QCM : Arithmétique et fonctions — 19 questions

Questions et réponses du QCM

1. Concernant le PGCD de deux nombres entiers, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le PGCD désigne le plus petit multiple commun non nul des deux nombres.
Le PGCD est un diviseur commun aux deux nombres entiers considérés.
Avec 294 garçons et 210 filles, le PGCD vaut 24.
Le PGCD correspond au plus grand diviseur commun des deux nombres.
Le PGCD mesure une valeur qui divise chacun des deux nombres.

Le PGCD est un diviseur commun aux deux nombres entiers considérés. · Le PGCD correspond au plus grand diviseur commun des deux nombres. · Le PGCD mesure une valeur qui divise chacun des deux nombres.

Explication

Le PGCD est un diviseur commun aux deux nombres et il est le plus grand parmi ces diviseurs. Pour 294 garçons et 210 filles, il vaut 42, et il ne désigne pas le plus petit multiple commun non nul, qui correspond au PPCM.

2. À propos du PPCM de deux nombres entiers :

Le PPCM est un multiple commun aux deux nombres entiers.
Le PPCM permet d’identifier une valeur divisible par chacun des nombres.
Le PPCM correspond au plus grand diviseur commun des deux nombres.
Le PPCM se distingue du PGCD, qui recherche un diviseur commun.
Le PPCM est le plus petit multiple commun non nul.

Le PPCM est un multiple commun aux deux nombres entiers. · Le PPCM permet d’identifier une valeur divisible par chacun des nombres. · Le PPCM se distingue du PGCD, qui recherche un diviseur commun. · Le PPCM est le plus petit multiple commun non nul.

Explication

Le PPCM est le plus petit multiple commun non nul et il est divisible par chacun des deux nombres. La recherche du plus grand diviseur commun relève du PGCD, ce qui distingue clairement les deux notions.

3. Deux voitures effectuent respectivement un tour en 36 minutes et en 30 minutes. Parmi les propositions suivantes, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La voiture de 30 minutes effectue six tours en 180 minutes.
La durée de 180 minutes est un multiple commun de 36 et de 30.
La première rencontre après le départ survient après 90 minutes.
Les deux voitures se retrouvent au départ après 180 minutes.
La voiture de 36 minutes effectue cinq tours en 180 minutes.

La voiture de 30 minutes effectue six tours en 180 minutes. · La durée de 180 minutes est un multiple commun de 36 et de 30. · Les deux voitures se retrouvent au départ après 180 minutes. · La voiture de 36 minutes effectue cinq tours en 180 minutes.

Explication

Le PPCM de 36 et 30 est 180, donc les voitures se retrouvent au départ après cette durée. En 180 minutes, la première voiture réalise 5 tours et la seconde 6 tours. Une rencontre après 90 minutes ne correspond pas à un multiple commun des deux durées.

4. Concernant la définition d’un nombre premier, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le nombre 1 n’est pas premier, car il ne possède pas deux diviseurs.
Un nombre premier est un entier positif possédant exactement deux diviseurs.
Un nombre premier admet un nombre de diviseurs différent de celui d’un nombre composé.
Le nombre 2 est premier, car ses diviseurs sont 1 et 2.
Les deux diviseurs d’un nombre premier sont 1 et lui-même.

Le nombre 1 n’est pas premier, car il ne possède pas deux diviseurs. · Un nombre premier est un entier positif possédant exactement deux diviseurs. · Un nombre premier admet un nombre de diviseurs différent de celui d’un nombre composé. · Le nombre 2 est premier, car ses diviseurs sont 1 et 2. · Les deux diviseurs d’un nombre premier sont 1 et lui-même.

Explication

Un nombre premier positif possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Le nombre 1 n’est donc pas premier, tandis que 2 est premier avec ses diviseurs 1 et 2. Un nombre composé possède davantage de diviseurs.

5. Les propriétés de la factorisation en nombres premiers comprennent :

La décomposition concerne les entiers positifs qui ne sont pas nuls.
Le nombre zéro possède une factorisation en facteurs premiers selon cette règle.
La factorisation utilise des nombres premiers comme facteurs du produit.
Tout entier positif non nul peut être écrit comme un produit de facteurs premiers.
Un entier positif non nul s’écrit comme une somme de facteurs premiers.

La décomposition concerne les entiers positifs qui ne sont pas nuls. · La factorisation utilise des nombres premiers comme facteurs du produit. · Tout entier positif non nul peut être écrit comme un produit de facteurs premiers.

Explication

Tout entier positif non nul peut être exprimé comme un produit de nombres premiers. Il s’agit d’un produit et non d’une somme, et le nombre zéro n’est pas concerné par cette règle. La décomposition s’applique donc aux entiers positifs non nuls.

6. Concernant le test de primalité d’un entier, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Il suffit de vérifier les diviseurs premiers précédant sa racine carrée.
La recherche de divisibilité peut s’arrêter après les nombres premiers précédant la racine carrée.
La primalité se teste en examinant les multiples premiers supérieurs à la racine carrée.
Un diviseur premier éventuel doit être recherché jusqu’à la racine carrée de l’entier.
Un entier est premier si aucun entier inférieur ne le divise.

Il suffit de vérifier les diviseurs premiers précédant sa racine carrée. · La recherche de divisibilité peut s’arrêter après les nombres premiers précédant la racine carrée. · Un diviseur premier éventuel doit être recherché jusqu’à la racine carrée de l’entier.

Explication

Le test porte sur les nombres premiers précédant la racine carrée, ce qui rend suffisantes les vérifications correspondantes. Examiner tous les entiers inférieurs ou les multiples supérieurs n’est pas la règle retenue.

7. Un entier s’écrit n=p1a1p2a2⋯pkakn=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}. Parmi les propositions suivantes concernant son nombre de diviseurs, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La formule multiplie les nombres obtenus à partir de tous les exposants.
Le nombre de diviseurs vaut a1a2⋯aka_1a_2\cdots a_k.
Chaque exposant intervient dans le calcul après lui avoir ajouté une unité.
Le nombre de diviseurs vaut (a1+1)(a2+1)⋯(ak+1)\left(a_1+1\right)\left(a_2+1\right)\cdots\left(a_k+1\right).
Le nombre de diviseurs dépend uniquement du nombre de facteurs premiers distincts.

La formule multiplie les nombres obtenus à partir de tous les exposants. · Chaque exposant intervient dans le calcul après lui avoir ajouté une unité. · Le nombre de diviseurs vaut $$\left(a_1+1\right)\left(a_2+1\right)\cdots\left(a_k+1\right)$$.

Explication

La formule du nombre de diviseurs est le produit des termes ai+1a_i+1. Le produit des exposants seuls et le nombre de facteurs premiers distincts ne donnent pas cette valeur.

8. À propos du calcul du PGCD par décomposition en facteurs premiers :

Le PGCD rassemble les facteurs nécessaires avec leurs plus grandes puissances.
La décomposition en facteurs premiers permet d’identifier les éléments communs.
Les facteurs premiers apparaissant dans une seule décomposition sont retenus dans le PGCD.
Le PGCD utilise les facteurs premiers présents dans les deux décompositions.
Le résultat est obtenu en multipliant les facteurs premiers communs.

La décomposition en facteurs premiers permet d’identifier les éléments communs. · Le PGCD utilise les facteurs premiers présents dans les deux décompositions. · Le résultat est obtenu en multipliant les facteurs premiers communs.

Explication

Le PGCD est le produit des facteurs premiers communs aux deux décompositions. Les facteurs présents dans une seule décomposition ne sont pas retenus, et les plus grandes puissances caractérisent plutôt le PPCM.

9. Deux entiers positifs sont dits premiers entre eux lorsque :

Ils doivent posséder exactement un facteur premier commun.
Ils peuvent être composés tout en ayant un PGCD égal à 11.
Ils sont nécessairement tous deux des nombres premiers.
La propriété concerne deux entiers dont aucun diviseur commun supérieur à 11 n’existe.
Leur PGCD est égal à 11.

Ils peuvent être composés tout en ayant un PGCD égal à $$1$$. · La propriété concerne deux entiers dont aucun diviseur commun supérieur à $$1$$ n’existe. · Leur PGCD est égal à $$1$$.

Explication

Deux entiers sont premiers entre eux lorsque leur PGCD vaut 11, même s’ils sont composés. Ils ne doivent donc pas être nécessairement premiers ni partager un facteur premier.

10. Pour rendre une fraction irréductible, quelle(s) opération(s) est(sont) correcte(s) ?

Diviser le numérateur par le PGCD et multiplier le dénominateur par celui-ci.
Effectuer la même division au numérateur et au dénominateur.
Soustraire le PGCD au numérateur et au dénominateur.
Supprimer le facteur commun maximal des deux termes.
Diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.

Effectuer la même division au numérateur et au dénominateur. · Supprimer le facteur commun maximal des deux termes. · Diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.

Explication

La fraction est rendue irréductible en divisant ses deux termes par leur PGCD, ce qui supprime leur facteur commun maximal. Multiplier un seul terme ou soustraire le PGCD ne correspond pas à cette procédure.

11. Concernant le calcul du PPCM de deux nombres, quelles sont les réponses exactes au sujet de sa décomposition en facteurs premiers ?

Le PPCM contient les facteurs premiers nécessaires aux deux décompositions.
Les facteurs présents dans une seule décomposition peuvent apparaître dans le PPCM.
Il retient, pour chaque facteur, la plus grande puissance rencontrée.
Les facteurs communs sont conservés avec leur plus petite puissance.
Le calcul inclut les facteurs restants nécessaires à la construction d’un multiple commun.

Le PPCM contient les facteurs premiers nécessaires aux deux décompositions. · Les facteurs présents dans une seule décomposition peuvent apparaître dans le PPCM. · Il retient, pour chaque facteur, la plus grande puissance rencontrée. · Le calcul inclut les facteurs restants nécessaires à la construction d’un multiple commun.

Explication

Le PPCM rassemble tous les facteurs nécessaires et utilise la plus grande puissance de chacun. Les facteurs présents dans une seule décomposition peuvent donc être conservés, tandis que la plus petite puissance relève du PGCD.

12. Pour distinguer le PPCM du PGCD dans une décomposition en facteurs premiers, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le PPCM conserve les seuls facteurs premiers communs aux deux nombres.
Le PPCM conserve les plus grandes puissances des facteurs nécessaires.
Un facteur présent dans un seul nombre ne peut jamais intervenir dans le PPCM.
Le PGCD privilégie les facteurs premiers communs aux deux décompositions.
Le PPCM peut inclure des facteurs absents de l’autre décomposition.

Le PPCM conserve les plus grandes puissances des facteurs nécessaires. · Le PGCD privilégie les facteurs premiers communs aux deux décompositions. · Le PPCM peut inclure des facteurs absents de l’autre décomposition.

Explication

Le PPCM prend les facteurs nécessaires avec leurs plus grandes puissances, y compris ceux présents dans une seule décomposition. Le PGCD, lui, repose sur les facteurs premiers communs.

13. Concernant la notion de fonction, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Une fonction peut être représentée comme un procédé reliant x à f(x).
Pour une valeur donnée de x, la fonction fournit une seule valeur f(x).
Dans l’écriture f(x), x désigne le nombre de départ du procédé fonctionnel.
Une fonction associe à chaque nombre x un unique nombre noté f(x).
Le nombre f(x) est appelé l’image de x par la fonction f.

Une fonction peut être représentée comme un procédé reliant x à f(x). · Pour une valeur donnée de x, la fonction fournit une seule valeur f(x). · Dans l’écriture f(x), x désigne le nombre de départ du procédé fonctionnel. · Une fonction associe à chaque nombre x un unique nombre noté f(x). · Le nombre f(x) est appelé l’image de x par la fonction f.

Explication

Une fonction associe chaque valeur de x à une unique valeur f(x), appelée son image. L’écriture f(x) désigne la valeur obtenue à partir du nombre x.

14. Parmi les propositions suivantes concernant le domaine de définition, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Le domaine de définition contient les valeurs obtenues comme images par la fonction.
L’ensemble des images contient les valeurs obtenues par application de la fonction.
Une valeur interdite pour x n’appartient pas au domaine de définition.
Le domaine de définition décrit les entrées possibles d’une fonction.
Le domaine de définition regroupe les valeurs autorisées pour la variable x.

L’ensemble des images contient les valeurs obtenues par application de la fonction. · Une valeur interdite pour x n’appartient pas au domaine de définition. · Le domaine de définition décrit les entrées possibles d’une fonction. · Le domaine de définition regroupe les valeurs autorisées pour la variable x.

Explication

Le domaine de définition rassemble les valeurs que x peut prendre et exclut les valeurs interdites. Les valeurs obtenues par la fonction appartiennent à l’ensemble des images, non au domaine de définition.

15. À propos de la fonction du carré, quelles sont les réponses exactes ?

Pour une longueur de 5, le périmètre associé vaut 10.
L’image de 5 par la fonction du carré vaut p1(5)=20p_1(5)=20.
Le périmètre associé à la fonction du carré s’écrit p1(x)=4xp_1(x)=4x.
La fonction du carré possède un coefficient directeur égal à 2.
Le périmètre associé au rectangle complémentaire s’écrit p2(x)=2x+4p_2(x)=2x+4.

L’image de 5 par la fonction du carré vaut $$p_1(5)=20$$. · Le périmètre associé à la fonction du carré s’écrit $$p_1(x)=4x$$.

Explication

La fonction du carré est donnée par p1(x)=4xp_1(x)=4x, donc p1(5)=4×5=20p_1(5)=4\times5=20. Son coefficient directeur est 4, et l’expression 2x+62x+6 correspond à la fonction du rectangle complémentaire, pas à la fonction du carré.

16. Les caractéristiques des fonctions de périmètre comprennent :

La fonction du rectangle complémentaire est une fonction affine de coefficient 4.
La fonction p1(x)=4xp_1(x)=4x est une fonction linéaire de coefficient 4.
La fonction du rectangle complémentaire est définie par p2(x)=2x+6p_2(x)=2x+6.
La fonction du rectangle complémentaire est une fonction affine de coefficient directeur 4.
La fonction du carré possède une expression affine avec une constante égale à 6.

La fonction $$p_1(x)=4x$$ est une fonction linéaire de coefficient 4. · La fonction du rectangle complémentaire est définie par $$p_2(x)=2x+6$$.

Explication

Le périmètre du rectangle complémentaire est donné par p2(x)=2x+6p_2(x)=2x+6. La fonction p1(x)=4xp_1(x)=4x est linéaire de coefficient 4, tandis que p2p_2 est affine et possède un coefficient directeur égal à 2.

17. Pour lire l’image d’une valeur sur une courbe, la(les) étape(s) correcte(s) est(sont) :

On lit l’abscisse correspondant au point atteint pour obtenir l’image recherchée.
On commence par l’ordonnée puis on poursuit vers l’axe des abscisses.
On lit ensuite l’ordonnée correspondant au point atteint sur la courbe.
On repère la valeur donnée sur l’axe des abscisses avant de rejoindre la courbe.
On repère la valeur donnée sur l’axe des ordonnées avant de rejoindre la courbe.

On lit ensuite l’ordonnée correspondant au point atteint sur la courbe. · On repère la valeur donnée sur l’axe des abscisses avant de rejoindre la courbe.

Explication

Pour déterminer une image, on part de la valeur sur l’axe des abscisses, on rejoint la courbe, puis on lit l’ordonnée. Le parcours inverse, de l’ordonnée vers l’abscisse, sert à rechercher un antécédent.

18. Concernant la relation b=f(a)b=f(a), cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

L’égalité b=f(a)b=f(a) signifie que f(b) vaut a.
Le nombre a est l’image de b par la fonction f.
Le nombre b est un antécédent de a par la fonction f.
Le nombre b est l’image de a par la fonction f.
Le nombre a est un antécédent de b par la fonction f.

Le nombre b est l’image de a par la fonction f. · Le nombre a est un antécédent de b par la fonction f.

Explication

L’égalité b=f(a)b=f(a) signifie qu'a est un antécédent de b et que b est l’image de a. Elle ne permet pas d’affirmer que f(b)=a ni d’inverser les rôles de a et b.

19. Parmi les affirmations suivantes sur les images et les antécédents, la(les)quelle(s) est(sont) juste(s) ?

Un nombre peut avoir plusieurs antécédents par une même fonction.
Une fonction peut associer plusieurs images à une même valeur de départ.
Une valeur donnée possède une image unique par une fonction.
Un nombre donné possède au plus un antécédent par une fonction.
Un nombre possède au moins un antécédent par une fonction.

Un nombre peut avoir plusieurs antécédents par une même fonction. · Une valeur donnée possède une image unique par une fonction.

Explication

Une fonction associe une image unique à chaque valeur de départ. En revanche, un nombre peut avoir plusieurs antécédents ou ne posséder aucun antécédent, tandis qu’une valeur de départ ne peut pas avoir plusieurs images.

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Mémorisez les réponses avec 26 flashcards sur Arithmétique et fonctions.

Qu'est-ce que le PGCD de deux nombres entiers ?

Le plus grand nombre qui divise ces deux nombres.

Quel est le plus grand nombre d'équipes avec 294 garçons et 210 filles ?

42 équipes.

Combien de garçons y a-t-il dans chaque équipe si on forme 42 équipes ?

7 garçons par équipe.

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