Fiche de révision : Bases de l’électrocinétique

📋 Plan du Cours

1. Circuits et vocabulaire électrique
2. Charges et conduction électrique
3. Intensité et loi des nœuds
4. Tension et lois des mailles
5. Puissance et conventions électriques
6. Caractéristiques des dipôles
7. Résistances et loi d’Ohm
8. Associations de résistances
9. Sources électriques et équivalences
10. Circuits électriques à une maille
11. Résolution des réseaux électriques
12. Régime variable et ARQS
13. Propriétés du condensateur
14. Charge d’un condensateur
15. Décharge d’un condensateur
16. Propriétés de la bobine
17. Établissement du courant dans une bobine

📖 1. Circuits et vocabulaire électrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Électrocinétique : Étude des circuits électriques en régime stationnaire, indépendant du temps, et dans l’approximation des régimes quasi stationnaires, lentement variables.
• Dipôle : Composant électrique comportant deux bornes.
• Circuit électrique : Ensemble de dipôles reliés entre eux.
• Nœud : Point du circuit reliant entre eux au moins trois dipôles ; les points reliés par un simple fil constituent le même nœud éclaté.
• Branche : Ensemble de dipôles montés entre deux nœuds consécutifs, les dipôles d’une même branche étant associés en série.
• Maille : Ensemble de branches formant un contour fermé que l’on peut parcourir sans passer plus d’une fois par chaque nœud intermédiaire.

📖 2. Charges et conduction électrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Courant électrique : Déplacement d’ensemble ordonné de charges électriques, appelées porteurs de charges.

★ À maîtriser

• La charge électrique est une grandeur scalaire, s’exprime en coulombs (C) et est quantifiée comme un multiple de la charge élémentaire e = 1,6 · 10⁻¹⁹ C.

• Dans un solide métallique, des électrons libres, aussi appelés électrons de conduction, peuvent se déplacer dans tout le solide.

Compléments

• La charge d’un électron vaut −e, celle d’un proton vaut e et celle d’un cation Cu²⁺ vaut 2e.

• Dans un métal, les atomes ayant cédé au moins un électron sont ionisés et forment des cations dans un réseau baignant dans un nuage d’électrons.

• Dans les métaux, les porteurs de charge sont les électrons libres ; dans les solides semi-conducteurs, les électrolytes et les plasmas, les porteurs sont respectivement ceux des milieux semi-conducteurs, les ions et les charges du gaz ionisé.

💡 Astuce mémo

Dans le métal, visualiser un réseau de cations baignant dans un nuage d’électrons libres.

📖 3. Intensité et loi des nœuds

🔑 Notions clés & Définitions

• Intensité du courant : Charge électrique traversant une section de conducteur par unité de temps.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’intensité moyenne vérifie $I = \frac{Q}{\Delta t}$, où Q est la charge traversant une section pendant la durée Δt.

• L’intensité du courant est algébrique : I > 0 signifie que le sens choisi correspond au sens conventionnel, tandis que I < 0 signifie qu’il lui est opposé.

• Pour mesurer une intensité, on branche un ampèremètre en série et on commence par le calibre le plus élevé, puis on choisit le calibre supérieur à la mesure qui en est le plus proche.

📌 Dans un circuit en régime continu, la charge se conserve, de sorte que les intensités en amont et en aval d’un dipôle sont égales et que les dipôles d’une même branche en série sont parcourus par le même courant.

📌 La loi des nœuds impose que la somme des intensités entrant dans un nœud égale la somme des intensités qui en sortent, soit $\sum_k \varepsilon_k I_k = 0$ avec εk = +1 pour un courant entrant et εk = −1 pour un courant sortant.

Compléments

• Le sens conventionnel du courant correspond au déplacement des charges positives, même si les porteurs ne circulent pas tous dans ce sens.

• L’intensité est de l’ordre du milliampère en électronique et du kiloampère en électrotechnique.

💡 Astuce mémo

Courant conventionnel : déplacement des charges positives ; courant réel : déplacement des porteurs, qui peuvent être négatifs.

📖 4. Tension et lois des mailles

🔑 Notions clés & Définitions

• Tension électrique : La tension électrique entre A et B est la différence de potentiel $U_{AB} = V_A - V_B$ ; sa flèche de représentation va de B vers A.

★ À maîtriser

• La tension aux bornes d’un fil ou d’un interrupteur fermé est nulle ; la tension d’un interrupteur ouvert est déterminée par le reste du circuit.

• Pour mesurer une tension, on branche un voltmètre en dérivation et, si la valeur est inconnue, on commence par le calibre le plus élevé avant de retenir le calibre supérieur à la mesure qui en est le plus proche.

📐 Formule - La loi d’additivité des tensions donne $U_{AC} = U_{AB} + U_{BC}$.

📌 Dans une maille orientée, la loi des mailles impose que la somme algébrique des tensions soit nulle, en comptant positivement une flèche dans le sens de parcours et négativement une flèche opposée.

Compléments

• En l’absence de générateur, les charges évoluent spontanément du potentiel électrique le plus élevé vers le potentiel le plus faible.

• Pour un dipôle récepteur, le courant positif descend les potentiels ; pour un dipôle générateur, le courant positif remonte les potentiels.

• La tension est indépendante de la référence choisie pour les potentiels, car ajouter une même constante à VA et VB ne modifie pas leur différence.

• La loi des nœuds et la loi des mailles constituent les lois de Kirchhoff, valables en régime continu.

💡 Astuce mémo

Comme un fluide descend une pente, les charges évoluent spontanément des potentiels élevés vers les potentiels faibles.

📖 5. Puissance et conventions électriques

★ À maîtriser

📌 En convention récepteur, les flèches de U et I sont opposées ; en convention générateur, elles sont de même sens.

📐 Formule - La puissance reçue par un dipôle en convention récepteur vérifie $P_{\mathrm{reçue}} = UI$.

📌 Pour un dipôle inconnu en convention récepteur, P = UI > 0 signifie qu’il fonctionne en récepteur, tandis que P = UI < 0 signifie qu’il fonctionne en générateur.

📌 La conservation de la puissance électrique s’écrit comme l’égalité entre la puissance totale reçue algébriquement et la puissance totale fournie algébriquement par les dipôles.

Compléments

• L’énergie potentielle d’une charge Q passant de A à B varie de Q(VB − VA) = −QU, et l’énergie reçue par le dipôle traversé par cette charge vaut QU.

💡 Astuce mémo

Convention récepteur : puissance reçue ; convention générateur : puissance fournie.

📖 6. Caractéristiques des dipôles

🔑 Notions clés & Définitions

• Caractéristique d’un dipôle : Courbe représentant la tension U en fonction du courant I, ou le courant I en fonction de la tension U.
• Dipôle récepteur : Fonctionne en récepteur si sa puissance électrique reçue est positive, et en générateur si sa puissance fournie est positive.
• Point de fonctionnement : Point de coordonnées (U, I) sur la caractéristique du dipôle.

📝 Points essentiels

• Un dipôle symétrique a une caractéristique symétrique par rapport à l’origine, contrairement à un dipôle polarisé dont la caractéristique ne l’est pas.

• Un dipôle linéaire a une caractéristique qui est une droite, tandis qu’un dipôle non linéaire a une caractéristique qui n’est pas une droite.

• Un dipôle passif a une caractéristique qui passe par l’origine, tandis qu’un dipôle actif a une caractéristique qui ne passe pas par l’origine.

📖 7. Résistances et loi d’Ohm

🔑 Notions clés & Définitions

• Conducteur ohmique : Un conducteur ohmique, aussi appelé résistor ou résistance, est un dipôle vérifiant la loi d’Ohm en convention récepteur, $U = RI$.
• Effet Joule : Conversion totale de la puissance électrique reçue par une résistance en puissance thermique.

★ À maîtriser

• Une résistance est un dipôle :
  • symétrique
  • linéaire
  • passif
  • fonctionnant en récepteur

📐 Formule - La puissance consommée par une résistance en convention récepteur vérifie $P = UI = RI^2 = GU^2$.

Compléments

📐 Formule - La conductance est l’inverse de la résistance et s’exprime en siemens : $G = \frac{1}{R}$.

• Au laboratoire, l’ordre de grandeur des résistances s’étend de 1 Ω à 10 MΩ.

• Une résistance se mesure à l’ohmmètre après avoir été isolée du circuit.

• En convention générateur, la loi d’Ohm s’écrit U = −RI, soit I = −GU.

• Une thermistance CTN ou CTP mesure la température ou détecte un échauffement, tandis qu’une photorésistance LDR réagit à l’éclairement et peut commander un éclairage.

📖 8. Associations de résistances

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour N résistances en série, la résistance équivalente vaut $R_{\mathrm{eq}} = \sum_{j=1}^{N} R_j$.

📐 Formule - Pour N résistances en série, la tension aux bornes de Rk vérifie $U_k = \frac{R_k}{R_{\mathrm{eq}}}U$, les flèches des tensions devant être de même sens.

📐 Formule - Pour N résistances en parallèle, la conductance équivalente vaut $G_{\mathrm{eq}} = \sum_{j=1}^{N} G_j$, soit $\frac{1}{R_{\mathrm{eq}}} = \sum_{j=1}^{N}\frac{1}{R_j}$.

📐 Formule - Pour N résistances en parallèle, le courant dans Rk vérifie $I_k = \frac{G_k}{G_{\mathrm{eq}}}I$, les flèches des courants devant être de même sens.

Compléments

📌 Le pont diviseur de tension s’applique uniquement à des résistances en série, parcourues par le même courant.

📐 Formule - Pour deux résistances en parallèle, la résistance équivalente vaut $R_{\mathrm{eq}} = \frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$.

📌 Le pont diviseur de courant s’applique uniquement aux résistances en dérivation, soumises à la même tension.

💡 Astuce mémo

En série, les résistances s’additionnent ; en parallèle, ce sont leurs conductances.

📖 9. Sources électriques et équivalences

🔑 Notions clés & Définitions

• Générateur de Thévenin : Modèle d’une source réelle de tension par une source de tension et une résistance interne lorsque sa caractéristique est approximativement une droite.
• Générateur de Norton : Modèle d’une source réelle de courant par une source de courant et une résistance interne lorsque sa caractéristique est approximativement une droite.

★ À maîtriser

📐 Formule - Un générateur idéal de tension impose $U = E$ quelle que soit l’intensité I.

📐 Formule - Un générateur idéal de courant impose $I = \eta$ quelle que soit la tension U.

📐 Formule - Les modèles de Thévenin et de Norton sont équivalents si leurs résistances sont égales et si $E = R\eta$ ; la conversion donne $\eta = \frac{E}{R}$.

Compléments

• Un générateur idéal de tension est une source libre ou indépendante, polarisée, linéaire et active.

📌 La mise en dérivation de générateurs idéaux de tension est une association dangereuse pouvant détruire les générateurs.

• Un générateur idéal de courant est une source libre ou indépendante, polarisée, linéaire et active.

📌 La mise en série de générateurs idéaux de courant est une association dangereuse pouvant détruire les générateurs.

💡 Astuce mémo

Thévenin impose une tension et Norton un courant ; leurs modèles réels sont convertibles.

📖 10. Circuits électriques à une maille

📝 Points essentiels

• Dans un circuit à une maille comportant un générateur et un récepteur non linéaires, le point de fonctionnement se détermine graphiquement par l’intersection de leurs caractéristiques.

📐 Formule - Pour deux dipôles linéaires, le point de fonctionnement vérifie $U=E-R_{th}I$ et $U=RI$.

• La loi de Pouillet permet de déterminer rapidement le courant d’un circuit en série constitué de sources indépendantes de tension et de résistances, en tenant compte du signe de chaque source selon le sens de sa flèche par rapport au sens choisi pour le courant.

📖 11. Résolution des réseaux électriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de superposition : Dans un circuit linéaire à sources indépendantes, l’état électrique total est la somme des états obtenus en ne laissant agir qu’une source à la fois.
• Générateur de Thévenin équivalent : Un réseau compris entre deux nœuds A et B est équivalent à un générateur de Thévenin de fém $E_{th}$ égale à la tension à vide et de résistance $R_{th}$ mesurée entre A et B lorsque les sources sont éteintes.

★ À maîtriser

• Pour appliquer les lois de Kirchhoff à un réseau de b branches et n nœuds, on écrit n−1 lois des nœuds indépendantes et b−n+1 lois des mailles indépendantes, puis on résout le système de b équations à b inconnues.

• La méthode des conversions successives simplifie un réseau en associant les générateurs de Thévenin ou de Norton, en convertissant judicieusement l’un en l’autre, puis en appliquant notamment un pont diviseur ou la loi de Pouillet.

Compléments

• Pour appliquer le théorème de superposition, on étudie un état par source indépendante en laissant celle-ci seule allumée, on détermine la grandeur recherchée dans chaque état, puis on additionne les résultats.

• Pour déterminer l’équivalent de Thévenin d’un réseau, on retire la charge, on calcule la tension à vide $E_{th}=U_{AB}$, puis on éteint les sources et on calcule la résistance équivalente entre A et B.

📖 12. Régime variable et ARQS

🔑 Notions clés & Définitions

• ARQS : Approximation qui considère que les tensions et les courants varient lentement, de sorte que les lois du régime continu restent valables dans le circuit.

★ À maîtriser

📐 Formule - Un circuit en série vérifie l’ARQS si sa longueur caractéristique $L$ est très inférieure à la longueur d’onde $\lambda$ du signal, soit $L\ll\lambda$ et $T\gg L/c$.

Compléments

📌 En régime continu, les grandeurs électriques sont notées en majuscules (I, U, P), tandis qu’en régime variable elles sont notées en minuscules (i, u, p).

📐 Formule - En régime variable, la puissance instantanée vérifie $p(t)=u(t)i(t)$.

• Pour un signal de fréquence 50 Hz et une célérité de $3\cdot10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}$, la longueur maximale associée à l’ARQS est de 6000 km, de sorte qu’elle n’est pas valide sur la totalité du réseau électrique français.

📖 13. Propriétés du condensateur

🔑 Notions clés & Définitions

• Condensateur : Constitué de deux conducteurs appelés armatures, séparés par un isolant, sur lesquels des charges s’accumulent lorsqu’il est soumis à une tension.

★ À maîtriser

📐 Formule - En convention récepteur, la relation charge-tension du condensateur est $q=Cu$, où $C$ est sa capacité.

📐 Formule - En convention récepteur, le courant du condensateur vérifie $i=\frac{dq}{dt}=C\frac{du}{dt}$.

📐 Formule - L’énergie électrostatique stockée dans un condensateur est $E_{\mathrm{elec}}=\frac{1}{2}Cu^2$.

Compléments

• En convention générateur, les relations du condensateur deviennent $q=-Cu$ et $i=-C\frac{du}{dt}$.

• En régime continu, la tension aux bornes d’un condensateur est constante et son courant est nul.

📐 Formule - Pour des condensateurs en dérivation, la capacité équivalente vaut $C_{eq}=\sum_{k=1}^{N}C_k$.

📐 Formule - Pour des condensateurs en série, la capacité équivalente vérifie $\frac{1}{C_{eq}}=\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{C_k}$.

💡 Astuce mémo

En série, les inverses des capacités s’ajoutent ; en dérivation, les capacités s’ajoutent.

📖 14. Charge d’un condensateur

★ À maîtriser

📐 Formule - Lors de la charge d’un condensateur par un générateur idéal de tension, une résistance R et un condensateur C, la tension vérifie $RC\frac{du_c}{dt}+u_c=E$ et la constante de temps vaut $\tau=RC$.

📐 Formule - Pour un condensateur initialement déchargé soumis à un échelon E, la tension de charge est $u_c(t)=E\left(1-e^{-t/\tau}\right)$.

• La tension du condensateur atteint 63 % de sa valeur finale après une constante de temps $\tau$ et au moins 99 % après $5\tau$.

Compléments

• Pendant la charge, l’énergie fournie par le générateur se répartit entre l’énergie dissipée par effet Joule dans la résistance et la variation d’énergie du condensateur, avec équipartition entre la résistance et le condensateur.

📖 15. Décharge d’un condensateur

★ À maîtriser

📐 Formule - La décharge d’un condensateur dans une résistance vérifie $RC\frac{du_c}{dt}+u_c=0$ pour $t>0$.

📐 Formule - Pour un condensateur initialement chargé à E, sa tension de décharge est $u_c(t)=Ee^{-t/\tau}$, avec $\tau=RC$.

Compléments

• En régime continu, un condensateur se comporte comme un circuit ouvert.

📐 Formule - Pendant la décharge, le courant vaut $i(t)=-\frac{E}{R}e^{-t/\tau}$ et son signe négatif indique que son sens est inversé par rapport à celui de la charge.

• Après une constante de temps de décharge $\tau$, la tension du condensateur vaut environ 37 % de sa valeur initiale et le condensateur est déchargé à 63 %.

• Le régime permanent de décharge est considéré atteint au bout de $5\tau$.

📖 16. Propriétés de la bobine

🔑 Notions clés & Définitions

• Bobine : Une bobine est obtenue en enroulant un fil électrique et son inductance L s’exprime en henrys (H).

★ À maîtriser

📐 Formule - En convention récepteur, la relation courant-tension de la bobine est $u=L\frac{di}{dt}$.

📐 Formule - L’énergie magnétique stockée dans une bobine est $E_{\mathrm{mag}}=\frac{1}{2}Li^2$.

Compléments

• En convention générateur, la relation de la bobine est $u=-L\frac{di}{dt}$.

• En régime continu, le courant dans une bobine est constant et sa tension est nulle ; la bobine idéale se comporte alors comme un fil.

📐 Formule - Pour des bobines en série, l’inductance équivalente vaut $L_{eq}=\sum_{k=1}^{N}L_k$.

📐 Formule - Pour des bobines en dérivation, l’inductance équivalente vérifie $\frac{1}{L_{eq}}=\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{L_k}$.

💡 Astuce mémo

En série, les inductances s’ajoutent ; en dérivation, leurs inverses s’ajoutent.

📖 17. Établissement du courant dans une bobine

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un circuit RL alimenté par un générateur de tension E, une résistance R et une bobine L, le courant vérifie $\tau\frac{di}{dt}+i=\frac{E}{R}$ avec $\tau=\frac{L}{R}$.

• Le courant dans une bobine ne peut pas varier instantanément.

📐 Formule - Pour un courant initial nul, le courant d’établissement dans la bobine vaut $i(t)=\frac{E}{R}\left(1-e^{-t/\tau}\right)$.

Compléments

📐 Formule - Pendant l’établissement du courant, la tension aux bornes de la bobine vaut $u_L(t)=Ee^{-t/\tau}$.

• Après une constante de temps $\tau$, le courant a atteint 63 % de sa valeur finale, et le régime permanent est considéré atteint au bout de $5\tau$.

📊 Tableaux de synthèse

Associations des condensateurs et bobines