Fiche de révision : Ensembles, applications et équivalences

📋 Plan du Cours

1. Ensembles et parties
2. Produits cartésiens
3. Recouvrements et partitions
4. Définition et représentation des applications
5. Restriction et prolongement
6. Composition des applications
7. Images directes et réciproques
8. Injection, surjection et bijection
9. Relations d’équivalence et congruences
10. Classes et ensembles quotients
11. Division euclidienne et classes modulo n

📖 1. Ensembles et parties

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Collection d’objets définis et distincts appelés ses éléments.
• Partie d’un ensemble : Une partie de E est un ensemble constitué d’éléments de E, et l’ensemble de toutes ces parties est noté P(E).

📝 Points essentiels

• L’ensemble des parties de {1, 2} est {∅, {1}, {2}, {1, 2}}.

📖 2. Produits cartésiens

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit cartésien : Le produit cartésien E × F est l’ensemble des couples (x, y) tels que x ∈ E et y ∈ F, et deux couples sont égaux si et seulement si leurs coordonnées correspondantes sont égales.
• Produit cartésien fini : Le produit E₁ × ⋯ × Eₙ, pour n ≥ 2, est l’ensemble des n-uplets dont la i-ème coordonnée appartient à Eᵢ, et si tous les Eᵢ sont égaux à E, il se note Eⁿ.

📝 Points essentiels

📌 Si E ou F est vide, alors E × F est vide.

• Si E = F, le produit E × E se note E².

💡 Astuce mémo

Dans un couple, l’ordre compte ; dans une paire, il ne compte pas.

📖 3. Recouvrements et partitions

🔑 Notions clés & Définitions

• Recouvrement : Un recouvrement de E est un ensemble X de parties de E dont la réunion est E.
• Partition : Une partition de E est un ensemble de parties non vides, deux à deux disjointes, dont la réunion est E.

📝 Points essentiels

• Les intervalles [n; n + 1[, pour n ∈ Z, forment une partition de R.

💡 Astuce mémo

Recouvrir autorise les chevauchements ; partitionner les interdit.

📖 4. Définition et représentation des applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Application : Une application de E dans F associe à chaque élément de E un unique élément de F ; E est l’ensemble de départ et F l’ensemble d’arrivée.
• Antécédent : Un élément x de E est un antécédent de y ∈ F par f si f(x) = y.
• Graphe d’une application : Le graphe de f : E → F est l’ensemble des couples (x, f(x)) pour x ∈ E.

★ À maîtriser

📌 Deux applications sont égales si et seulement si elles ont le même ensemble de départ, le même ensemble d’arrivée et la même image en chaque point de leur domaine.

Compléments

📌 Une partie X de E × F est le graphe d’une application de E dans F si chaque x ∈ E apparaît dans exactement un couple de X.

📖 5. Restriction et prolongement

🔑 Notions clés & Définitions

• Restriction : La restriction de f : E → F à A ⊂ E est l’application de A dans F qui associe à chaque x ∈ A la valeur f(x).
• Prolongement : Un prolongement de f : E₁ → F à E ⊃ E₁ est une application g : E → F telle que g|E₁ = f.

📝 Points essentiels

• La fonction sin(x)/x définie sur R* admet sur R des prolongements obtenus en lui attribuant une valeur en 0, par exemple 0 ou 1.

💡 Astuce mémo

Restreindre réduit le domaine ; prolonger l’agrandit.

📖 6. Composition des applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition : Si f : E → F et g : F → G, la composée g ∘ f : E → G est définie par (g ∘ f)(x) = g(f(x)).
• Puissance d’une application : Pour f : E → E, on définit f⁰ = IdE, f¹ = f et fⁿ⁺¹ = f ∘ fⁿ pour n ∈ N.
• Involution : Une application f : E → E telle que f² = IdE est une involution.

★ À maîtriser

• La composition des applications est associative : h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f lorsque les domaines et codomaines sont compatibles.

Compléments

• La composition des applications n’est pas commutative en général.

📖 7. Images directes et réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Image directe : Pour f : E → F et A ⊂ E, l’image directe de A est f(A) = {f(a) | a ∈ A}.
• Image réciproque : Pour f : E → F et B ⊂ F, l’image réciproque est f⁻¹(B) = {x ∈ E | f(x) ∈ B}.
• Image d’une application : L’image de f : E → F est l’ensemble des éléments de F qui ont un antécédent par f, et elle est égale à f(E).
• Fibre : Pour y ∈ F, l’ensemble f⁻¹({y}) est appelé la fibre au-dessus de y.

💡 Astuce mémo

L’image directe part d’une partie de E ; l’image réciproque part d’une partie de F.

📖 8. Injection, surjection et bijection

🔑 Notions clés & Définitions

• Injection : Une application f : E → F est injective si chaque élément de F a au plus un antécédent, soit f(x) = f(x′) implique x = x′.
• Surjection : Une application f : E → F est surjective si chaque élément de F a au moins un antécédent, ce qui équivaut à f(E) = F.
• Bijection : Une application f : E → F est bijective si chaque élément de F a exactement un antécédent.
• Application réciproque : Si f : E → F est bijective, son application réciproque f⁻¹ : F → E associe à chaque y son unique antécédent par f.

★ À maîtriser

• Une application est bijective si et seulement si elle est à la fois injective et surjective.

Compléments

• Pour une bijection f : E → F et son inverse f⁻¹, on a f ∘ f⁻¹ = IdF et f⁻¹ ∘ f = IdE.

• Si f : E → F et g : F → G sont bijectives, alors g ∘ f est bijective et (g ∘ f)⁻¹ = f⁻¹ ∘ g⁻¹.

💡 Astuce mémo

Injection : au plus un antécédent ; surjection : au moins un ; bijection : exactement un.

📖 9. Relations d’équivalence et congruences

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation binaire : Une relation binaire sur E est une partie R de E × E ; on écrit xRy lorsque (x, y) ∈ R.
• Relation d’équivalence : Une relation d’équivalence sur E est une relation binaire qui est réflexive, symétrique et transitive.
• Congruence modulo n : Pour n ∈ N{0}, a ≡ b [n] si et seulement s’il existe k ∈ Z tel que a − b = kn.

📝 Points essentiels

• La congruence modulo n est une relation d’équivalence sur Z.

• Pour une application f : E → F, la relation définie par x₁Ry ⇔ f(x₁) = f(y) est une relation d’équivalence sur E.

💡 Astuce mémo

RST : réflexive, symétrique, transitive.

📖 10. Classes et ensembles quotients

🔑 Notions clés & Définitions

• Classe d’équivalence : La classe d’équivalence de x pour R est l’ensemble Cl(x) = {y ∈ E | xRy}.
• Ensemble quotient : L’ensemble quotient de E par R est l’ensemble des classes d’équivalence de E pour R.

★ À maîtriser

• L’ensemble des classes d’équivalence d’une relation sur E forme une partition de E.

Compléments

• Pour une relation d’équivalence, y ∈ Cl(x) si et seulement si Cl(x) = Cl(y).

• Les rationnels peuvent être construits comme les classes des couples (p, q) ∈ Z × Z* selon la relation ps = qr.

• Les vecteurs du plan sont les classes de couples de points (A, B) équivalents lorsque ABDC est un parallélogramme.

📖 11. Division euclidienne et classes modulo n

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : Pour n ∈ N{0} et a ∈ Z, il existe un unique couple (q, r) ∈ Z × [[0, n − 1]] tel que a = qn + r.
• Z/nZ : Pour n ∈ N{0}, Z/nZ désigne l’ensemble quotient de Z par la congruence modulo n.

★ À maîtriser

• L’ensemble Z/nZ contient exactement n classes distinctes, représentées une fois chacune par les entiers de [[0, n − 1]].

Compléments

• Dans la division euclidienne de a par n, q est le quotient et r le reste.

• Dans Z/2Z, les classes sont celles de 0 et de 1 ; par exemple, 8 est congru à 0 et 115 est congru à 1 modulo 2.