Chap1 : (rappel) Comparaison et continuité

📋 Plan du Cours

1. Équivalence des suites
2. Calculer des équivalents
3. Opérations sur les équivalents
4. Négligeabilité des suites
5. Comparaison des fonctions
6. Continuité uniforme et définition
7. Critères de continuité uniforme

📖 1. Équivalence des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suites équivalentes : Deux suites réelles $(a_m)$ et $(b_m)$ sont équivalentes, ce que l’on note $a_m\sim b_m$, si l’une s’écrit comme l’autre multipliée par une suite qui tend vers 1.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $b_m\neq 0$, alors $a_m\sim b_m$ équivaut à $\lim_{m\to\infty}\frac{a_m}{b_m}=1$.

📐 Formule - L’équivalence $a_m\sim b_m$ équivaut à l’existence d’une suite $\varepsilon_m\to 0$ telle que $a_m=b_m(1+\varepsilon_m)$.

Compléments

• La relation d’équivalence des suites est transitive : si $a_m\sim b_m$ et $b_m\sim c_m$, alors $a_m\sim c_m$.

📖 2. Calculer des équivalents

★ À maîtriser

• Lorsque $m$ tend vers l’infini, $\sqrt{m+4}-\sqrt{m-1}\sim\frac{5}{2\sqrt m}$.

Compléments

• Les suites $a_m=m^2$ et $b_m=m^2+2m+\frac{1}{m+1}$ sont équivalentes, car $b_m=m^2\left(1+\frac{2}{m}+\frac{1}{m^2(m+1)}\right)$ et le facteur entre parenthèses tend vers 1.