Fiche de révision : Arithmétique : nombres et divisibilité

📋 Plan du Cours

1. Ensembles et appartenance
2. Entiers naturels et relatifs
3. Multiples et diviseurs
4. Parité et carrés impairs

📖 1. Ensembles et appartenance

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Regroupement d’objets distincts les uns des autres, décrit entre accolades { et }.

★ À maîtriser

• L’ensemble des chiffres est {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

📌 Le symbole ∈ signifie qu’un objet est élément d’un ensemble, tandis que le symbole ∉ signifie qu’il n’en est pas élément.

Compléments

• Dans l’ensemble des chiffres, 3 ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, tandis que 10 ∉ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

📖 2. Entiers naturels et relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Nombres 0, 1, 2, 3, …, notés N = {0, 1, 2, 3, …}.
• Entiers relatifs : Nombres négatifs, nuls et positifs, notés Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}.

📝 Points essentiels

• Les notations N et Z sont issues de travaux de mathématiciens allemands, en particulier Dedeking (1831-1916).

💡 Astuce mémo

N contient les naturels positifs ou nuls, tandis que Z ajoute leurs opposés.

📖 3. Multiples et diviseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple et diviseur : Pour deux entiers a et b, a est un multiple de b s’il existe un entier k tel que $a = kb$ ; b est alors un diviseur de a.

★ À maîtriser

📌 La somme de deux multiples d’un entier a est encore un multiple de a.

Compléments

• Si b et b’ sont deux multiples de a, alors b = ka et b’ = k’a, puis b + b’ = (k + k’)a, qui est un multiple de a.

💡 Astuce mémo

a = kb entraîne que b divise a et que a est multiple de b.

📖 4. Parité et carrés impairs

🔑 Notions clés & Définitions

• Entier pair : Un entier pair est un multiple de 2, c’est-à-dire qu’il existe un entier k tel que $a = 2k$.
• Entier impair : Un entier impair est un entier qui n’est pas pair et qui s’écrit $a = 2k + 1$ pour un entier k.

★ À maîtriser

📌 Un entier est pair si et seulement si le dernier chiffre de son écriture décimale appartient à {0, 2, 4, 6, 8}.

📌 Le carré d’un nombre impair est impair.

Compléments

• Si a est impair, alors a = 2k + 1, puis a² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1, donc a² est impair.

💡 Astuce mémo

Impair : a = 2k + 1, puis a² = 2(2k² + 2k) + 1.

📊 Tableaux de synthèse

Entiers naturels et relatifs