Fiche de révision : Polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et forme développée
2. Parabole et éléments caractéristiques
3. Racines et interprétation graphique
4. Formes factorisées possibles
5. Exploitation des représentations

📖 1. Définition et forme développée

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme du second degré : Fonction qui s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ pour tout réel x, avec a, b et c réels fixés et $a\ne0$.

★ À maîtriser

📌 Dans la forme développée $f(x)=ax^2+bx+c$, a est le coefficient de x², b est le coefficient de x et c est l’image de 0, car $c=f(0)$.

Compléments

• La fonction carré $f(x)=x^2$, la fonction $g(x)=-x^2+3x-1$ et la fonction $h(x)=\frac{x^2}{2}+x$ sont des exemples de fonctions polynômes du second degré.

📖 2. Parabole et éléments caractéristiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : Courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré dont l’équation est $y=f(x)$.

📝 Points essentiels

📌 Si $a>0$, la parabole est ouverte vers le haut et elle est dite convexe, tandis que si $a<0$, elle est ouverte vers le bas et elle est dite concave.

• Le nombre c se lit graphiquement à l’intersection de la parabole avec l’axe des ordonnées, car $c=f(0)$.

📐 Formule — L’abscisse du sommet d’une parabole associée à $f(x)=ax^2+bx+c$ est $x_0=-\frac{b}{2a}$.

📌 L’axe de symétrie de la parabole est la droite verticale d’équation $x=-\frac{b}{2a}$ qui passe par son sommet.

💡 Astuce mémo

a > 0 : ouverte vers le haut ; a < 0 : ouverte vers le bas

📖 3. Racines et interprétation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine : Nombre qui vérifie $f(x)=0$, c’est-à-dire nombre dont l’image par f est nulle.

★ À maîtriser

• Graphiquement, une racine est l’abscisse d’un point où la parabole coupe l’axe des abscisses.

📌 Une fonction polynôme du second degré peut avoir deux racines réelles, une seule racine réelle ou aucune racine réelle, selon le nombre d’intersections de sa parabole avec l’axe des abscisses.

Compléments

• Lorsque la fonction possède deux racines, celles-ci sont symétriques par rapport au nombre $-\frac{b}{2a}$.

💡 Astuce mémo

Deux racines : deux intersections ; une racine : tangence ; aucune racine : aucune intersection

📖 4. Formes factorisées possibles

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si f possède deux racines $x_1$ et $x_2$, sa forme factorisée est $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

📐 Formule — Si f possède une seule racine $x_0$, sa forme factorisée est $f(x)=a(x-x_0)^2$.

📌 Si f n’a aucune racine réelle, elle ne possède pas de forme factorisée réelle.

💡 Astuce mémo

Deux racines → deux facteurs ; une racine → un carré ; aucune racine → pas de factorisation réelle

📖 5. Exploitation des représentations

📝 Points essentiels

• 🔄 La détermination des coefficients à partir d’un graphique suit les étapes suivantes:

  1. Lire c sur l’axe des ordonnées
  2. Déterminer le signe de a grâce à l’orientation de la parabole
  3. Utiliser les racines et la forme factorisée pour retrouver a et b

• Pour $h(x)=x^2+4x+3$, vérifier que −1 est une racine permet ensuite d’utiliser l’abscisse du sommet et la symétrie pour trouver la deuxième racine et la forme factorisée.

• 🔄 La reconstruction de l’expression développée utilise:

  1. L’abscisse du sommet
  2. La valeur de c
  3. Les éventuelles racines
  4. La détermination des coefficients

📊 Tableaux de synthèse

Nombre de racines et forme factorisée