Fiche de révision : Fonctions usuelles et intégration

📋 Plan du Cours

1. Bases et calcul en coordonnées
2. Équations de droites et de plans
3. Transformations vectorielles et affines
4. Opérations et degré des polynômes
5. Propositions et connecteurs logiques
6. Ensembles et opérations ensemblistes
7. Produits et applications
8. Démonstrations et raisonnements
9. Vocabulaire et propriétés des fonctions
10. Continuité, dérivation et réciproques
11. Fonctions usuelles et leurs propriétés
12. Intégrales et primitives
13. Changements de variable et primitives
14. Équations linéaires du second ordre
15. Calculs et compositions de développements limités
16. Gradient et géométrie des courbes
17. Dérivées secondes et points critiques
18. Applications linéaires et matrices

📖 1. Bases et calcul en coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Un vecteur non nul est caractérisé par sa direction, son sens et sa longueur, et le vecteur nul est noté $\vec{0}$.
• Base : Une base du plan est formée de deux vecteurs non colinéaires, et une base de l’espace de trois vecteurs non coplanaires; tout vecteur s’écrit de façon unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la base.
• Famille libre : Une famille de vecteurs est libre si la seule combinaison linéaire de ses vecteurs égale au vecteur nul est celle dont tous les coefficients sont nuls.
• Produit vectoriel : Le produit vectoriel de deux vecteurs non colinéaires de l’espace est un vecteur orthogonal aux deux, de norme $\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\sin(\theta)$ et orienté de sorte que $(\vec{u},\vec{v},\vec{u}\wedge\vec{v})$ soit une base directe; il est nul si les vecteurs sont colinéaires.
• Base orthonormée : Une base est orthonormée lorsque ses vecteurs sont de norme $1$ et deux à deux orthogonaux.
• Famille liée : Une famille de vecteurs est liée s’il existe une combinaison linéaire de ses vecteurs égale au vecteur nul avec des coefficients non tous nuls.

★ À maîtriser

• La relation de Chasles permet d’additionner des vecteurs bout à bout : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

📌 Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel, tandis que leur produit vectoriel est un vecteur.

📐 Formule - Pour deux vecteurs non nuls faisant un angle non orienté $\theta\in[0,\pi]$, leur produit scalaire vérifie $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos(\theta)$.

📌 Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul; le produit scalaire d’un vecteur nul avec tout vecteur est nul.

📐 Formule - Dans une base orthonormée du plan, le produit scalaire de $\vec{u}=(x,y)$ et $\vec{v}=(x',y')$ vaut $xx'+yy'$; dans l’espace, pour $\vec{u}=(x,y,z)$ et $\vec{v}=(x',y',z')$, il vaut $xx'+yy'+zz'$.

📐 Formule - Dans une base orthonormée directe, si $\vec{u}=(x,y,z)$ et $\vec{v}=(x',y',z')$, alors $\vec{u}\wedge\vec{v}=(yz'-zy',zx'-xz',xy'-yx')$.

Compléments

• Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux si le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme.

📐 Formule - La projection orthogonale de $\vec{u}$ sur une droite de direction non nulle $\vec{d}$ est $\vec{u}'=\frac{\vec{u}\cdot\vec{d}}{\|\vec{d}\|^2}\vec{d}$.

• La base canonique de $\mathbb{R}^2$ est formée des vecteurs de composantes $(1{,}0)$ et $(0{,}1)$, et celle de $\mathbb{R}^3$ des vecteurs $(1{,}0{,}0)$, $(0{,}1{,}0)$ et $(0{,}0{,}1)$.

📌 Le produit scalaire est symétrique et bilinéaire : $\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$, $(\lambda\vec{u})\cdot\vec{v}=\lambda(\vec{u}\cdot\vec{v})$ et $(\vec{u}+\vec{v})\cdot\vec{w}=\vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{w}$.

📖 2. Équations de droites et de plans

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite : La droite passant par $A$ et dirigée par un vecteur non nul $\vec{u}$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}=\lambda\vec{u}$ pour un réel $\lambda$.
• Plan : Le plan passant par $A$ et dirigé par deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}=\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}$ pour des réels $\lambda$ et $\mu$.
• Équation cartésienne d’un plan : Une équation cartésienne d’un plan de l’espace est une égalité vérifiée par les coordonnées de tous les points du plan et seulement par celles de ces points.
• Cercle : Le cercle de centre A et de rayon r, avec r ≥ 0, est l’ensemble des points du plan situés à une distance égale à r de A.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans le plan, une droite passant par $(a,b)$ et dirigée par $(c,d)$ a pour représentation paramétrique $M(\lambda)=(a+\lambda c,b+\lambda d)$, avec $\lambda\in\mathbb{R}$.

📐 Formule - Dans un repère orthonormé, le point $M=(x,y)$ appartient à la droite passant par $(a,b)$ et dirigée par $(s,t)$ si et seulement si $-t(x-a)+s(y-b)=0$.

📌 Une équation paramétrique décrit une droite avec un paramètre ou un plan avec deux paramètres et permet de produire des points, mais ne teste pas directement l’appartenance d’un point donné.

• Dans un repère orthonormé, un point M = (x, y) appartient au cercle de centre A = (a, b) et de rayon r si et seulement si $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.

Compléments

📐 Formule - Dans l’espace, un plan passant par $(a,b,c)$ et dirigé par $(d,e,f)$ et $(p,q,r)$ a pour représentation paramétrique $M(\lambda,\mu)=(a+\lambda d+\mu p,b+\lambda e+\mu q,c+\lambda f+\mu r)$, avec $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$.

• Dans l’espace, l’appartenance à une droite est caractérisée par un système de deux équations cartésiennes qui ne sont pas multiples l’une de l’autre.

• La droite de l’espace passant par $(6{,}5{,}3)$ et dirigée par $(-1{,}1{,}2)$ est définie par le système $x+y=11$ et $2y-z=7$.

📌 Pour un plan de l’espace passant par $A$ et dirigé par deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$, si $\vec{w}$ est orthogonal à ces deux vecteurs, alors $M$ appartient au plan si et seulement si $\overrightarrow{AM}\cdot\vec{w}=0$.

• Les points d’une droite du plan sont exactement ceux dont les coordonnées vérifient son équation cartésienne.

• Les points d’une droite de l’espace sont exactement ceux dont les coordonnées vérifient simultanément les deux équations cartésiennes qui la décrivent.

• Le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1 a pour équation $x^2+y^2=1$ dans un repère orthonormé.

📌 Le cercle trigonométrique peut être décrit paramétriquement par les points (cos θ, sin θ) lorsque θ parcourt ℝ, ou cartésiennement par l’équation $x^2+y^2=1$.

💡 Astuce mémo

Paramétrique : produire des points ; cartésienne : tester l’appartenance

📖 3. Transformations vectorielles et affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformation linéaire : Une transformation T des vecteurs est linéaire si, pour tous vecteurs u et v et tout réel λ, $T(\lambda u+v)=\lambda T(u)+T(v)$.
• Translation : La translation par le vecteur u associe à tout vecteur v le vecteur $T_u(v)=v+u$.
• Homothétie : L’homothétie de rapport a associe à tout vecteur u le vecteur $H_a(u)=au$.
• Rotation vectorielle : La rotation vectorielle d’angle θ associe à tout vecteur u un vecteur de même norme formant avec u un angle de mesure θ.
• Transformation affine : Une transformation affine est la somme d’une transformation linéaire et d’une transformation constante.
• Droite vectorielle : La droite vectorielle engendrée par un vecteur non nul u est l’ensemble $D(u)=\{\lambda u\mid\lambda\in\mathbb{R}\}$ des vecteurs colinéaires à u.
• Symétrie vectorielle : Dans la base (e₁, e₂), la symétrie S₁ sur D(e₁) parallèlement à D(e₂) envoie x₁e₁ + x₂e₂ sur x₁e₁ − x₂e₂, tandis que S₂ envoie ce vecteur sur −x₁e₁ + x₂e₂.
• Projection vectorielle : Dans la base (e₁, e₂), les projections sur les droites vectorielles respectives sont définies par $p_1(x_1e_1+x_2e_2)=x_1e_1$ et $p_2(x_1e_1+x_2e_2)=x_2e_2$.

📝 Points essentiels

• Les rotations du plan sont des transformations linéaires.

• L’identification des points du plan avec les vecteurs issus de l’origine permet de définir sur les points les transformations auparavant définies sur les vecteurs.

📖 4. Opérations et degré des polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit de deux polynômes : Le produit de polynômes P et Q définis par les coefficients (a_i) et (b_i) est le polynôme de coefficients $c_i=\sum_{k=0}^{i}a_kb_{i-k}$.
• Degré d’un polynôme : Le degré d’un polynôme non nul est le plus grand entier n tel que son coefficient a_n est non nul, et l’on pose par convention $\deg(0)=-\infty$.
• Fonction polynomiale : La fonction polynomiale associée à $P=\sum_{k=0}^{n}a_kX^k$ est la fonction de K dans K définie par $P(x)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k$.
• Racine d’un polynôme : Un nombre complexe α est une racine du polynôme P si $P(\alpha)=0$.
• Racine de multiplicité : Un nombre a est une racine de multiplicité m de P si $P(X)=(X-a)^mQ(X)$ pour un polynôme Q tel que $Q(a)\ne0$.

★ À maîtriser

• Un polynôme de degré n s’écrit $P=\sum_{k=0}^{n}a_kX^k$, où X est appelée l’indéterminée, et l’ensemble de ces polynômes est noté K[X].

• Pour des polynômes P et Q, $\deg(P+Q)\leq\max(\deg P,\deg Q)$, tandis que si P et Q sont non nuls, $\deg(PQ)=\deg P+\deg Q$.

📌 Si α est une racine de P, alors il existe un polynôme Q tel que $P=(X-\alpha)Q$.

• Tout polynôme complexe de degré supérieur ou égal à 1 admet une racine complexe, d’après le théorème de d’Alembert-Gauss.

• Tout polynôme de degré n≥1 possède exactement n racines complexes comptées avec répétition et se factorise sous la forme $P=a\prod_{k=1}^{n}(X-\alpha_k)$.

• Un polynôme de degré au plus n qui possède strictement plus de n racines est le polynôme nul.

• Le nombre a est une racine de multiplicité m de P si et seulement si $P(a)=P'(a)=\cdots=P^{(m-1)}(a)=0$ et $P^{(m)}(a)\ne0$.

• Pour des polynômes A et B avec B non nul, il existe un unique couple de polynômes Q et R tel que $A=BQ+R$ et $\deg(R)<\deg(B)$.

Compléments

• La notation $\sum_{k=1}^{30} 2k$ désigne la somme des termes $2k$ pour les valeurs entières de k de 1 à 30.

• Si P et Q sont non nuls et si leurs coefficients s’annulent respectivement après les rangs p et q, alors les coefficients de leur produit s’annulent après le rang p+q.

• Un polynôme est unitaire lorsque son coefficient dominant vaut 1, et un monôme est un polynôme qui comporte au plus un terme non nul.

📖 5. Propositions et connecteurs logiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Énoncé : Un énoncé est une affirmation dont les mots sont définis de façon à ne laisser aucune ambiguïté et qui possède une valeur de vérité.
• Équivalence logique : L’équivalence logique $E_1\Leftrightarrow E_2$ est la conjonction des implications $E_1\Rightarrow E_2$ et $E_2\Rightarrow E_1$.

★ À maîtriser

• En logique classique, chaque énoncé possède une seule valeur de vérité, vraie ou fausse.

• La conjonction $E_1\land E_2$ est vraie si et seulement si E_1 et E_2 sont toutes deux vraies.

• La disjonction $E_1\lor E_2$ est vraie dès qu’au moins l’un des deux énoncés est vrai, y compris lorsque les deux le sont.

• L’implication $E_1\Rightarrow E_2$ est fausse uniquement lorsque E_1 est vraie et E_2 est fausse; elle est vraie lorsque E_1 est fausse, quelle que soit la valeur de E_2.

• La négation ¬E inverse la valeur de vérité de E.

• Les lois de De Morgan sont $\neg(E_1 \land E_2) \Leftrightarrow \neg E_1 \lor \neg E_2$ et $\neg(E_1 \lor E_2) \Leftrightarrow \neg E_1 \land \neg E_2$.

• La négation d’une implication vérifie $\neg(E_1 \Rightarrow E_2) \Leftrightarrow E_1 \land \neg E_2$.

• Une implication est équivalente à une disjonction : $(E_1 \Rightarrow E_2) \Leftrightarrow (\neg E_1 \lor E_2)$.

• La contraposition affirme que $E_1 \Rightarrow E_2$ est logiquement équivalente à $\neg E_2 \Rightarrow \neg E_1$.

Compléments

• La double négation vérifie $E\Leftrightarrow\neg(\neg E)$, et le tiers exclu vérifie $E\lor\neg E$ pour tout énoncé E.

• La double négation et le tiers exclu sont des tautologies spécifiques à la logique classique.

📖 6. Ensembles et opérations ensemblistes

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Une collection d’objets, éventuellement finie ou infinie, dont les éléments peuvent eux-mêmes être des collections.
• Appartenance : La relation qui indique qu’un objet est élément d’un ensemble et se note $x \in A$; son contraire se note $x \notin A$.
• Différence ensembliste : La différence ensembliste $A \setminus B$ contient les éléments de A qui n’appartiennent pas à B.
• Inclusion : Tout élément de A appartient aussi à B.
• Ensemble des parties : L’ensemble de tous les sous-ensembles de A.
• Singleton : Un ensemble qui contient un seul élément.
• Paire : Un ensemble formé de deux éléments distincts, sans ordre entre eux.
• Complémentaire : Si $A \subset B$, le complémentaire de A dans B est la différence $B \setminus A$.

★ À maîtriser

• L’ensemble vide, noté $\varnothing$, est l’unique ensemble qui ne contient aucun élément.

📌 Deux ensembles sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes éléments, c’est-à-dire si chacun est inclus dans l’autre.

• L’intersection et la réunion correspondent aux connecteurs logiques : $x \in A \cap B \Leftrightarrow (x \in A) \land (x \in B)$ et $x \in A \cup B \Leftrightarrow (x \in A) \lor (x \in B)$.

Compléments

📐 Formule - L’intersection est distributive sur la réunion : $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$.

📖 7. Produits et applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit cartésien : L’ensemble des couples ordonnés $(a,b)$ tels que $a \in A$ et $b \in B$.
• Application : Une correspondance qui associe à tout élément $a \in A$ un unique élément $f(a) \in B$.
• Injection, surjection et bijection : Une application f : A → B est injective si deux éléments distincts de A ont des images distinctes, surjective si chaque élément de B est l’image d’au moins un élément de A, et bijective si elle est à la fois injective et surjective.
• Application réciproque : Si f : A → B est bijective, son application réciproque f⁻¹ : B → A vérifie f⁻¹ ◦ f = idA et f ◦ f⁻¹ = idB, et f⁻¹(b) = a si et seulement si f(a) = b.
• Graphe fonctionnel : Une partie $G$ de $A \times B$ est un graphe fonctionnel si, pour tout $a \in A$, il existe un unique $b \in B$ tel que $(a,b) \in G$.
• Image d’un ensemble : L’ensemble $f(A)=\{b \in B; \exists a \in A, f(a)=b\}$ des éléments de B atteints par au moins un élément de A.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des applications $f:A\to B$ et $g:B\to C$, la composée est l’application $g\circ f:A\to C$ définie par $(g\circ f)(a)=g(f(a))$.

• La composition des applications est associative : pour f : A → B, g : B → C et h : C → D, on a h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f = h ◦ g ◦ f.

Compléments

📌 Deux applications de A dans B sont égales si et seulement si elles ont la même image pour chaque élément de A, même si leurs descriptions ou noms de variables diffèrent.

📌 La restriction d’une application à une partie de son domaine conserve ses valeurs sur cette partie, tandis qu’un prolongement étend son domaine en conservant les valeurs initiales.

• Même lorsque f et g sont composables dans les deux sens, on a en général g ◦ f ≠ f ◦ g.

📌 Pour f : A → B, l’injectivité équivaut à l’unicité d’au plus un antécédent pour chaque élément de B, tandis que la surjectivité équivaut à f(A) = B.

• L’application f : ℝ → ℝ définie par f(x) = x² n’est ni injective, car f(−1) = f(1), ni surjective, car aucune valeur négative comme −1 n’est atteinte.

• Si f : A → B et g : B → C sont bijectives, alors g ◦ f : A → C est bijective et (g ◦ f)⁻¹ = f⁻¹ ◦ g⁻¹.

📖 8. Démonstrations et raisonnements

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble fini : Un ensemble A est fini s’il est en bijection avec [[1,n]] pour un entier naturel n, qui est alors unique et égal au cardinal Card(A).
• Ensemble dénombrable : Un ensemble en bijection avec ℕ est dit dénombrable, car cette bijection permet d’en numéroter tous les éléments.
• Axiome : Un axiome est un énoncé dont on admet la valeur de vérité vraie au départ d’une théorie.
• Démonstration : Une démonstration est une suite finie de déductions partant d’énoncés vrais et aboutissant à une conclusion dont la valeur de vérité vraie est ainsi établie.

★ À maîtriser

• Les ensembles fondamentaux de nombres sont inclus les uns dans les autres selon l’ordre ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.

• L’argument diagonal de Cantor montre que ℝ n’est pas dénombrable et que Card(ℕ) = ℵ₀ < Card(ℝ).

📌 Le modus ponens permet de déduire E₂ de E₁ si E₁ ⇒ E₂ est vrai et si E₁ est vrai.

📌 Pour démontrer une implication E₁ ⇒ E₂ par contraposition, il suffit de démontrer ¬E₂ ⇒ ¬E₁.

• Pour démontrer E par l’absurde, on suppose ¬E, on en déduit une contradiction, puis on conclut que E est vrai.

• Pour démontrer ∀n ∈ ℕ, E(n) par récurrence, on établit E(0), puis on démontre pour tout n ∈ ℕ que E(n) ⇒ E(n + 1).

• La propriété de bon ordre affirme que toute partie non vide de ℕ admet un plus petit élément.

• Pour prouver par récurrence un énoncé E(n) par initialisation et propagation, on suppose que l’ensemble A des entiers où E est faux est non vide, on prend son plus petit élément n₀, puis l’initialisation impose n₀ ≥ 1 et la propagation depuis n₀ − 1 contredit E(n₀) faux.

Compléments

• En France, 0 est inclus dans l’ensemble des entiers naturels ℕ.

• Les ensembles ℕ, ℤ et ℚ sont en bijection les uns avec les autres et ont pour cardinal ℵ₀.

• Pour tout ensemble A, le cardinal de son ensemble des parties est strictement supérieur au cardinal de A : Card(A) < Card(P(A)). - Cantor, argument diagonal

📌 Pour prouver qu’un énoncé est faux, on peut prouver sa négation ou montrer qu’il entraîne une contradiction.

💡 Astuce mémo

Plus petit faux → prédécesseur vrai → propagation → contradiction

📖 9. Vocabulaire et propriétés des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction réelle : Application d’un domaine D inclus dans ℝ vers ℝ, qui associe à chaque x de D une image f(x).
• Fonction croissante : Si, pour tous x et y de D, x ≤ y implique f(x) ≤ f(y).
• Fonction décroissante : Si, pour tous x et y de D, x ≤ y implique f(x) ≥ f(y).
• Fonction majorée : S’il existe un réel M tel que f(x) ≤ M pour tout x de D.
• Fonction minorée : S’il existe un réel m tel que f(x) ≥ m pour tout x de D.
• Fonction paire : Définie sur un domaine symétrique par rapport à 0, elle vérifie f(−x) = f(x) pour tout x de son domaine, et son graphe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• Fonction impaire : Définie sur un domaine symétrique par rapport à 0, elle vérifie f(−x) = −f(x) pour tout x de son domaine, et son graphe a une symétrie centrale par rapport à l’origine.
• Fonction périodique : Une fonction f est T-périodique, pour T > 0, si f(x + T) = f(x) pour tout réel x.
• Asymptote horizontale : Droite y = ℓ vers laquelle tend le graphe lorsque f tend vers la limite finie ℓ quand x tend vers +∞.
• Extremum local : Une fonction a un maximum local en x₀ si elle y atteint une valeur au moins aussi grande que ses valeurs sur un intervalle autour de x₀ ; un minimum local se définit par l’inégalité inverse.

📝 Points essentiels

📌 Si une fonction f définie sur [a,+∞[ est croissante et majorée, elle admet une limite finie en +∞ ; c’est aussi le cas si elle est décroissante et minorée.

📖 10. Continuité, dérivation et réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée en un point : Une fonction f est dérivable en a si la limite $\lim_{h\to 0,\,h\ne 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ existe ; cette limite est f′(a), le coefficient directeur de la tangente au graphe en (a,f(a)).
• Fonction composée : Définie par (g ∘ f)(x) = g(f(x)) : on applique d’abord f à x, puis g au résultat.

★ À maîtriser

• Une fonction f est continue en a si et seulement si sa limite en a existe et vaut f(a).

• Si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) près de a et si f et h tendent toutes deux vers ℓ en a, alors g tend aussi vers ℓ en a.

• Si f est continue sur [a,b], toute valeur comprise entre f(a) et f(b) est prise par f en au moins un point c de [a,b].

• Toute fonction dérivable en a est continue en a, mais une fonction continue en a n’est pas nécessairement dérivable en a.

• Sur un intervalle, si f′ est positive, f est croissante ; si f′ est négative, f est décroissante ; si f′ est nulle, f est constante.

📐 Formule - Les règles de dérivation donnent $(f+g)'=f'+g',\quad (\lambda f)'=\lambda f',\quad (fg)'=f'g+fg',\quad \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ lorsque les fonctions sont dérivables et que g ne s’annule pas au point considéré.

📐 Formule - La dérivée d’une composée vérifie $(g\circ f)'(x)=g'(f(x))f'(x).$

📌 Une fonction continue et strictement monotone sur [a,b] établit une bijection entre [a,b] et l’intervalle délimité par f(a) et f(b) ; sa réciproque est continue et strictement monotone dans le même sens.

📐 Formule - Si f est strictement monotone et dérivable, sa réciproque est dérivable en y lorsque f′(f⁻¹(y)) ≠ 0, et $(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}.$

Compléments

📌 Si une fonction dérivable possède un extremum local en x₀, alors f′(x₀) = 0, mais cette condition seule ne garantit pas un extremum.

📌 Si f et g sont continues, leur composée g ∘ f est continue ; si f et g sont dérivables, leur composée est dérivable.

📖 11. Fonctions usuelles et leurs propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : L’unique réel y positif tel que y²=x, pour x positif.
• Racine cubique : L’unique réel y tel que y³=x, pour tout réel x.
• Logarithme népérien : L’unique réel y tel que eʸ=x, pour x>0.
• Puissance réelle : Pour tout réel a et tout x>0, la puissance réelle est définie par xᵃ=exp(a ln(x)); sa dérivée vaut axᵃ⁻¹.
• Fonctions réciproques trigonométriques : Les fonctions arctan, arcsin et arccos sont les réciproques respectives de tan sur ]−π/2,π/2[, de sin sur [−π/2,π/2] et de cos sur [0,π].

★ À maîtriser

• La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable f de ℝ dans ℝ telle que f′=f et f(0)=1.

• Pour tous réels x et y, exp(x)>0, exp(x+y)=exp(x)exp(y), exp(−x)=1/exp(x), et exp(nx)=(exp(x))ⁿ pour tout entier n.

• Sur les réels positifs, ln est strictement croissante, continue et dérivable, de dérivée ln′(x)=1/x; elle vérifie ln(1)=0, ln(e)=1, ln(xy)=ln(x)+ln(y), ln(xⁿ)=n ln(x) pour n naturel, et ln(1/x)=−ln(x).

• Les fonctions sin et cos sont 2π-périodiques, respectivement impaire et paire, vérifient sin²(x)+cos²(x)=1, sin′(x)=cos(x) et cos′(x)=−sin(x).

Compléments

• Pour tout entier relatif n et tout réel x non nul, les puissances vérifient $x^n x^m=x^{n+m}$ et $(x^n)^m=x^{nm}$ pour tout entier relatif m.

• Pour deux polynômes de degrés n et m, de coefficients dominants respectifs a_n et b_m non nuls, le quotient tend en +∞ vers +∞ ou −∞ si n>m selon le signe de a_n/b_m, vers a_n/b_m si n=m, et vers 0 si n<m.

• Pour tout entier n≥1, ln(x)/ⁿ√x tend vers 0 quand x tend vers +∞, et ⁿ√x ln(x) tend vers 0 quand x tend vers 0 par valeurs positives.

• Pour tous réels a et b et tout x>0, xᵃxᵇ=xᵃ⁺ᵇ, (xᵃ)ᵇ=xᵃᵇ et x⁻ᵃ=1/xᵃ.

• Les fonctions cosh(x)=(eˣ+e⁻ˣ)/2 et sinh(x)=(eˣ−e⁻ˣ)/2 vérifient cosh′=sinh, sinh′=cosh, cosh(x)≥1; cosh est paire et sinh est impaire.

📐 Formule - Sur leurs domaines respectifs, $\arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2},\qquad \arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad \arccos'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$

📖 12. Intégrales et primitives

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale d’une fonction continue : L’intégrale d’une fonction continue sur [a,b] est l’aire des zones où la fonction est positive, comptée positivement, moins l’aire des zones où elle est négative.
• Primitive : Une fonction dérivable sur I telle que F′(x)=f(x) pour tout x∈I.

★ À maîtriser

• Pour f continue sur [a,b] et c∈[a,b], la relation de Chasles donne $\int_a^b f(t)\,dt=\int_a^c f(t)\,dt+\int_c^b f(t)\,dt.$

• L’intégrale est linéaire : $\int_a^b(f+g)(t)\,dt=\int_a^b f(t)\,dt+\int_a^b g(t)\,dt$ et $\int_a^b(\lambda f)(t)\,dt=\lambda\int_a^b f(t)\,dt.$

• Si f≥0 sur [a,b], alors son intégrale sur [a,b] est positive ou nulle; si f≤g sur [a,b], alors l’intégrale de f est inférieure ou égale à celle de g.

• Si F est une primitive de f sur un intervalle, toutes les primitives de f sont les fonctions F+C, où C est une constante réelle.

📐 Formule - Pour toute primitive F d’une fonction continue f sur [a,b], $\int_a^b f(t)\,dt=F(b)-F(a).$

• Pour α≠−1, une primitive de xᵅ est xᵅ⁺¹/(α+1); une primitive de 1/x est ln|x| sur tout intervalle ne contenant pas 0; une primitive de eˣ est eˣ.

📐 Formule - Pour f et g dérivables sur [a,b], avec dérivées continues, l’intégration par parties vérifie $\int_a^b f'(x)g(x)\,dx=[f(x)g(x)]_a^b-\int_a^b f(x)g'(x)\,dx.$

📐 Formule - Pour u dérivable sur [a,b], de dérivée continue, et f continue sur son image, le changement de variable donne $\int_a^b u'(t)f(u(t))\,dt=\int_{u(a)}^{u(b)}f(t)\,dt.$

Compléments

• Pour une fonction continue f, l’intégrale sur un intervalle réduit à un point vaut $\int_a^a f(t)\,dt=0$ et l’inversion des bornes change son signe.

• Une primitive de cos(x) est sin(x), et une primitive de sin(x) est −cos(x).

• Une primitive de 1/(1+x²) sur ℝ est arctan(x).

• Pour T>0, l’intégration par parties donne $\int_0^T te^{-t}\,dt=1-(T+1)e^{-T}.$

📖 13. Changements de variable et primitives

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle : Équation dont l’inconnue est une fonction et qui fait intervenir cette fonction et ses dérivées.
• Équation différentielle linéaire d’ordre 1 : Une équation différentielle linéaire d’ordre 1 s’écrit $y'(x)=a(x)y(x)+b(x)$, où a et b sont continues sur l’intervalle ouvert I.
• Problème de Cauchy d’ordre 1 : Un problème de Cauchy linéaire d’ordre 1 associe à une équation différentielle linéaire d’ordre 1 une condition initiale $y(x_0)=y_0$.

★ À maîtriser

• Si F est une primitive de f sur [a,b], une primitive de x ↦ f(x+x₀) sur [a−x₀,b−x₀] est $F(x+x₀)+C$, où C est une constante réelle.

• Pour calculer une intégrale par changement de variable, on choisit une variable u dérivable, on transforme les bornes et l’intégrande, puis on calcule l’intégrale obtenue.

📐 Formule - Pour p≠0, une primitive de x ↦ f(px+x₀), si F est une primitive de f, est $\frac{1}{p}F(px+x₀)+C$.

📐 Formule - Pour p≠0, $\int_a^b f(px+x₀)\,dx=\frac{1}{p}\int_{pa+x₀}^{pb+x₀}f(x)\,dx$.

📌 L’équation homogène associée à $y'=a(x)y+b(x)$ est $y'=a(x)y$, obtenue en annulant le second membre b.

📐 Formule - Si A est une primitive de a, les solutions de l’équation homogène $y'=a(x)y$ sont $y(x)=Ce^{A(x)}$.

• Pour résoudre l’équation linéaire d’ordre 1 avec second membre, on résout l’équation homogène, on cherche une solution particulière, puis on impose la condition initiale si elle est donnée.

📌 Si f₀ est une solution particulière de $y'=a(x)y+b(x)$, toutes ses solutions s’écrivent de façon unique $f=f₀+h$, où h est une solution de l’équation homogène associée.

Compléments

• Le changement de variable u(t)=t² transforme $\int_1^9 \frac{1}{1+\sqrt{x}}\,dx$ en $\int_1^3 \frac{2t}{1+t}\,dt$, dont la valeur est $4-2\ln(2)$.

• La méthode dite « physicienne » pose t=√x, écrit $dt/dx=1/(2t)$, donc $dx=2t\,dt$, et transforme $\int_1^9 \frac{1}{1+\sqrt{x}}\,dx$ en $\int_1^3 \frac{2t}{1+t}\,dt=4-2\ln(2)$.

• En complétant le carré puis en posant $y=(x+2)/2$, on obtient $\int \frac{dx}{x^2+4x+8}=\frac12\arctan\left(\frac{x+2}{2}\right)+C$.

📐 Formule - Pour α≠−1, $\int u^\alpha(x)u'(x)\,dx=\frac{u^{\alpha+1}(x)}{\alpha+1}+C$ lorsque u^α est définie.

📐 Formule - Si u ne s’annule pas, $\int \frac{u'(x)}{u(x)}\,dx=\ln|u(x)|+C$.

📖 14. Équations linéaires du second ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Problème de Cauchy d’ordre 2 : Un problème de Cauchy linéaire d’ordre 2 à coefficients constants comprend l’équation et les conditions $y(x_0)=y_0$ et $y'(x_0)=z_0$.
• Polynôme caractéristique : Leonhard Euler - Le polynôme caractéristique de $y''+ay'+by=0$ est $P(X)=X^2+aX+b$, et son discriminant est $\Delta=a^2-4b$.
• Petit o : La fonction f est un petit o de g au voisinage de x₀ si le rapport f(x)/g(x) tend vers 0 lorsque x tend vers x₀, lorsque g ne s’annule qu’éventuellement en x₀.
• Équivalence : La fonction f est équivalente à g au voisinage de x₀ si le rapport f(x)/g(x) tend vers 1 lorsque x tend vers x₀, lorsque g ne s’annule qu’éventuellement en x₀.
• Équation à coefficients constants : Une équation linéaire d’ordre 2 est à coefficients constants lorsque a et b sont constantes, et s’écrit $y''+ay'+by=f(x)$.

★ À maîtriser

📌 L’équation homogène associée à $y''+ay'+by=f$ est $y''+ay'+by=0$.

📌 Le polynôme caractéristique a deux racines réelles distinctes si $\Delta>0$, une racine réelle double si $\Delta=0$ et deux racines complexes distinctes si $\Delta<0$.

📐 Formule - Si $\Delta>0$ et si λ₁ et λ₂ sont les racines réelles distinctes, les solutions de l’équation homogène sont $y(x)=Ae^{\lambda_1x}+Be^{\lambda_2x}$.

📐 Formule - Si $\Delta=0$ et si λ est la racine réelle double, les solutions de l’équation homogène sont $y(x)=Ae^{\lambda x}+Bxe^{\lambda x}$.

📐 Formule - Si $\Delta<0$ et si une racine complexe est $\lambda=\rho+i\omega$, les solutions réelles de l’équation homogène sont $y(x)=Ae^{\rho x}\cos(\omega x)+Be^{\rho x}\sin(\omega x)$.

Compléments

• Pour a(x)=(x−1)², b(x)=x−1 et c(x)=(x−1)² cos(x−1), on a a=o₁(b), c=o₁(b) et a∼₁c.

• Les définitions de petit o et d’équivalence s’étendent à la comparaison des fonctions lorsque x tend vers +∞ ou −∞.

• Pour tout réel A non nul, multiplier O₀(hⁿ) par A ne change pas son ordre : A O₀(hⁿ)=O₀(hⁿ).

• La différence de deux termes O₀(hⁿ) reste un terme O₀(hⁿ) ; les petits o ne se simplifient donc pas entre eux.

• Si n>m, alors O₀(hⁿ)+O₀(hᵐ)=O₀(hᵐ), car on conserve le terme qui tend le moins vite vers 0.

• Pour des entiers p et n tels que n+p≥0, hᵖO₀(hⁿ)=O₀(hⁿ⁺ᵖ), et si n−p≥0, O₀(hⁿ)/hᵖ=O₀(hⁿ⁻ᵖ).

💡 Astuce mémo

Le signe de Δ distingue les racines réelles des racines complexes et change la forme des solutions.

📖 15. Calculs et compositions de développements limités

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement limité : Un développement limité de f à l’ordre n en x₀ est une écriture f(x₀+h)=a₀+a₁h+⋯+aₙhⁿ+O₀(hⁿ), où les aᵢ sont réels.
• Développement asymptotique : Développement qui décrit le comportement d’une fonction lorsque x tend vers ±∞ ou vers un point où la fonction diverge.

★ À maîtriser

📌 Si aₚ est le premier coefficient non nul du développement limité en x₀, alors f(x)∼ₓ₀aₚ(x−x₀)ᵖ.

• Le théorème de Taylor-Young donne, pour une fonction n fois dérivable en un point intérieur x₀, f(x₀+h)=∑ᵢ₌₀ⁿ f⁽ⁱ⁾(x₀)hⁱ/i!+O₀(hⁿ).

• Pour calculer un développement limité d’un produit à l’ordre n, on remplace chaque facteur par son développement limité à l’ordre n, on développe le produit et on conserve les termes de degré inférieur ou égal à n.

📌 Pour calculer le développement limité de g∘f en x₀ à l’ordre n, on substitue le développement limité de f en x₀ dans celui de g au point y₀=f(x₀), puis on ne conserve que les termes de degré inférieur ou égal à n.

📌 Pour calculer un développement asymptotique, on cherche à ramener la fonction à un développement limité connu en zéro par une manipulation appropriée.

Compléments

• La partie principale d’un développement limité est le polynôme a₀+a₁h+⋯+aₙhⁿ, et O₀(hⁿ) en est le reste.

• Le développement limité en un point est unique à un ordre donné et ses coefficients sont donc déterminés de façon unique.

📌 Un développement limité à l’ordre n fournit, par troncature des termes de degré supérieur à p, un développement limité à chaque ordre p<n.

• Les développements limités de référence en 0 sont ceux de exp(x), sin x, cos x, 1/(1−x), 1/(1+x), log(1+x) et (1+x)^α.

📌 Pour additionner deux développements limités du même ordre, on additionne leurs parties principales et on conserve un reste du même ordre.

📌 Pour multiplier ou élever à une puissance entière positive des développements limités, on développe les parties principales et on ne garde que les termes de degré inférieur ou égal à l’ordre demandé.

• Si f(x₀+h)=y₀+hP(h)+O₀(hⁿ) et g(y₀+ℓ)=Q(ℓ)+O₀(ℓⁿ), alors g∘f(x₀+h)=T≤n Q(hP(h))+O₀(hⁿ).

• Pour obtenir un développement limité ailleurs qu’en zéro, on peut utiliser les propriétés des fonctions pour ramener le calcul à un développement de référence en zéro.

• Au voisinage de zéro, le développement limité de eˣ log(1+x) est x + x²/2 + x³/3 + O₀(x⁴).

💡 Astuce mémo

Développer chaque fonction, composer ou multiplier, puis tronquer à l’ordre demandé.

📖 16. Gradient et géométrie des courbes

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction scalaire multivariée : Fonction qui associe à chaque d-uplet x=(x₁,…,xᵈ) de son domaine un réel f(x₁,…,xᵈ).
• Ligne de niveau : Ensemble des points (x,y) tels que f(x,y)=c, pour une fonction f:ℝ²→ℝ et un réel c.
• Dérivée partielle : Dérivée de la fonction d’une variable obtenue en fixant les autres variables à leurs valeurs en ce point.
• Gradient : Champ de vecteurs dont les composantes sont les dérivées partielles de f.
• Différentielle : La différentielle de f en (x₀, y₀) est l’application linéaire de ℝ² dans ℝ qui associe à (u, v) la quantité $u\frac{\partial f}{\partial x}(x₀,y₀)+v\frac{\partial f}{\partial y}(x₀,y₀)$.
• Dérivée selon un vecteur : La dérivée de f selon le vecteur V = (u₀, v₀) en M₀ = (x₀, y₀) est la dérivée en 0 de g(t) = f(x₀ + tu₀, y₀ + tv₀), soit la limite du quotient différentiel correspondant lorsque t tend vers 0.
• Vecteur dérivé : Le vecteur dérivé d’une courbe paramétrée X(t) = (x₁(t), …, x_d(t)) est $X'(t)=(x'_1(t),\ldots,x'_d(t))$ ; s’il est non nul en t₀, il dirige la droite tangente à la courbe en X(t₀).
• Extremum local : Un maximum local en M₀ signifie qu’il existe un disque centré en M₀ où f(M₀) est supérieur ou égal à f(M) ; un minimum local signifie qu’il existe un tel disque où f(M₀) est inférieur ou égal à f(M). L’extremum est strict si f(M)=f(M₀) seulement pour M=M₀.
• Graphe d’une fonction : Ensemble des points (x₁,…,xᵈ,z) de ℝᵈ⁺¹ tels que z=f(x₁,…,xᵈ).

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour une fonction lisse f:ℝ²→ℝ, l’approximation au premier ordre en (x₀,y₀) est $f(x₀+u,y₀+v)=f(x₀,y₀)+u\frac{\partial f}{\partial x}(x₀,y₀)+v\frac{\partial f}{\partial y}(x₀,y₀)+o\!\left(\sqrt{u²+v²}\right)$.

📐 Formule - Si f est lisse et V = (u₀, v₀), alors $\frac{\partial f}{\partial V}(x₀,y₀)=u₀\frac{\partial f}{\partial x}(x₀,y₀)+v₀\frac{\partial f}{\partial y}(x₀,y₀)$.

• Le gradient indique la direction dans laquelle une fonction croît et les lignes de niveau indiquent des valeurs particulières de cette fonction.

📐 Formule - Pour une courbe paramétrée X contenue dans une ligne de niveau de f, $X'(t)\cdot\nabla f(X(t))=0$, donc le gradient est orthogonal au vecteur tangent à cette courbe.

📐 Formule - Pour F = f ◦ X, avec X(t) = (x(t), y(t)), $F'(t)=x'(t)\frac{\partial f}{\partial x}(X(t))+y'(t)\frac{\partial f}{\partial y}(X(t))=X'(t)\cdot\nabla f(X(t))$.

📐 Formule - Le plan tangent au graphe de f au point (x₀, y₀, f(x₀,y₀)) a pour équation $z=f(x₀,y₀)+(x-x₀)\frac{\partial f}{\partial x}(x₀,y₀)+(y-y₀)\frac{\partial f}{\partial y}(x₀,y₀)$.

📌 Tout maximum ou minimum local d’une fonction lisse est un point critique : les deux dérivées partielles premières y sont nulles.

💡 Astuce mémo

Le gradient pointe vers la croissance ; la tangente à une ligne de niveau lui est orthogonale.

📖 17. Dérivées secondes et points critiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice hessienne : La matrice hessienne de f est la matrice carrée des dérivées partielles secondes, $H(f)=\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\f_{yx}&f_{yy}\end{pmatrix}$.
• Divergence : La divergence d’un champ de vecteurs associe une fonction scalaire au champ ; en dimension 2, $\operatorname{div}E=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}$, et en dimension 3, on ajoute $\frac{\partial E_z}{\partial z}$.
• Rotationnel : En dimension 3, le rotationnel associe un champ vectoriel à un autre champ vectoriel et s’écrit $\operatorname{rot}E=\left(\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z},\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x},\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}\right)$.
• Laplacien : Le laplacien d’une fonction scalaire est la somme de ses dérivées partielles secondes selon chaque coordonnée ; en dimension 2, $\Delta f=f_{xx}+f_{yy}$, et en dimension 3, $\Delta f=f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}$.
• Notations de Monge : Au point considéré, les notations de Monge sont p = fₓ, q = fᵧ, r = fₓₓ, s = fₓᵧ = fᵧₓ et t = fᵧᵧ ; le gradient est (p,q) et la hessienne est $\begin{pmatrix}r&s\s&t\end{pmatrix}$.

★ À maîtriser

📌 Si f est lisse, ses dérivées partielles secondes croisées sont égales : $\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$.

📌 À un point critique, en posant $D=rt-s^2$, si D > 0 le point est un extremum strict, minimum si r > 0 et maximum si r < 0 ; si D < 0, c’est un point selle ; si D = 0, le critère ne permet pas de conclure.

Compléments

📐 Formule - L’approximation au second ordre en (x₀,y₀) s’écrit $f(x₀+u,y₀+v)=f(x₀,y₀)+pu+qv+\frac12(ru^2+2suv+tv^2)+o(u^2+v^2)$.

• Pour f(x,y)=−xy, l’origine est un point critique qui n’est pas un extremum local.

📐 Formule - En coordonnées polaires, le gradient s’écrit $\nabla f=\frac{\partial f_p}{\partial\rho}\,e_\rho+\frac1\rho\frac{\partial f_p}{\partial\phi}\,e_\phi$.

📐 Formule - En coordonnées sphériques, le gradient s’écrit $\nabla f=\frac{\partial f_s}{\partial r}\,e_r+\frac1r\frac{\partial f_s}{\partial\theta}\,e_\theta+\frac1{r\sin\theta}\frac{\partial f_s}{\partial\phi}\,e_\phi$.

• Le laplacien vérifie $\Delta f=\operatorname{div}(\nabla f)$ ; la notation $\nabla^2f$ est parfois utilisée, mais pas en mathématiques.

📖 18. Applications linéaires et matrices

🔑 Notions clés & Définitions

• Application linéaire : Une application linéaire conserve les sommes de vecteurs et la multiplication par un scalaire : $T(\vec u+\vec v)=T(\vec u)+T(\vec v)$ et $T(\lambda\vec u)=\lambda T(\vec u)$.
• Matrice d’application linéaire : La matrice d’une application linéaire dans une base a pour colonnes les composantes des images des vecteurs de cette base; elle transforme les coordonnées d’un vecteur en celles de son image.
• Déterminant d’une matrice : Pour $A=\begin{pmatrix}a_1&a_2\b_1&b_2\end{pmatrix}$, le déterminant est $\det(A)=a_1b_2-a_2b_1$.
• Matrice de transition : Une matrice de transition est une matrice carrée dont les coefficients sont positifs ou nuls et dont chaque colonne a une somme égale à 1.
• Vecteur d’état : Un vecteur d’état est un vecteur-colonne dont les coefficients sont positifs ou nuls et dont la somme vaut 1.
• État stationnaire : Un vecteur d’état $X^*$ est stationnaire lorsque $AX^*=X^*$ pour la matrice de transition $A$.

★ À maîtriser

• Deux applications linéaires du plan sont égales si et seulement si elles ont la même image sur les deux vecteurs d’une base.

• Toute application linéaire de $\mathbb R^2$ dans $\mathbb R^2$ s’écrit $T\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax+by\cx+dy\end{pmatrix}$ pour des réels $a,b,c,d$.

📌 Une matrice carrée d’ordre 2 est inversible si et seulement si son déterminant est non nul; dans ce cas $A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}a_{22}&-a_{12}\\-a_{21}&a_{11}\end{pmatrix}$.

• À partir d’un vecteur d’état initial $X_0$ et d’une matrice de transition $A$, le système évolue selon $X_{k+1}=AX_k$ et vérifie $X_k=A^kX_0$.

Compléments

• Pour le champ $\vec E=(x/r^3,y/r^3,z/r^3)$ avec $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ et $r\ne0$, la divergence est nulle et le rotationnel est également nul.

• Pour la gaussienne $f(x,y)=e^{-x^2-y^2}$, le laplacien vaut $\Delta f(x,y)=4(x^2+y^2-1)e^{-x^2-y^2}$.

• L’opérateur de la chaleur est $\frac{\partial}{\partial t}-\Delta$, et l’équation sans source de chaleur s’écrit $\frac{\partial f}{\partial t}-\Delta f=0$.

• L’opérateur des ondes, ou d’Alembertien, est $\Box=\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\Delta$, et l’équation des ondes s’écrit $\Box f=0$.

• En l’absence de potentiel, l’équation de Schrödinger s’écrit $i\frac{\partial f}{\partial t}+\Delta f=0$, où la fonction d’onde est à valeurs complexes.

• L’opérateur de Liouville s’écrit $Lf=\frac{\partial f}{\partial t}+\vec v\cdot\nabla_x f$ pour une fonction de sept variables scalaires : le temps, les trois coordonnées spatiales et les trois composantes de la vitesse.

💡 Astuce mémo

La matrice dépend de la base, mais le déterminant de l’application linéaire n’en dépend pas.