Fiche de révision : Automatismes et trinômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Calcul littéral et équations
2. Formes d’un trinôme
3. Factorisation et identités remarquables
4. Racines et relations de Viète
5. Résolution des équations du second degré
6. Forme canonique et extremum
7. Racines carrées et simplification
8. Applications des équations
9. Unités et calculs numériques

📖 1. Calcul littéral et équations

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation du premier degré, on regroupe les termes en x d’un côté, les constantes de l’autre, puis on divise par le coefficient de x non nul.

📐 Formule — Le coefficient directeur d’une droite passant par A et B vérifie $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$.

Compléments

• Une diminution de 10 % sur 50 € correspond à 5 €, donc le prix après réduction est 45 €.

💡 Astuce mémo

Développer, réduire, isoler

📖 2. Formes d’un trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme du second degré : Un trinôme du second degré s’écrit sous forme développée $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si les racines x₁ et x₂ sont connues, la forme factorisée d’un trinôme est $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a\ne0$.

📐 Formule — La forme canonique d’un trinôme est $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=P(\alpha)$.

💡 Astuce mémo

Développée, factorisée et canonique décrivent le même trinôme avec des usages différents

📖 3. Factorisation et identités remarquables

★ À maîtriser

• Pour développer un produit de facteurs, on distribue chaque terme du premier facteur à chaque terme du second, puis on réduit les termes semblables.

📐 Formule — Une différence de deux carrés se factorise selon $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$.

Compléments

• L’expression $2x^2-10x+12$ se factorise en $2(x-2)(x-3)$.

💡 Astuce mémo

Deux expressions se décomposent comme les deux branches d’un produit remarquable

📖 4. Racines et relations de Viète

★ À maîtriser

📌 Si r est une racine d’un polynôme, alors x-r est un facteur de ce polynôme.

📐 Formule — Pour un trinôme $ax^2+bx+c$ de racines x₁ et x₂, on a $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

Compléments

• Pour $f(x)=-3(x+7)(x-6)$, les racines sont −7 et 6.

💡 Astuce mémo

Racines connues → facteurs du trinôme

📖 5. Résolution des équations du second degré

★ À maîtriser

📐 Formule — Le discriminant d’un trinôme $ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si Δ<0, l’équation n’a aucune solution réelle ; si Δ=0, elle possède une racine réelle unique ; si Δ>0, elle possède deux racines réelles.

📐 Formule — Lorsque Δ≥0, les racines sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

• L’équation $2x^2+7x-15=0$ a pour discriminant 169 et pour solutions −5 et 3/2.

💡 Astuce mémo

Δ<0 : aucune racine ; Δ=0 : une racine ; Δ>0 : deux racines

📖 6. Forme canonique et extremum

★ À maîtriser

• Pour obtenir la forme canonique, on calcule d’abord $\alpha=-\frac{b}{2a}$, puis $\beta=f(\alpha)$, et on écrit $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.

📌 Si a>0, la parabole admet un minimum en β ; si a<0, elle admet un maximum en β.

Compléments

• Le trinôme $2x^2-20x+10$ s’écrit sous forme canonique $2(x-5)^2-40$.

💡 Astuce mémo

La parabole se recentre autour de son axe x=α et atteint β

📖 7. Racines carrées et simplification

★ À maîtriser

• Pour simplifier une racine carrée, on décompose le nombre sous le radical en un carré parfait multiplié par un autre facteur, puis on extrait la racine du carré parfait.

📌 Des racines carrées peuvent être additionnées ou soustraites directement seulement lorsqu’elles ont le même radicand après simplification.

Compléments

• On a $\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt3$, $\sqrt{27}=3\sqrt3$ et $\sqrt{48}=4\sqrt3$.

💡 Astuce mémo

Décomposer le radicand, extraire les carrés, réduire les termes semblables

📖 8. Applications des équations

★ À maîtriser

• Pour résoudre un problème modélisé par un trinôme, on traduit les données en équation, on la met sous la forme $ax^2+bx+c=0$, on la résout, puis on interprète les solutions dans le contexte.

📐 Formule — La distance d’arrêt est modélisée par $d=\frac{v}{s}+\frac{v^2}{150}$.

Compléments

• Pour une distance d’arrêt de 72 m, le modèle conduit à l’équation $-v^2-30v+10800=0$, dont la solution positive est 90 km/h.

💡 Astuce mémo

Modéliser la situation → obtenir un trinôme → résoudre et interpréter

📖 9. Unités et calculs numériques

📝 Points essentiels

• L’équation $7x+4=5x+6$ a pour solution x=1.

• Le trinôme $-2x^2+5x-2$ admet 2 comme racine, car sa valeur en 2 est nulle.

📊 Tableaux de synthèse

Nombre de racines selon le discriminant