QCM : Barycentres et trigonométrie — 65 questions

Explication

Un polynôme du second degré s’écrit ax²+bx+c avec a ≠ 0. Si a est nul, le terme en x² disparaît et le polynôme n’est plus du second degré.

Explication

Le discriminant d’un polynôme ax²+bx+c est Δ=b²−4ac. Ici, a=3, b=−5 et c=2.

Explication

Son discriminant vaut Δ=(−4)²−4×2×5=−24, donc il est négatif. L’équation ne possède aucune solution réelle.

Explication

Il faut d’abord examiner les valeurs du paramètre qui rendent le coefficient de x² nul, car l’équation peut alors devenir du premier degré. On étudie ensuite le discriminant dans le cas réellement du second degré.

Explication

L’étude du signe dépend des cas déterminés par le discriminant et de l’orientation donnée par le signe de a. Le nombre de solutions, lui, dépend seulement du discriminant.

Explication

Avec deux racines distinctes, le polynôme prend le signe de a à l’extérieur de l’intervalle formé par les racines et le signe opposé entre elles.

Explication

Une inéquation du second degré contient un polynôme ax²+bx+c avec a ≠ 0 et une relation d’inégalité. −x²+3x−1≥0 répond à cette définition.

Explication

La résolution d’une inéquation du second degré consiste à étudier le signe du polynôme, puis à sélectionner les intervalles correspondant au signe demandé, en incluant les zéros lorsque l’inégalité est large.

Explication

Une équation bicarrée contient uniquement des puissances paires de x et s’écrit ax⁴+bx²+c=0 avec a non nul. Une équation quartique générale peut aussi comporter des termes en x³ et en x.

Explication

En posant X=x², on obtient 2X²−3X+1=0. Après résolution, seules les valeurs X≥0 permettent de retrouver des solutions réelles x.

Explication

Il faut garantir l’existence de la racine et la non-négativité du membre droit, puis résoudre l’équation obtenue après élévation au carré. Une vérification dans l’équation initiale élimine les éventuelles solutions introduites.

Explication

La résolution consiste à déterminer tous les triplets réels \((x,y,z)\) qui vérifient simultanément les trois équations du système.

Explication

Les méthodes de Cramer et de Sarrus utilisent des déterminants, tandis que la substitution et le pivot de Gauss transforment directement les équations.

Explication

Le pivot de Gauss transforme le système en un système équivalent triangulaire, puis les inconnues sont déterminées par remontée à partir de la dernière équation.

Explication

Lorsque \(\Delta_S\) est non nul, chaque inconnue est le quotient du déterminant qui lui est associé par le déterminant principal.

Explication

Une fonction tend vers l’infini lorsque ses valeurs deviennent arbitrairement grandes quand la variable tend vers plus ou moins l’infini. Il s’agit d’un comportement à l’infini, et non en un point.

Explication

L’inverse d’une puissance positive devient de plus en plus petit en valeur absolue lorsque \(|x|\) augmente, donc sa limite est 0 aux deux infinis.

Explication

Une limite à droite est étudiée lorsque \(x\) approche \(x_0\) par des valeurs supérieures à \(x_0\), alors qu’une limite à gauche utilise des valeurs inférieures.

Explication

Le théorème exige que \(f\) soit encadrée par deux fonctions dont les limites sont identiques : si \(g\le f\le h\) et que les deux limites valent \(l\), alors \(f\) tend vers \(l\).

Explication

La limite fondamentale est \(\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1\), ce qui permet de traiter de nombreuses limites trigonométriques.

Explication

On pose \(u=ax+b\). Lorsque \(x\) tend vers \(x_0\), la nouvelle variable tend vers \(ax_0+b\), ce qui permet de ramener le calcul à une limite en \(u\).

Explication

L’inverse d’une fonction qui tend vers une limite non nulle \(l\) tend vers \(\frac{1}{l}\). Ici, la limite vaut donc \(\frac{1}{3}\).

Explication

La valeur absolue transforme la limite en sa valeur absolue : \(\lim |f(x)|=|\lim f(x)|=|-4|=4\).

Explication

Une fonction est continue en \(x_0\) si elle y est définie et si \(\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\). La dérivabilité n’est pas nécessaire pour assurer cette définition.

Explication

Pour \(x\neq1\), \(f(x)=x+1\), donc \(\lim_{x\to1}f(x)=2\). Le prolongement continu prend cette valeur en \(1\).

Explication

La dérivabilité en \(x_0\) est définie par l’existence d’une limite finie du quotient différentiel, appelée nombre dérivé \(f'(x_0)\).

Explication

La tangente a pour équation \(y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\). En remplaçant par \(x_0=2\), \(f'(2)=-3\) et \(f(2)=5\), on obtient \(y=-3(x-2)+5\).

Explication

La dérivabilité exige que les nombres dérivés à gauche et à droite existent et soient égaux. Comme \(2\neq5\), la fonction n’est pas dérivable en \(x_0\).

Explication

La dérivabilité entraîne la continuité, mais la réciproque est fausse : certaines fonctions continues, comme une fonction présentant un angle, ne sont pas dérivables.

Explication

Une fonction associe à chaque élément de l’ensemble de départ au plus un élément de l’ensemble d’arrivée, tandis qu’une application lui associe une et une seule image.

Explication

Dans la composée \(g\circ f\), on applique d’abord \(f\), puis \(g\). Ainsi, \((g\circ f)(x)=g(f(x))\).

Explication

La surjectivité signifie que chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède au moins un antécédent. L’injectivité correspond, elle, à la condition d’au plus un antécédent.

Explication

Le domaine de définition est l’ensemble des nombres réels pour lesquels la fonction possède une valeur. Il ne se réduit pas nécessairement aux réels où la fonction est positive ou dérivable.

Explication

Le dénominateur ne doit pas être nul, donc x=3 est exclu. Le domaine est ainsi ℝ\{3}.

Explication

Le radicand d’une racine carrée doit être positif ou nul. Il faut donc résoudre 2x−5≥0, et non imposer qu’il soit strictement positif ou non nul.

Explication

L’étude générale comprend notamment le domaine, les limites, la dérivée, les variations, les éléments remarquables et la construction de la courbe.

Explication

Une suite numérique associe à chaque entier naturel une valeur réelle. Elle est généralement notée (uₙ).

Explication

Une suite est bornée lorsqu’il existe à la fois un minorant et un majorant pour tous ses termes.

Explication

Dans une suite arithmétique, la différence entre deux termes consécutifs est constante et vaut r. La relation uₙ₊₁=ruₙ caractérise plutôt une suite géométrique.

Explication

Par convention, 0!=1. Cette valeur est nécessaire pour conserver les formules usuelles de dénombrement.

Explication

Un arrangement avec répétition de 3 éléments parmi 5 se compte par 5³=125. Chaque position peut accueillir l’un des 5 éléments.

Explication

La formule donne A₅²=5!/(5−2)!=5×4=20. L’ordre compte et aucun élément ne peut être utilisé deux fois.

Explication

Une combinaison ne tient pas compte de l’ordre et est donnée par Cₙᵖ=n!/[p!(n−p)!]. La formule Aₙᵖ compte au contraire des arrangements ordonnés sans répétition.

Explication

Multiplier tous les coefficients par un même réel non nul ne modifie pas le barycentre. En revanche, modifier un seul coefficient peut le déplacer.

Explication

Les barycentres de deux points distincts appartiennent à la droite (AB), et réciproquement tout point de cette droite peut être obtenu comme barycentre avec des coefficients convenables.

Explication

La relation caractéristique du barycentre est α\overrightarrow{MA}+β\overrightarrow{MB}=(α+β)\overrightarrow{MG}. La condition α+β≠0 garantit que le barycentre est défini.

Explication

On applique la formule des coordonnées : x_G=(1×2+2×8)/3=6 et y_G=(1×1+2×4)/3=3. Ainsi, G=(6,3).

Explication

Si l’un des trois points est le barycentre des deux autres, il appartient à la droite qui les relie ; les trois points sont donc alignés. Le barycentre commun concerne plutôt la démonstration d’un concours de droites.

Explication

On exprime chaque point construit comme barycentre de deux sommets, puis on forme un barycentre commun et on regroupe les points afin de montrer que ce barycentre appartient aux trois droites.

Explication

Les mesures d’un même angle orienté sont de la forme α+2kπ, où k est un entier relatif. Deux mesures d’un même angle diffèrent donc d’un multiple entier de 2π.

Explication

Par définition, x et y sont congrus modulo 2π si leur différence est un multiple entier de 2π. Cette relation est plus générale que l’égalité ordinaire.

Explication

Il faut écrire θ=α+2kπ avec k∈ℤ, puis choisir l’unique valeur vérifiant −π<θ≤π. Cet intervalle définit la mesure principale.

Explication

La relation de Chasles permet de composer les rotations successives : l’angle de u vers v ajouté à celui de v vers w donne l’angle de u vers w.

Explication

Le cosinus de α est l’abscisse du point correspondant sur le cercle trigonométrique, tandis que le sinus en est l’ordonnée.

Explication

L’identité fondamentale est cos²α + sin²α = 1, et chacune des fonctions sinus et cosinus prend ses valeurs entre −1 et 1. La tangente, elle, n’est pas bornée.

Explication

Pour un angle non droit, la tangente est définie par le quotient tan α = sin α / cos α.

Explication

La méthode consiste à normaliser les coefficients par R, à choisir φ tel que cos φ = a/R et sin φ = b/R, puis à transformer l’équation en cos(φ−x) = −c/R.

Explication

Dans cette équation, le vecteur (a,b) est un vecteur normal à la droite, tandis que (−b,a), qui lui est orthogonal, est un vecteur directeur.

Explication

Les vecteurs normaux des deux droites sont (a,b) et (a′,b′). Les droites sont perpendiculaires lorsque le produit scalaire de ces vecteurs est nul, soit aa′ + bb′ = 0.

Explication

Une équation normale s’écrit x cos θ + y sin θ + k = 0, et le vecteur (cos θ,sin θ) est un vecteur normal de norme 1.

Explication

La distance est la valeur absolue de l’expression de la droite au point, divisée par la norme du vecteur normal : d(A,D) = |ax₀ + by₀ + c| / √(a²+b²).

Explication

Une application est une translation lorsque, pour tous points M et N et leurs images M′ et N′, les vecteurs MN⃗ et M′N′⃗ sont égaux.

Explication

Le vecteur nul donne l’application identique, donc tous les points sont invariants. Une translation de vecteur non nul ne possède aucun point invariant.

Explication

Ajouter le vecteur (a,b) aux coordonnées du point donne x′ = x+a et y′ = y+b.

Explication

La composée de deux translations est une translation dont le vecteur est la somme des deux vecteurs : t_u⃗ ∘ t_v⃗ = t_(u⃗+v⃗).