Fiche de révision : Chap1 : (rappel) Comparaison et continuité

📋 Plan du Cours

1. Équivalence des suites
2. Calculer des équivalents
3. Opérations sur les équivalents
4. Négligeabilité des suites
5. Comparaison des fonctions
6. Continuité uniforme et définition
7. Critères de continuité uniforme

📖 1. Équivalence des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suites équivalentes : Deux suites réelles $(a_m)$ et $(b_m)$ sont équivalentes, ce que l’on note $a_m\sim b_m$, si l’une s’écrit comme l’autre multipliée par une suite qui tend vers 1.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $b_m\neq 0$, alors $a_m\sim b_m$ équivaut à $\lim_{m\to\infty}\frac{a_m}{b_m}=1$.

📐 Formule - L’équivalence $a_m\sim b_m$ équivaut à l’existence d’une suite $\varepsilon_m\to 0$ telle que $a_m=b_m(1+\varepsilon_m)$.

Compléments

• La relation d’équivalence des suites est transitive : si $a_m\sim b_m$ et $b_m\sim c_m$, alors $a_m\sim c_m$.

📖 2. Calculer des équivalents

★ À maîtriser

• Lorsque $m$ tend vers l’infini, $\sqrt{m+4}-\sqrt{m-1}\sim\frac{5}{2\sqrt m}$.

Compléments

• Les suites $a_m=m^2$ et $b_m=m^2+2m+\frac{1}{m+1}$ sont équivalentes, car $b_m=m^2\left(1+\frac{2}{m}+\frac{1}{m^2(m+1)}\right)$ et le facteur entre parenthèses tend vers 1.

• Pour $a_m=1/m$ et $b_m=1/m^2+1/m+1/\sqrt m$, le quotient $b_m/a_m$ tend vers $+\infty$ ; ces suites ne sont donc pas équivalentes.

• Pour obtenir un équivalent de $\sqrt{m+4}-\sqrt{m-1}$, on multiplie par la quantité conjuguée, puis on factorise $\sqrt m$ au dénominateur pour obtenir un facteur qui tend vers 2.

💡 Astuce mémo

Pour les racines, multiplier par la quantité conjuguée fait apparaître la différence des carrés.

📖 3. Opérations sur les équivalents

★ À maîtriser

📌 Si $a_m\sim b_m$ et $x_m\sim y_m$, alors $a_mx_m\sim b_my_m$.

📌 On ne peut pas additionner des équivalences en général : pour $a_m=m^2+m$, $b_m=m^2+1$, et $x_m=y_m=-m^2$, on a $a_m\sim b_m$ et $x_m\sim y_m$, mais $a_m+x_m=m$ tandis que $b_m+y_m=1$.

Compléments

📌 Si $a_m\sim b_m$ et si les suites au dénominateur sont non nulles, le quotient des suites équivalentes reste équivalent.

📌 Une équivalence $a_m\sim b_m$ n’implique pas en général $f(a_m)\sim f(b_m)$ ; avec $a_m=m^2+m$, $b_m=m^2$ et $f(x)=e^x$, le quotient des images vaut $e^m$ et diverge.

• Les expressions $m^2+m+5m+\sin(m)$ et $m^2$ sont équivalentes lorsque $m$ tend vers l’infini.

💡 Astuce mémo

Produit et quotient préservent l’équivalence ; somme et composition ne la préservent pas en général.

📖 4. Négligeabilité des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Négligeabilité des suites : La suite $(a_m)$ est négligeable devant $(b_m)$, noté $a_m=o(b_m)$ dans la notation usuelle, s’il existe une suite $E_m\to0$ telle que $a_m=E_mb_m$ pour tout $m$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $b_m\neq0$, alors $a_m=o(b_m)\iff\lim_{m\to\infty}\frac{a_m}{b_m}=0$.

📌 Deux suites sont équivalentes si et seulement si leur différence est négligeable devant l’une d’elles : $a_m\sim b_m\iff a_m-b_m=o(b_m)$.

Compléments

📌 La négligeabilité est transitive : si $a_m=o(b_m)$ et $b_m=o(c_m)$, alors $a_m=o(c_m)$.

• La suite $m^2$ est négligeable devant $e^m$, car $m^2/e^m$ tend vers 0.

📖 5. Comparaison des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Équivalence de fonctions : Deux fonctions $f$ et $g$ sont équivalentes en $x_0$, ce que l’on note $f\sim_{x_0}g$, s’il existe une fonction $\alpha$ qui tend vers 1 en $x_0$ et telle que $f(x)=\alpha(x)g(x)$.
• Négligeabilité de fonctions : La fonction $f$ est négligeable devant $g$ en $x_0$ s’il existe une fonction $E$ tendant vers 0 en $x_0$ telle que $f(x)=E(x)g(x)$; la notation est $f=\mathcal O_{x_0}(g)$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $g$ ne s’annule pas au voisinage considéré, alors $f\sim_{x_0}g$ équivaut à $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$.

Compléments

📐 Formule - Si $g(x)\neq0$ au voisinage considéré, alors $f=\mathcal O_{x_0}(g)\iff\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$.

📌 Si $f\sim_{x_0}g$, alors pour toute suite $(x_m)$ tendant vers $x_0$ et restant dans le domaine, les suites $f(x_m)$ et $g(x_m)$ sont équivalentes.

📌 Si $f$ et $g$ sont équivalentes en $x_0$, leurs produits par des fonctions respectivement équivalentes le sont aussi, et les quotients le sont lorsque les dénominateurs sont non nuls.

📖 6. Continuité uniforme et définition

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : Une fonction $f$ est continue en $x_0$ si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $\delta>0$ tel que, pour tout $x$ du domaine, $|x-x_0|<\delta$ entraîne $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$.
• Continuité uniforme : Une fonction $f$ est uniformément continue sur $I$ si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $\delta>0$ tel que, pour tous $x_1,x_2\in I$, $|x_1-x_2|<\delta$ entraîne $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$.

★ À maîtriser

📌 La continuité en un point autorise un $\delta$ dépendant de $x_0$, tandis que la continuité uniforme exige un même $\delta$ pour toutes les paires de points du domaine.

Compléments

• La fonction $f(x)=x^2$ est continue sur $\mathbb R$ mais n’y est pas uniformément continue.

📌 Une fonction qui n’est pas uniformément continue admet un $\varepsilon>0$ et deux suites $(x_m)$ et $(y_m)$ du domaine telles que $|x_m-y_m|\leq1/m$ et $|f(x_m)-f(y_m)|\geq\varepsilon$ pour tout $m$.

💡 Astuce mémo

Continuité : le δ peut dépendre du point ; continuité uniforme : le même δ vaut pour tous les points.

📖 7. Critères de continuité uniforme

★ À maîtriser

📌 Si $f$ est dérivable sur un intervalle et si $|f'(x)|\leq C$ pour tout $x$ de cet intervalle, alors $f$ y est uniformément continue.

📌 Toute fonction continue sur un intervalle fermé et borné $[a,b]$ est uniformément continue sur cet intervalle.

Compléments

📐 Formule - Sous l’hypothèse d’une dérivée bornée par $C$, l’inégalité des accroissements finis donne $|f(x_2)-f(x_1)|\leq C|x_2-x_1|$.

• La restriction de $x\mapsto x^2$ à $[0{,}1]$ est uniformément continue, contrairement à cette fonction sur $\mathbb R$.

💡 Astuce mémo

Dérivée bornée → accroissements contrôlés → continuité uniforme.