QCM : Automatismes et trinômes du second degré — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Concernant le coefficient directeur d’une droite, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le coefficient directeur mesure la variation horizontale par variation verticale.
Le coefficient directeur est donné par m=ΔxΔym=\frac{\Delta x}{\Delta y}.
Pour deux points A et B, on calcule m=yB−yAxB−xAm=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.
La quantité Δy\Delta y représente à elle seule le coefficient directeur.
Le coefficient directeur compare une variation verticale à une variation horizontale.

Pour deux points A et B, on calcule $$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$. · Le coefficient directeur compare une variation verticale à une variation horizontale.

Explication

Le coefficient directeur compare la variation verticale à la variation horizontale, selon m=yB−yAxB−xAm=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}. La variation verticale seule, Δy\Delta y, ne suffit donc pas à déterminer une pente.

2. Concernant la forme développée d’un trinôme du second degré :

Le coefficient aa doit être non nul.
La forme développée s’écrit nécessairement f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x)=a(x-x_1)(x-x_2).
Une valeur a=0a=0 conserve un trinôme du second degré.
Le coefficient cc représente le terme constant.
Elle s’écrit sous la forme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c.

Le coefficient $$a$$ doit être non nul. · Le coefficient $$c$$ représente le terme constant. · Elle s’écrit sous la forme $$f(x)=ax^2+bx+c$$.

Explication

La forme développée d’un trinôme est f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a≠0a\ne0. Si a=0a=0, le terme du second degré disparaît et l’expression devient affine.

3. Un trinôme dont les racines sont connues peut être décrit ainsi :

La forme factorisée s’écrit f(x)=a(x+x1)(x+x2)f(x)=a(x+x_1)(x+x_2).
Sa forme factorisée contient les facteurs associés à x1x_1 et x2x_2.
La forme factorisée fait apparaître les racines du trinôme.
La forme factorisée s’écrit f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x)=a(x-x_1)(x-x_2) avec a≠0a\ne0.
La forme factorisée est déterminée par les coefficients aa, bb et cc seuls.

Sa forme factorisée contient les facteurs associés à $$x_1$$ et $$x_2$$. · La forme factorisée fait apparaître les racines du trinôme. · La forme factorisée s’écrit $$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$ avec $$a\ne0$$.

Explication

Avec les racines connues, la forme factorisée est f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x)=a(x-x_1)(x-x_2), avec a≠0a\ne0. La forme canonique utilise plutôt α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} et β=P(α)\beta=P(\alpha).

4. À propos de la forme canonique d’un trinôme, quelles propositions sont exactes ?

Le paramètre β\beta est égal à P(α)P(\alpha).
Le paramètre β\beta correspond nécessairement à une racine du trinôme.
Le paramètre α\alpha vérifie α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a}.
Le paramètre α\alpha vérifie α=−ba\alpha=-\frac{b}{a}.
Elle s’écrit P(x)=a(x−α)2+βP(x)=a(x-\alpha)^2+\beta.

Le paramètre $$\beta$$ est égal à $$P(\alpha)$$. · Le paramètre $$\alpha$$ vérifie $$\alpha=-\frac{b}{2a}$$. · Elle s’écrit $$P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$.

Explication

La forme canonique est P(x)=a(x−α)2+βP(x)=a(x-\alpha)^2+\beta, avec α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} et β=P(α)\beta=P(\alpha). Les racines servent à construire la forme factorisée, non à définir directement ces deux paramètres.

5. Concernant le développement d’un produit de facteurs :

Le développement consiste à faire apparaître un produit de facteurs.
Les termes semblables sont regroupés après les multiplications.
Les parenthèses sont supprimées grâce à la distributivité.
Chaque terme du premier facteur est distribué à chaque terme du second.
La factorisation et le développement désignent la même transformation.

Les termes semblables sont regroupés après les multiplications. · Les parenthèses sont supprimées grâce à la distributivité. · Chaque terme du premier facteur est distribué à chaque terme du second.

Explication

Développer un produit consiste à distribuer chaque terme du premier facteur à chaque terme du second, puis à réduire les termes semblables. La factorisation effectue l’opération inverse en faisant apparaître un produit.

6. Concernant le discriminant d’un trinôme et le nombre de ses solutions réelles :

Si Δ=0\Delta=0, l’équation possède une racine réelle unique.
Pour ax2+bx+cax^2+bx+c, on a Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac.
La quantité −b2a-\frac{b}{2a} constitue directement le discriminant.
Si Δ>0\Delta>0, l’équation possède deux racines réelles.
Si Δ<0\Delta<0, l’équation possède deux solutions réelles.

Si $$\Delta=0$$, l’équation possède une racine réelle unique. · Pour $$ax^2+bx+c$$, on a $$\Delta=b^2-4ac$$. · Si $$\Delta>0$$, l’équation possède deux racines réelles.

Explication

Le discriminant se calcule avec Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac. Le signe de Δ\Delta détermine le nombre de racines réelles : deux si Δ>0\Delta>0, une si Δ=0\Delta=0 et aucune si Δ<0\Delta<0.

7. Concernant la forme canonique et l’extrémum d’un trinôme, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Si a<0a<0, la parabole admet un minimum égal à β\beta.
La forme canonique s’écrit f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta.
Si a>0a>0, la parabole admet un minimum égal à β\beta.
On obtient ensuite β=f(α)\beta=f(\alpha).
On calcule d’abord α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a}.

La forme canonique s’écrit $$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$. · Si $$a>0$$, la parabole admet un minimum égal à $$\beta$$. · On obtient ensuite $$\beta=f(\alpha)$$. · On calcule d’abord $$\alpha=-\frac{b}{2a}$$.

Explication

La forme canonique se construit en calculant d’abord α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a}, puis β=f(α)\beta=f(\alpha). Si a>0a>0, l’extrémum est un minimum ; si a<0a<0, c’est un maximum.

8. Pour le trinôme 2x2−20x+102x^2-20x+10, quelles sont les réponses exactes ?

Le trinôme possède un minimum égal à −40-40.
Sa forme canonique est 2(x−5)2−402(x-5)^2-40.
La valeur de α\alpha est 55.
La valeur de β\beta est 4040.
Le trinôme possède un maximum égal à −40-40.

Le trinôme possède un minimum égal à $$-40$$. · Sa forme canonique est $$2(x-5)^2-40$$. · La valeur de $$\alpha$$ est $$5$$.

Explication

Pour 2x2−20x+102x^2-20x+10, on trouve α=5\alpha=5 puis β=−40\beta=-40. La forme canonique est donc 2(x−5)2−402(x-5)^2-40 ; comme a=2>0a=2>0, −40-40 est un minimum.

9. Concernant la simplification des racines carrées, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

48=483\sqrt{48}=48\sqrt3 après multiplication par le facteur restant.
48=16+3\sqrt{48}=\sqrt{16}+\sqrt3 après séparation des termes.
48=316\sqrt{48}=3\sqrt{16} après échange des facteurs sous le radical.
48=43\sqrt{48}=4\sqrt3 après extraction de 16\sqrt{16}.
48=83\sqrt{48}=8\sqrt3 après extraction de 64\sqrt{64}.

$$\sqrt{48}=4\sqrt3$$ après extraction de $$\sqrt{16}$$.

Explication

La simplification consiste à extraire la racine d’un carré parfait présent sous le radical. Ainsi, 48=16×3=43\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt3 ; les autres égalités utilisent un facteur extrait incorrect ou une multiplication différente.

10. Parmi les propositions suivantes concernant l’addition de racines carrées, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

232\sqrt3 et 333\sqrt3 peuvent être additionnées directement.
5\sqrt5 et 252\sqrt5 possèdent des radicands différents après simplification.
8\sqrt8 et 18\sqrt{18} deviennent respectivement 222\sqrt2 et 323\sqrt2.
2\sqrt2 et 3\sqrt3 peuvent être regroupées directement.
12\sqrt{12} et 27\sqrt{27} ont des radicands différents après simplification.

$$2\sqrt3$$ et $$3\sqrt3$$ peuvent être additionnées directement. · $$\sqrt8$$ et $$\sqrt{18}$$ deviennent respectivement $$2\sqrt2$$ et $$3\sqrt2$$.

Explication

Des racines sont directement additionnables ou soustractibles lorsqu’elles possèdent le même radicand après simplification. 232\sqrt3 et 333\sqrt3 sont donc semblables, contrairement à 2\sqrt2 et 3\sqrt3.

11. Les étapes d’un problème modélisé par un trinôme comprennent :

La traduction des données en une équation adaptée.
La conservation de toute solution algébrique sans examen du contexte.
La résolution de l’équation avant la traduction des données.
L’interprétation des solutions selon les contraintes du contexte.
La mise en forme ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 avant la résolution.

La traduction des données en une équation adaptée. · L’interprétation des solutions selon les contraintes du contexte. · La mise en forme $$ax^2+bx+c=0$$ avant la résolution.

Explication

La résolution d’un problème modélisé par un trinôme suit les étapes de traduction, de mise sous la forme ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0, de résolution et d’interprétation. Une solution algébrique doit encore respecter les contraintes du contexte.

12. Concernant le modèle de distance d’arrêt, quelles sont les réponses exactes au sujet de d=72d=72 m ?

La distance d’arrêt est modélisée par d=sv+v2150d=\frac{s}{v}+\frac{v^2}{150}.
L’équation associée à 7272 m est −v2−30v+10800=0-v^2-30v+10800=0.
La solution positive de l’équation vaut 7272 km/h.
La distance d’arrêt est modélisée par d=vs+v2150d=\frac{v}{s}+\frac{v^2}{150}.
La solution positive du modèle vaut 9090 km/h.

L’équation associée à $$72$$ m est $$-v^2-30v+10800=0$$. · La distance d’arrêt est modélisée par $$d=\frac{v}{s}+\frac{v^2}{150}$$. · La solution positive du modèle vaut $$90$$ km/h.

Explication

Le modèle de distance d’arrêt est d=vs+v2150d=\frac{v}{s}+\frac{v^2}{150}. Pour d=72d=72 m, l’équation donnée possède une solution positive de 9090 km/h ; les autres valeurs ou expressions ne correspondent pas au modèle fourni.

13. Concernant l’équation 7x+4=5x+67x+4=5x+6, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La solution de l’équation est x=2x=2.
La valeur x=1x=1 est nécessairement une racine de tout trinôme associé.
La résolution conduit à 2x=22x=2 avant d’obtenir la solution.
La valeur x=1x=1 vérifie l’égalité initiale.
La solution de l’équation est x=1x=1.

La résolution conduit à $$2x=2$$ avant d’obtenir la solution. · La valeur $$x=1$$ vérifie l’égalité initiale. · La solution de l’équation est $$x=1$$.

Explication

En résolvant 7x+4=5x+67x+4=5x+6, on obtient 2x=22x=2, donc x=1x=1. Cette valeur concerne cette équation linéaire et ne constitue pas automatiquement une racine d’un trinôme.

14. Concernant le trinôme f(x)=−2x2+5x−2f(x)=-2x^2+5x-2, la(les)quelle(s) est(sont) la(les) proposition(s) exacte(s) ?

22 est une racine du trinôme car f(2)=0f(2)=0.
Une valeur non nulle du trinôme en 11 exclut que 11 soit une racine.
La valeur f(2)f(2) est nulle après remplacement de xx par 22.
Le calcul de f(2)f(2) donne 22.
11 est une racine du trinôme car f(1)=1f(1)=1.

$$2$$ est une racine du trinôme car $$f(2)=0$$. · Une valeur non nulle du trinôme en $$1$$ exclut que $$1$$ soit une racine. · La valeur $$f(2)$$ est nulle après remplacement de $$x$$ par $$2$$.

Explication

Pour f(x)=−2x2+5x−2f(x)=-2x^2+5x-2, on calcule f(2)=0f(2)=0, ce qui établit que 22 est une racine. En revanche, f(1)=1f(1)=1 ne permet pas de considérer 11 comme une racine.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 42 flashcards sur Automatismes et trinômes du second degré.

Quelle est la première étape pour résoudre une équation du premier degré ?

Regrouper les termes en x d’un côté.

Que fait-on après avoir regroupé les termes en x et les constantes ?

On divise par le coefficient de x non nul.

Comment calcule-t-on le coefficient directeur d’une droite passant par A et B ?

m=yB−yAxB−xAm=\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}

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