier car sa racine carrée est environ 16 et 257 n’est divisible par aucun des nombres premiers qui la précèdent : 2, 3, 5, 7, 11 et 13.

• Comme $31500=2^2\times3^2\times5^3\times7$, 31500 possède $3\times3\times4\times2=72$ diviseurs.

💡 Astuce mémo

Factorisation première → test de primalité et nombre de diviseurs

📖 4. PGCD et fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres premiers entre eux : Deux nombres entiers positifs dont le PGCD est égal à 1.

★ À maîtriser

📌 Le PGCD de deux entiers est le produit des facteurs premiers communs à leurs décompositions, avec les exposants communs appropriés.

• 🔄 Pour rendre une fraction irréductible:
  1. Calculer le PGCD du numérateur et du dénominateur.
  2. Diviser le numérateur par ce PGCD.
  3. Diviser le dénominateur par ce PGCD.

Compléments

• La fraction 1122/2380 devient 33/70 car PGCD(1122 ; 2380)=34.

💡 Astuce mémo

PGCD → division commune → fraction irréductible

📖 5. PPCM et calcul fractionnaire

★ À maîtriser

📌 Le PPCM de deux entiers est le produit des facteurs premiers communs et des facteurs restants nécessaires dans leurs décompositions.

• Pour additionner des fractions, on peut utiliser leur PPCM comme dénominateur commun, puis multiplier chaque fraction et additionner les numérateurs.

Compléments

• Comme 30 = 2 × 3 × 5 et 36 = 2 × 2 × 3 × 3, on obtient PPCM(30 ; 36)=180.

• Avec PPCM(35 ; 28)=140, on obtient $\frac{7}{35}+\frac{13}{28}=\frac{93}{140}$.

💡 Astuce mémo

PPCM → dénominateur commun → addition des fractions

📖 6. Notion de fonction et domaine

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Procédé qui associe à un nombre x un unique autre nombre noté f(x), appelé l’image de x par f.
• Domaine de définition : Ensemble des valeurs que la variable x peut prendre.

📝 Points essentiels

• Pour la fonction d’aire A de l’enclos, le domaine de définition est [0 ; 4], A(2)=8 et A(3)=6.

💡 Astuce mémo

Image unique ; antécédents multiples ou inexistants

📖 7. Images et antécédents par calcul

★ À maîtriser

• Pour calculer l’image d’un nombre par une fonction donnée par une expression, on remplace x par ce nombre dans l’expression.

• Pour trouver un antécédent b par une fonction, on résout l’équation f(x)=b en respectant le domaine de définition.

Compléments

• Pour p1(x)=4x, on obtient p1(5)=20 et p1(7)=28, avec x dans [0 ; +∞[.

• Pour p2(x)=2x+6, 20 a pour antécédent 7, tandis que 5 n’a pas d’antécédent positif car la solution x=0,5 ne correspond pas à la contrainte annoncée dans l’exercice.

💡 Astuce mémo

Remplacer x pour l’image ; résoudre f(x)=b pour l’antécédent

📖 8. Lecture graphique des fonctions

★ À maîtriser

• 🔄 Pour lire une image sur une courbe:

  1. Repérer la valeur sur l’axe des abscisses.
  2. Rejoindre la courbe représentative.
  3. Lire l’ordonnée correspondante.

• Pour lire les antécédents d’une valeur sur une courbe, on part de cette valeur sur l’axe des ordonnées, on rejoint la courbe, puis on lit les abscisses correspondantes.

Compléments

• Les trois antécédents de 1,5 sont environ:
  • -3,5
  • 0,5
  • 1,8

💡 Astuce mémo

Abscisse → image ; ordonnée → antécédent

📖 9. Modélisation et courbes représentatives

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un enclos contre un mur avec 8 mètres de grillage et deux côtés de longueur x, l’aire est $A(x)=x(8-2x)=-2x^2+8x$.

📐 Formule — Dans l’exercice du carré, les deux périmètres sont modélisés par $p_1(x)=4x$ et $p_2(x)=2x+6$.

Compléments

• Pour l’enclos, les valeurs de l’aire correspondant à x=0, 0,5, 1, 1,5, 2, 2,5, 3, 3,5 et 4 sont respectivement 0, 3,5, 6, 7,5, 8, 7,5, 6, 3,5 et 0.

• 🔄 Pour construire une courbe représentative:

  1. Calculer un tableau de valeurs.
  2. Placer les points dans un repère.
  3. Tracer la courbe représentative.

💡 Astuce mémo

Situation géométrique → expression fonctionnelle → tableau et courbe

📊 Tableaux de synthèse

PGCD et PPCM