Fiche de révision : Électrostatique : charges et champs

📋 Plan du Cours

1. Charges électriques et loi de Coulomb
2. Superposition des champs électriques
3. Champ électrique et potentiel
4. Circulation et surfaces équipotentielles
5. Flux électrique et théorème de Gauss
6. Équations de Poisson et Laplace
7. Dipôle et exercices de distributions

📖 1. Charges électriques et loi de Coulomb

🔑 Notions clés & Définitions

• Électrostatique : L’électrostatique est la branche de l’électricité qui étudie les attractions et répulsions entre corps chargés fixes ainsi que les distributions de charges qui en résultent.

★ À maîtriser

📌 Deux charges de même signe se repoussent, tandis que deux charges de signes contraires s’attirent.

📐 Formule - Dans le vide, le module de la force entre deux charges ponctuelles vaut $F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{|q_1q_2|}{r^2}=9\times10^9\frac{|q_1q_2|}{r^2}$, avec les charges en coulombs et la distance en mètres.

• La force de Coulomb est dirigée suivant la droite joignant les deux charges et son module est proportionnel au produit des charges et inversement proportionnel au carré de leur distance.

Compléments

• La permittivité absolue du vide vaut $\varepsilon_0=\frac{1}{36\pi}\times10^{-9}\ \mathrm{F\,m^{-1}}$.

📌 La force exercée par une charge ponctuelle sur une seconde a pour force réciproque une force opposée, conformément au principe de l’action et de la réaction.

• Les permittivités relatives données sont $\varepsilon_r=1$ pour le vide, $\varepsilon_r=1{,}00057$ pour l’air et $\varepsilon_r=5{,}4$ pour le mica.

💡 Astuce mémo

Même signe : répulsion ; signes contraires : attraction.

📖 2. Superposition des champs électriques

★ À maîtriser

📐 Formule - La force exercée par la charge $q_1$ placée en A sur la charge $q_2$ placée en B est $\vec F_{1\to2}=\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0r^2}\vec u_{AB}=\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0r^3}\overrightarrow{AB}$.

📌 Dans l’expression vectorielle de Coulomb, la force est dans le sens de $\vec u_{AB}$ si $q_1q_2>0$ et dans le sens opposé si $q_1q_2<0$.

📐 Formule - La force résultante exercée sur une charge par plusieurs charges ponctuelles est la somme vectorielle des forces individuelles, soit $\vec F=\sum_{i=1}^{n}\vec F_i=\sum_{i=1}^{n}\frac{q q_i}{4\pi\varepsilon_0r_i^2}\vec u_i$.

📐 Formule - Le champ élémentaire créé par un élément de charge $dq$ à distance $r$ est $d\vec E=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_0r^2}\vec u$, et le champ total d’une distribution est $\vec E=\int_D\frac{\vec u}{4\pi\varepsilon_0r^2}\,dq$.

Compléments

• Pour une distribution continue, l’élément de charge s’écrit $dq=\lambda\,dl$ pour une distribution linéique, $dq=\sigma\,dS$ pour une distribution surfacique et $dq=\rho\,dv$ pour une distribution volumique.

📖 3. Champ électrique et potentiel

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ électrique : Le champ électrique en un point est un champ de vecteurs qui caractérise l’action électrique présente en ce point.
• Potentiel électrique : Le potentiel électrique en un point est un champ scalaire associé à la présence de charges électriques.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le champ créé à distance $r$ par une charge ponctuelle $q$ est $\vec E(M)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\vec u_{SM}$.

📐 Formule - Une charge $q'$ placée dans un champ électrique $\vec E$ subit la force $\vec f=q'\vec E$.

📐 Formule - Le potentiel créé à distance $r$ par une charge ponctuelle $q$ est $V(M)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r}+C$, où $C$ est une constante additive.

Compléments

📌 Le champ créé par une charge positive est orienté de la charge vers le point considéré, tandis que celui créé par une charge négative est orienté vers la charge.

📐 Formule - Le potentiel créé par plusieurs charges ponctuelles au point M est $V(M)=\sum_{i=1}^{n}\frac{q_i}{4\pi\varepsilon_0r_i}$, à une constante additive près.

📐 Formule - Le potentiel d’une distribution continue s’écrit $V(M)=\int_D\frac{dq}{4\pi\varepsilon_0r}+C$.

• Lorsque le potentiel est pris nul à l’infini, la constante additive est fixée par la condition $V\to0$ lorsque $r\to\infty$.

📖 4. Circulation et surfaces équipotentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Tube de champ : Un tube de champ est l’ensemble des lignes de champ qui s’appuient sur un contour fermé.
• Surface équipotentielle : Une surface équipotentielle est une surface sur laquelle le potentiel électrique est constant.

★ À maîtriser

• La circulation du champ électrique entre A et B vaut $C_{AB}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}\right)$ et ne dépend que des positions initiale et finale.

• La circulation du champ électrique le long d’une courbe fermée est nulle.

📐 Formule - La différence de potentiel entre A et B vérifie $C_{AB}=V_A-V_B$.

📐 Formule - Le champ électrique dérive du potentiel selon $\vec E=-\operatorname{grad}V$, soit $E_x=-\frac{\partial V}{\partial x}$, $E_y=-\frac{\partial V}{\partial y}$ et $E_z=-\frac{\partial V}{\partial z}$.

📌 Les lignes de champ électrique sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles, et le champ est orienté vers les potentiels décroissants.

📐 Formule - Le travail de la force électrique lors du déplacement d’une charge $q$ de A vers B vaut $W_{AB}=q(V_A-V_B)$.

Compléments

• Les lignes de champ sont orientées dans le sens du champ électrique et lui sont tangentes en chacun de leurs points.

• En SI, le champ électrique s’exprime en volts par mètre et le potentiel électrique en volts.

💡 Astuce mémo

Le champ va vers les potentiels décroissants ; les lignes de champ coupent les équipotentielles à angle droit.

📖 5. Flux électrique et théorème de Gauss

🔑 Notions clés & Définitions

• Flux électrique : Le flux électrique à travers une surface est l’intégrale du produit scalaire du champ électrique par l’élément de surface orienté.

★ À maîtriser

• Le flux d’une charge ponctuelle à travers une surface fermée qui ne l’entoure pas est nul.

📐 Formule - Le flux à travers une surface fermée contenant une charge ponctuelle intérieure $q$ vaut $\Phi=\frac{q}{\varepsilon_0}$.

📌 Le théorème de Gauss donne le flux sortant à travers une surface fermée comme la somme des charges intérieures et de la moitié de la somme des charges situées sur la surface, divisée par $\varepsilon_0$.

📐 Formule - Le théorème de Gauss s’écrit $\Phi=\frac{1}{\varepsilon_0}\left(\sum_i q_i+\frac{1}{2}\sum_S q_S\right)$, où $q_i$ sont les charges intérieures et $q_S$ les charges situées sur la surface.

Compléments

📐 Formule - Le flux du champ d’une charge ponctuelle à travers une surface élémentaire est $d\Phi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\,d\Omega$, où $d\Omega$ est l’angle solide sous lequel la surface est vue depuis la charge.

📖 6. Équations de Poisson et Laplace

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans le vide, l’équation de Poisson pour le potentiel est $\Delta V=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}$.

📐 Formule - En l’absence de charge volumique, $\rho=0$ et l’équation de Poisson devient l’équation de Laplace $\Delta V=0$.

Compléments

📐 Formule - Dans un milieu de permittivité relative $\varepsilon_r$, l’équation de Poisson s’écrit $\Delta V=-\frac{\rho}{\varepsilon_0\varepsilon_r}$.

📐 Formule - En coordonnées cartésiennes, l’équation de Laplace s’écrit $\frac{\partial^2V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2V}{\partial y^2}+\frac{\partial^2V}{\partial z^2}=0$.

💡 Astuce mémo

Charge volumique nulle → équation de Laplace.

📖 7. Dipôle et exercices de distributions

🔑 Notions clés & Définitions

• Dipôle électrostatique : Un dipôle électrostatique est formé de deux charges ponctuelles $-q$ et $+q$ placées en deux points fixes séparés par une distance $a$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans l’approximation $a\ll r$, le potentiel du dipôle au point de coordonnées polaires $(r,\theta)$ est $V(r,\theta)=\frac{qa\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2}$.

Compléments

• Pour le dipôle de l’exercice, l’approximation utilisée est $a\ll r$.

• Les exercices proposent de calculer le champ et le potentiel au centre d’un demi-cercle uniformément chargé, puis le champ et le potentiel sur l’axe d’un disque uniformément chargé.