Fiche de révision : Arithmétique et fonctions

📋 Plan du Cours

1. PGCD et équipes équitables
2. PPCM et rencontres périodiques
3. Nombres premiers et factorisation
4. Diviseurs et primalité
5. PGCD et fractions irréductibles
6. PPCM et calculs fractionnaires
7. Fonction et domaine de définition
8. Images et représentations graphiques
9. Antécédents d’une fonction

📖 1. PGCD et équipes équitables

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : Le plus grand commun diviseur de deux nombres entiers est le plus grand nombre qui divise ces deux nombres.

📝 Points essentiels

• Avec 294 garçons et 210 filles, le plus grand nombre d’équipes comportant le même nombre de garçons et de filles est 42, avec 7 garçons et 5 filles par équipe.

💡 Astuce mémo

Équipes identiques → diviseur commun maximal

📖 2. PPCM et rencontres périodiques

🔑 Notions clés & Définitions

• PPCM : Le plus petit multiple commun de deux nombres entiers est leur plus petit multiple commun non nul.

📝 Points essentiels

• Des voitures bouclant un circuit en 36 minutes et 30 minutes se retrouvent sur la ligne de départ après 180 minutes, qui est un multiple commun de 36 et de 30.

💡 Astuce mémo

Départs → tours → prochain multiple commun

📖 3. Nombres premiers et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

📝 Points essentiels

📌 Tout nombre entier positif non nul peut s’écrire comme un produit de facteurs premiers.

📖 4. Diviseurs et primalité

📝 Points essentiels

• Pour tester la primalité d’un entier, on vérifie qu’il n’est divisible par aucun nombre premier précédant sa racine carrée.

📐 Formule — Si un nombre s’écrit $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$, alors son nombre de diviseurs est $\left(a_1+1\right)\left(a_2+1\right)\cdots\left(a_k+1\right)$.

📖 5. PGCD et fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres premiers entre eux : Deux nombres entiers positifs dont le PGCD est égal à 1.

📝 Points essentiels

📌 Le PGCD de deux nombres est le produit des facteurs premiers communs à leurs décompositions en facteurs premiers.

• 🔄 Pour rendre une fraction irréductible:
  1. Calculer le PGCD du numérateur et du dénominateur
  2. Diviser le numérateur par ce PGCD
  3. Diviser le dénominateur par ce PGCD

💡 Astuce mémo

PGCD = facteurs communs ; fractions irréductibles = PGCD égal à 1

📖 6. PPCM et calculs fractionnaires

📝 Points essentiels

📌 Le PPCM de deux nombres est obtenu en prenant tous les facteurs premiers nécessaires dans les décompositions des deux nombres, avec leurs plus grandes puissances.

📖 7. Fonction et domaine de définition

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Procédé qui associe à un nombre x un unique autre nombre noté f(x), appelé l’image de x par f.
• Domaine de définition : Le domaine de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable x.

💡 Astuce mémo

Une machine transforme chaque x en une unique image f(x)

📖 8. Images et représentations graphiques

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour la fonction du carré, le périmètre est donné par $p_1(x)=4x$ et l’image de 5 est $p_1(5)=20$.

📐 Formule — Pour la fonction du rectangle complémentaire, le périmètre est donné par $p_2(x)=2x+6$.

• 🔄 Pour lire l’image d’une valeur sur une courbe:
  1. Repérer la valeur sur l’axe des abscisses
  2. Rejoindre la courbe
  3. Lire l’ordonnée correspondante

💡 Astuce mémo

Abscisse → courbe → ordonnée

📖 9. Antécédents d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Antécédent : Si b=f(a), alors a est un antécédent de b par la fonction f.

📝 Points essentiels

📌 Une image est unique pour une valeur donnée, tandis qu’un nombre peut avoir plusieurs antécédents ou n’en avoir aucun.

• Pour déterminer les antécédents d’un nombre b par une fonction donnée par une expression, on résout l’équation f(x)=b en tenant compte du domaine de définition.

💡 Astuce mémo

Une image est unique ; un antécédent peut être multiple ou inexistant

📊 Tableaux de synthèse

PGCD et PPCM