QCM : Arithmétique : nombres et divisibilité — 6 questions

Questions et réponses du QCM

1. Concernant l’ensemble des chiffres, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le nombre 8 appartient à l’ensemble des chiffres.
Le nombre 12 appartient à l’ensemble des chiffres.
L’ensemble des chiffres est décrit entre parenthèses.
L’ensemble des chiffres contient les nombres de 0 à 9.
Le nombre 3 appartient à l’ensemble des chiffres.

Le nombre 8 appartient à l’ensemble des chiffres. · L’ensemble des chiffres contient les nombres de 0 à 9. · Le nombre 3 appartient à l’ensemble des chiffres.

Explication

L’ensemble des chiffres contient les dix chiffres de 0 à 9, donc 3 et 8 lui appartiennent. Le nombre 12 n’est pas un chiffre et n’appartient pas à cet ensemble.

2. À propos des ensembles et des symboles d’appartenance, quelles sont les réponses exactes ?

Un ensemble se confond avec un élément isolé.
Un ensemble est généralement décrit entre accolades.
Un ensemble regroupe des objets distincts les uns des autres.
Le symbole ∉\notin signifie qu’un objet appartient à un ensemble.
Le symbole ∈\in signifie qu’un objet est élément d’un ensemble.

Un ensemble est généralement décrit entre accolades. · Un ensemble regroupe des objets distincts les uns des autres. · Le symbole $$\in$$ signifie qu’un objet est élément d’un ensemble.

Explication

Le symbole ∈\in indique l’appartenance, tandis que ∉\notin indique la non-appartenance. Un ensemble regroupe des objets distincts et s’écrit entre accolades.

3. Concernant les multiples et les diviseurs, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Dans a=kba=kb, le nombre aa est un multiple de bb.
La somme de deux multiples de aa est un multiple de aa.
Dans a=kba=kb, le nombre bb est un diviseur de aa.
La relation a=kba=kb exige que kk soit un nombre négatif.
Dans a=kba=kb, le nombre bb est un multiple de aa.

Dans $$a=kb$$, le nombre $$a$$ est un multiple de $$b$$. · La somme de deux multiples de $$a$$ est un multiple de $$a$$. · Dans $$a=kb$$, le nombre $$b$$ est un diviseur de $$a$$.

Explication

Dans la relation a=kba=kb, aa est le multiple de bb et bb est le diviseur de aa. La somme de deux multiples d’un même entier reste un multiple de cet entier.

4. Deux nombres bb et b′b' sont des multiples d’un entier aa. Quelles sont les réponses exactes ?

Il existe un entier k′k' tel que b′=k′ab'=k'a.
La somme vérifie b+b′=(k−k′)ab+b'=(k-k')a.
Il existe un entier kk tel que b=kab=ka.
La somme vérifie b+b′=(k+k′)ab+b'=(k+k')a.
La somme b+b′b+b' est un multiple de aa.

Il existe un entier $$k'$$ tel que $$b'=k'a$$. · Il existe un entier $$k$$ tel que $$b=ka$$. · La somme $$b+b'$$ est un multiple de $$a$$.

Explication

Si b=kab=ka et b′=k′ab'=k'a, alors b+b′=(k+k′)ab+b'=(k+k')a, ce qui montre que la somme est un multiple de aa. Le coefficient associé est k+k′k+k', et non k−k′k-k'.

5. À propos de la reconnaissance des entiers pairs et des carrés impairs :

Un entier terminé par 7 est pair.
Un entier terminé par 0 est impair.
Le carré d’un entier impair est pair.
Un entier terminé par 4 est pair.
Le carré d’un entier impair est impair.

Un entier terminé par 4 est pair. · Le carré d’un entier impair est impair.

Explication

Les chiffres terminaux 0,2,4,6,80,2,4,6,8 caractérisent les entiers pairs, tandis que les autres chiffres terminaux caractérisent les entiers impairs. Le carré d’un entier impair demeure impair.

6. Soit aa un entier impair écrit sous la forme a=2k+1a=2k+1 ; cochez les propositions exactes :

Le développement de a2a^2 donne 4k2+4k+14k^2+4k+1.
Le carré d’un entier impair possède une parité paire.
Le terme constant du développement de a2a^2 vaut 2.
L’écriture a=2k+1a=2k+1 caractérise un entier pair.
Le carré a2a^2 s’écrit sous la forme 2m+12m+1 avec mm entier.

Le développement de $$a^2$$ donne $$4k^2+4k+1$$. · Le carré $$a^2$$ s’écrit sous la forme $$2m+1$$ avec $$m$$ entier.

Explication

Un entier impair s’écrit a=2k+1a=2k+1 avec kk entier. En développant, a2=4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1a^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1, ce qui montre que son carré est impair.

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Qu'est-ce qu'un ensemble en mathématiques ?

Un regroupement d’objets distincts décrit entre accolades.

Quels sont les éléments de l’ensemble des chiffres ?

Les chiffres sont {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

Que signifie le symbole ∈ en théorie des ensembles ?

Il signifie qu’un objet est élément d’un ensemble.

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