Fiche de révision : Asservissement et correcteurs

📋 Plan du Cours

1. Consignes unitaires
2. Transformée de Laplace
3. Fonctions de transfert
4. Réponses temporelles
5. Structure des systèmes asservis
6. Performances des systèmes
7. Analyse fréquentielle
8. Correcteurs et réglage

📖 1. Consignes unitaires

📝 Points essentiels

• Les principales consignes unitaires sont:
  • l’impulsion
  • l’échelon
  • la rampe
  • la sinusoïde

📖 2. Transformée de Laplace

★ À maîtriser

📌 Pour un système stable, le théorème de la valeur finale permet de déterminer la valeur atteinte par la sortie lorsque le temps tend vers l’infini.

Compléments

📌 Le théorème de la valeur initiale permet de déterminer la valeur de la sortie au voisinage de l’instant initial.

📖 3. Fonctions de transfert

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de transfert canonique : Obtenue en écrivant la fraction comme un quotient de polynômes puis en factorisant par le terme d’ordre le plus faible du numérateur et du dénominateur.
• Pôle : Racine du dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée.
• Zéro : Racine du numérateur de la fonction de transfert en boucle fermée.

📝 Points essentiels

• Dans une fonction de transfert canonique, K désigne le gain statique et n désigne l’ordre du système.

💡 Astuce mémo

Les pôles viennent du dénominateur, les zéros du numérateur.

📖 4. Réponses temporelles

★ À maîtriser

• Les réponses temporelles étudiées comprennent: la réponse à un échelon d’un système d’ordre 1, la réponse à une rampe d’un système d’ordre 1, la réponse à un échelon d’un système d’ordre 2

• Pour un système d’ordre 2, le régime peut être: apériodique, critique, pseudo-périodique, harmonique

• Les paramètres caractéristiques d’un système d’ordre 2 sont le gain statique K, le coefficient d’amortissement z et la pulsation propre non amortie ω0, strictement positive et exprimée en rad/s.

Compléments

• Pour un système d’ordre 1, les paramètres caractéristiques sont le gain statique K et la constante de temps τ, strictement positive et exprimée en secondes.

📖 5. Structure des systèmes asservis

🔑 Notions clés & Définitions

• Système asservi : Comporte une boucle de retour avec un capteur et un correcteur qui améliore ses performances.

★ À maîtriser

📌 On parle de système suiveur ou de poursuite lorsque l’entrée varie, et de système régulé lorsque l’entrée est constante.

Compléments

📌 Un retour est unitaire lorsque la grandeur de sortie mesurée est égale à la consigne dans la boucle de retour.

• Le saturateur est un bloc non linéaire.

💡 Astuce mémo

Boucle de retour → mesure de l’écart → correction des performances.

📖 6. Performances des systèmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Stabilité : Système dont la sortie, pour une entrée en échelon, converge vers une valeur finale constante, ce qui correspond au comportement entrée bornée-sortie bornée.
• Temps de réponse à 5 % : Durée nécessaire pour que la sortie entre dans la bande des 5 % autour de sa valeur finale et n’en sorte plus.
• Pôle dominant : Pôle dont la contribution à la réponse est significative par rapport à celles des autres pôles.

★ À maîtriser

📌 Un système est stable au sens entrée bornée-sortie bornée si les pôles de sa fonction de transfert ont une partie réelle strictement négative.

Compléments

• Les pôles complexes conjugués font apparaître des oscillations dans la réponse.

📖 7. Analyse fréquentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Pulsation de cassure : Pulsation à laquelle le diagramme de Bode change de pente asymptotique.
• Marge de gain : Écart de gain entre le point critique et le point de la FTBO où la phase atteint la valeur critique.

★ À maîtriser

• La fonction de transfert en boucle fermée caractérise la rapidité du système, et la fonction de transfert en boucle ouverte peut aussi fournir une bonne approximation de cette rapidité.

Compléments

• Pour un produit de deux systèmes d’ordre 1, les diagrammes de Bode s’additionnent.

📖 8. Correcteurs et réglage

★ À maîtriser

• Le correcteur proportionnel améliore la précision et dégrade la stabilité lorsque son gain augmente, sans modifier la phase du diagramme de Bode.

• Le correcteur intégral augmente la classe de la FTBO, élimine l’erreur permanente en échelon s’il est placé en amont de la perturbation et diminue la phase de 90°.

• Le correcteur proportionnel intégral améliore la précision, augmente le gain aux basses fréquences et dégrade la stabilité.

• Le correcteur à avance de phase ajoute de la phase, augmente la stabilité et améliore la rapidité, mais introduit des vibrations et du bruit.

• Le correcteur PID se comporte comme un correcteur intégral aux basses fréquences, comme un correcteur proportionnel aux fréquences intermédiaires et comme un correcteur dérivé aux hautes fréquences.

Compléments

• Le correcteur à retard de phase améliore la précision, augmente le gain de la FTBO aux basses fréquences, enlève de la phase et dégrade la stabilité.

• Un PID bien réglé combine l’amélioration de la précision du correcteur PI et l’amélioration de la rapidité du correcteur PD, mais il est difficile à régler.

💡 Astuce mémo

Le correcteur P améliore la précision mais dégrade la stabilité, tandis que l’avance de phase augmente la stabilité.

📊 Tableaux de synthèse

Effets des correcteurs