QCM : Polynômes du second degré — 14 questions

Explication

Une fonction polynôme du second degré contient un terme en $x^2$ dont le coefficient est non nul, sous la forme $ax^2+bx+c$. L’expression affine ne comporte pas de terme en $x^2$, tandis que les deux autres ne sont pas du second degré.

Explication

Dans la forme développée, le terme constant vérifie $c=f(0)$ ; ici, $f(0)=9$. Le coefficient de $x$ est $-7$ et celui de $x^2$ est $4$.

Explication

La courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré est une parabole, et ses points vérifient l’équation $y=f(x)$. L’écriture $y=f(x)$ décrit son équation plutôt qu’un autre type de courbe.

Explication

Le coefficient de $x^2$ est négatif, donc la parabole est ouverte vers le bas et elle est dite concave. Une valeur positive de ce coefficient correspondrait à une parabole ouverte vers le haut et convexe.

Explication

L’intersection avec l’axe des ordonnées correspond à $x=0$, donc son ordonnée vaut $f(0)=c=6$. Les nombres $2$ et $-3$ sont respectivement les coefficients de $x^2$ et de $x$.

Explication

L’abscisse du sommet se calcule avec $x_0=-\frac{b}{2a}$. Ici, $x_0=-\frac{12}{2\times3}=-2$ ; le signe moins est donc essentiel dans le calcul.

Explication

Une racine est un nombre $x$ qui vérifie $f(x)=0$, donc son image par la fonction est nulle. Le coefficient constant correspond à $f(0)$, ce qui décrit l’image de zéro et non une racine en général.

Explication

Une racine est l’abscisse d’un point de la parabole situé sur l’axe des abscisses, donc d’un point dont l’ordonnée est nulle. Le point d’intersection possède aussi une ordonnée, mais la racine désigne sa coordonnée horizontale.

Explication

Chaque intersection avec l’axe des abscisses correspond à une racine réelle, car l’ordonnée y est nulle. Deux points d’intersection distincts donnent donc deux racines réelles, tandis qu’une tangence correspond à une seule racine réelle.

Explication

Deux racines distinctes correspondent à deux facteurs associés à chacune d’elles, ce qui donne la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$. Un facteur au carré représente plutôt une racine unique de multiplicité deux.

Explication

Une racine réelle unique correspond à un facteur répété deux fois, d’où la forme $a(x-x_0)^2$. La présence de deux facteurs distincts conviendrait à deux racines distinctes.

Explication

Une forme factorisée réelle ferait apparaître des facteurs associés à des racines réelles. En l’absence de racine réelle, aucune forme factorisée réelle n’existe, même si la fonction peut être écrite sous une autre forme algébrique.

Explication

La valeur de $c$ se lit à l’intersection avec l’axe des ordonnées, tandis que le signe de $a$ dépend de l’orientation de la parabole. Les racines se lisent sur l’axe des abscisses et permettent ensuite d’exploiter la forme factorisée.

Explication

Après avoir vérifié que $-1$ est une racine, on utilise la symétrie de la parabole par rapport à l’axe passant par son sommet pour déterminer l’autre racine. La valeur $3$ est l’ordonnée à l’origine et ne fournit pas directement cette deuxième abscisse.