QCM : Chap1 : (rappel) Comparaison et continuité (18 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Que signifie que deux suites réelles (am) (a_m) et (bm) (b_m) sont équivalentes ?

Leur quotient tend vers 0 lorsque l’indice tend vers l’infini.
Leur somme est égale à une suite qui tend vers 1.
L’une s’écrit comme l’autre multipliée par une suite qui tend vers 1.
Leur différence tend vers 1 lorsque l’indice tend vers l’infini.

L’une s’écrit comme l’autre multipliée par une suite qui tend vers 1.

Explication

L’équivalence signifie que le rapport entre les suites peut s’exprimer par un facteur qui tend vers 1. Une différence qui tend vers 1 ne caractérise pas cette relation.

2. Si bm≠0b_m\neq 0 pour tout indice considéré, quelle condition sur le quotient caractérise am∼bma_m\sim b_m ?

lim⁡m→∞ambm=0\lim_{m\to\infty}\frac{a_m}{b_m}=0
lim⁡m→∞ambm=1\lim_{m\to\infty}\frac{a_m}{b_m}=1
lim⁡m→∞ambm=+∞\lim_{m\to\infty}\frac{a_m}{b_m}=+\infty
lim⁡m→∞(am−bm)=1\lim_{m\to\infty}\left(a_m-b_m\right)=1

$$\lim_{m\to\infty}\frac{a_m}{b_m}=1$$

Explication

Lorsque le dénominateur ne s’annule pas, l’équivalence se traduit par un quotient qui tend vers 1. Un quotient tendant vers 0 correspond à une autre comparaison de grandeur, et non à l’équivalence.

3. Quelle écriture exprime l’équivalence am∼bma_m\sim b_m à l’aide d’une erreur tendant vers zéro ?

Il existe εm→0\varepsilon_m\to 0 tel que am=bm+εma_m=b_m+\varepsilon_m.
Il existe εm→1\varepsilon_m\to 1 tel que am=bm(1+εm)a_m=b_m(1+\varepsilon_m).
Il existe εm→0\varepsilon_m\to 0 tel que am=bmεma_m=b_m\varepsilon_m.
Il existe εm→0\varepsilon_m\to 0 tel que am=bm(1+εm)a_m=b_m(1+\varepsilon_m).

Il existe $$\varepsilon_m\to 0$$ tel que $$a_m=b_m(1+\varepsilon_m)$$.

Explication

L’écart relatif s’écrit comme un facteur 1+εm1+\varepsilon_m, où l’erreur tend vers zéro. Ajouter une erreur tendant vers zéro décrit un écart absolu, ce qui ne suffit pas à établir une équivalence.

4. Lorsque mm tend vers l’infini, quel équivalent obtient-on pour m+4−m−1\sqrt{m+4}-\sqrt{m-1} ?

52m\frac{5}{2m}
5m\frac{5}{\sqrt m}
52m\frac{5}{2\sqrt m}
25m\frac{2}{5\sqrt m}

$$\frac{5}{2\sqrt m}$$

Explication

La différence est équivalente à 52m\frac{5}{2\sqrt m} lorsque mm devient grand. Le facteur 22 au dénominateur provient de la somme des racines après rationalisation.

5. Pour déterminer un équivalent de m+4−m−1\sqrt{m+4}-\sqrt{m-1}, quelle méthode permet de faire apparaître le facteur tendant vers 2 ?

Multiplier par la quantité conjuguée, puis factoriser m\sqrt m au dénominateur.
Développer chaque racine en puissance de mm, puis factoriser mm au numérateur.
Diviser par la quantité conjuguée, puis factoriser mm au dénominateur.
Élever la différence au carré, puis factoriser m\sqrt m au numérateur.

Multiplier par la quantité conjuguée, puis factoriser $$\sqrt m$$ au dénominateur.

Explication

La multiplication par la quantité conjuguée transforme la différence en un quotient, et la factorisation de m\sqrt m au dénominateur fait apparaître un facteur tendant vers 2. Diviser par la quantité conjuguée n’effectue pas cette rationalisation.

6. Si am∼bma_m\sim b_m et xm∼ymx_m\sim y_m, quelle conclusion peut-on tirer pour les produits ?

amxm∼bmyma_mx_m\sim b_my_m
am−xm∼bm−yma_m-x_m\sim b_m-y_m
amxm∼bmym\frac{a_m}{x_m}\sim\frac{b_m}{y_m}
am+xm∼bm+yma_m+x_m\sim b_m+y_m

$$a_mx_m\sim b_my_m$$

Explication

Le produit de deux suites équivalentes est équivalent au produit des suites correspondantes. L’addition, en revanche, ne préserve pas nécessairement l’équivalence en raison de possibles compensations.

7. Pourquoi l’équivalence de deux paires de suites ne garantit-elle pas l’équivalence de leurs sommes ?

L’équivalence des suites impose que leurs sommes divergent vers des limites finies différentes.
L’addition transforme nécessairement toute suite équivalente en une suite constante.
Des termes dominants peuvent se compenser dans les sommes et laisser des termes de tailles très différentes.
Les suites équivalentes peuvent avoir des signes opposés pour tous les indices assez grands.

Des termes dominants peuvent se compenser dans les sommes et laisser des termes de tailles très différentes.

Explication

Des termes principaux de même ordre peuvent s’annuler lors de l’addition, de sorte que des termes secondaires différents déterminent alors les sommes. Dans l’exemple donné, les sommes valent respectivement mm et 11, ce qui montre l’échec de l’équivalence.

8. Que signifie que la suite (am)(a_m) est négligeable devant la suite (bm)(b_m) ?

Il existe une suite EmE_m tendant vers un telle que am=Embma_m=E_mb_m pour tout mm.
Il existe une suite constante EmE_m telle que am=Em+bma_m=E_m+b_m pour tout mm.
Il existe une suite EmE_m tendant vers zéro telle que bm=Emamb_m=E_ma_m pour tout mm.
Il existe une suite EmE_m tendant vers zéro telle que am=Embma_m=E_mb_m pour tout mm.

Il existe une suite $$E_m$$ tendant vers zéro telle que $$a_m=E_mb_m$$ pour tout $$m$$.

Explication

La négligeabilité signifie que l’on peut écrire chaque terme de ama_m comme le produit de bmb_m par un facteur qui tend vers zéro. Un facteur tendant vers un décrit plutôt une relation d’équivalence entre les suites.

9. Si bm≠0b_m\neq0 pour tout mm considéré, quel critère permet de vérifier que am=o(bm)a_m=o(b_m) ?

Vérifier que lim⁡m→∞ambm=0\lim_{m\to\infty}\frac{a_m}{b_m}=0.
Vérifier que lim⁡m→∞ambm=1\lim_{m\to\infty}\frac{a_m}{b_m}=1.
Vérifier que lim⁡m→∞bmam=0\lim_{m\to\infty}\frac{b_m}{a_m}=0.
Vérifier que lim⁡m→∞(am−bm)=0\lim_{m\to\infty}(a_m-b_m)=0.

Vérifier que $$\lim_{m\to\infty}\frac{a_m}{b_m}=0$$.

Explication

Lorsque le dénominateur est non nul, la négligeabilité équivaut à une limite nulle du quotient am/bma_m/b_m. Une limite égale à un caractérise plutôt un quotient associé à l’équivalence des suites.

10. Quelle relation entre deux suites ama_m et bmb_m caractérise leur équivalence ?

La suite bmb_m est négligeable devant am−bma_m-b_m.
La différence am−bma_m-b_m est négligeable devant bmb_m.
Le quotient am/bma_m/b_m tend vers zéro.
La différence am−bma_m-b_m tend vers bmb_m.

La différence $$a_m-b_m$$ est négligeable devant $$b_m$$.

Explication

L’équivalence s’exprime par am−bm=o(bm)a_m-b_m=o(b_m) : l’écart entre les suites est petit par rapport à l’une d’elles. Un quotient qui tend vers zéro décrit la négligeabilité de ama_m devant bmb_m, et non leur équivalence.

11. Que signifie que deux fonctions ff et gg sont équivalentes en x0x_0 ?

Il existe une fonction α\alpha tendant vers un en x0x_0 telle que f(x)=α(x)g(x)f(x)=\alpha(x)g(x).
Il existe une fonction α\alpha constante telle que f(x)=α(x)g(x)f(x)=\alpha(x)g(x).
Il existe une fonction α\alpha tendant vers zéro en x0x_0 telle que f(x)=α(x)g(x)f(x)=\alpha(x)g(x).
Il existe une fonction α\alpha tendant vers un en x0x_0 telle que g(x)=f(x)+α(x)g(x)=f(x)+\alpha(x).

Il existe une fonction $$\alpha$$ tendant vers un en $$x_0$$ telle que $$f(x)=\alpha(x)g(x)$$.

Explication

L’équivalence signifie que le facteur reliant ff à gg tend vers un au voisinage de x0x_0. Un facteur tendant vers zéro correspond à une relation de négligeabilité, pas à une équivalence.

12. Au voisinage considéré, gg ne s’annule pas et f(x)/g(x)f(x)/g(x) tend vers 11 lorsque xx tend vers x0x_0. Quelle relation en découle ?

La différence f−gf-g est équivalente à gg en x0x_0.
La fonction ff est négligeable devant gg en x0x_0.
Les fonctions ff et gg sont équivalentes en x0x_0.
La fonction gg est négligeable devant ff en x0x_0.

Les fonctions $$f$$ et $$g$$ sont équivalentes en $$x_0$$.

Explication

Quand gg ne s’annule pas près de x0x_0, un quotient f/gf/g de limite un caractérise l’équivalence en ce point. Une limite nulle du quotient signalerait plutôt que ff est négligeable devant gg.

13. Si f∼x0gf\sim_{x_0}g et si une suite xmx_m du domaine tend vers x0x_0, quelle conclusion peut-on tirer pour les suites évaluées ?

La différence f(xm)−g(xm)f(x_m)-g(x_m) tend nécessairement vers zéro.
Les suites f(xm)f(x_m) et g(xm)g(x_m) sont équivalentes.
La suite f(xm)f(x_m) est négligeable devant g(xm)g(x_m).
Les suites f(xm)f(x_m) et g(xm)g(x_m) ont nécessairement les mêmes termes.

Les suites $$f(x_m)$$ et $$g(x_m)$$ sont équivalentes.

Explication

L’équivalence des fonctions en x0x_0 entraîne l’équivalence des suites obtenues en les évaluant le long d’une suite du domaine tendant vers ce point. Elle n’impose pas que les valeurs soient identiques ni que leur différence tende vers zéro sans condition supplémentaire.

14. Quelle condition définit la continuité d’une fonction ff en un point x0x_0 ?

Pour chaque ε>0\varepsilon>0, il existe δ>0\delta>0 tel que, pour tous x,yx,y du domaine, ∣x−y∣<δ|x-y|<\delta entraîne ∣f(x)−f(y)∣<ε|f(x)-f(y)|<\varepsilon.
Il existe un ε>0\varepsilon>0 tel que, pour chaque δ>0\delta>0, ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta entraîne ∣f(x)−f(x0)∣<ε|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.
Pour chaque δ>0\delta>0, il existe ε>0\varepsilon>0 tel que ∣x−x0∣<ε|x-x_0|<\varepsilon entraîne ∣f(x)−f(x0)∣<δ|f(x)-f(x_0)|<\delta.
Pour chaque ε>0\varepsilon>0, il existe δ>0\delta>0 tel que ∣x−x0∣<δ|x-x_0|<\delta entraîne ∣f(x)−f(x0)∣<ε|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.

Pour chaque $$\varepsilon>0$$, il existe $$\delta>0$$ tel que $$|x-x_0|<\delta$$ entraîne $$|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$$.

Explication

La continuité en x0x_0 contrôle l’écart entre f(x)f(x) et la valeur fixe f(x0)f(x_0) par un choix de δ\delta adapté à chaque ε\varepsilon. La condition portant sur toutes les paires de points correspond à la continuité uniforme.

15. Quelle propriété caractérise la continuité uniforme de ff sur un intervalle II ?

Pour chaque ε>0\varepsilon>0, un même δ>0\delta>0 convient à toutes les paires x1,x2∈Ix_1,x_2\in I.
Pour chaque ε>0\varepsilon>0, il existe un δ>0\delta>0 tel que les images soient proches dès que les points sont dans II.
Il existe un δ>0\delta>0 tel que, pour chaque paire de points de II, les images sont égales.
Pour chaque point x0∈Ix_0\in I et chaque ε>0\varepsilon>0, un δ>0\delta>0 peut dépendre de x0x_0.

Pour chaque $$\varepsilon>0$$, un même $$\delta>0$$ convient à toutes les paires $$x_1,x_2\in I$$.

Explication

La continuité uniforme exige qu’un même seuil δ\delta garantisse la proximité des images pour toutes les paires de points de l’intervalle. Lorsque δ\delta peut varier selon le point choisi, on retrouve la continuité point par point.

16. Quelle différence essentielle distingue la continuité en un point de la continuité uniforme sur un domaine ?

En un point, on compare deux valeurs quelconques de la fonction; uniformément, on compare chaque valeur à une valeur fixe.
En un point, ε\varepsilon peut dépendre de la valeur de la fonction; uniformément, ε\varepsilon doit être le même pour le domaine.
En un point, δ\delta peut dépendre du point considéré; uniformément, un même δ\delta convient à toutes les paires du domaine.
En un point, δ\delta est imposé avant ε\varepsilon; uniformément, ε\varepsilon est imposé avant δ\delta.

En un point, $$\delta$$ peut dépendre du point considéré; uniformément, un même $$\delta$$ convient à toutes les paires du domaine.

Explication

La continuité en un point autorise un voisinage de taille adaptée à ce point, tandis que la continuité uniforme utilise un seuil commun pour toutes les paires du domaine. La distinction ne porte pas sur l’ordre des choix de ε\varepsilon et de δ\delta, qui reste le même.

17. Une fonction dérivable sur un intervalle vérifie ∣f′(x)∣≤5|f'(x)|\leq 5 en tout point de cet intervalle. Quelle conclusion peut-on en tirer ?

La fonction est strictement croissante sur cet intervalle.
La fonction est uniformément continue sur tout intervalle contenant celui-ci.
La fonction est uniformément continue sur cet intervalle.
La fonction est nécessairement bornée sur cet intervalle.

La fonction est uniformément continue sur cet intervalle.

Explication

Une dérivée bornée sur un intervalle garantit que la fonction y est uniformément continue. Cette borne ne suffit pas à établir que la fonction est bornée, par exemple lorsque l’intervalle n’est pas borné.

18. Une fonction est continue sur l’intervalle [−2,4][-2,4]. Quelle propriété de continuité possède-t-elle sur cet intervalle ?

Elle est uniformément continue sur cet intervalle.
Elle est bornée sur tout intervalle contenant celui-ci.
Sa dérivée est bornée sur cet intervalle.
Elle est dérivable en tout point de cet intervalle.

Elle est uniformément continue sur cet intervalle.

Explication

Toute fonction continue sur un intervalle fermé et borné est uniformément continue sur cet intervalle. La continuité n’implique pas nécessairement la dérivabilité, même si elle entraîne ici la continuité uniforme.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 38 flashcards sur Chap1 : (rappel) Comparaison et continuité.

Quand deux suites réelles sont-elles équivalentes selon la définition multiplicative ?

Lorsque l’une est l’autre multipliée par une suite qui tend vers 1.

Si bm≠0b_m\neq 0, quelle limite caractérise am∼bma_m\sim b_m ?

lim⁡m→∞ambm=1\lim_{m\to\infty}\frac{a_m}{b_m}=1.

Quelle décomposition caractérise am∼bma_m\sim b_m avec une suite tendant vers zéro ?

am=bm(1+εm)a_m=b_m(1+\varepsilon_m), où εm→0\varepsilon_m\to 0.

Voir les flashcards →

Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Chap1 : (rappel) Comparaison et continuité.

Voir la fiche →

Cours similaires

Bases de l’électrocinétique

Physique

Attention, groupes et faits sociaux

Ensembles, applications et équivalences

Mathématiques

Identités remarquables et factorisation

Mathématiques

Fonctions usuelles et intégration

Mathématiques

Électrostatique : charges et champs

Physique

Crée tes propres QCM

Importe ton cours et l'IA génère des QCM avec corrections en 30 secondes.

Générateur de QCM