QCM : Identités remarquables et factorisation (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété définit une identité algébrique ?

C’est une égalité dont les deux membres ont la même forme.
C’est une égalité vraie pour au moins une valeur des variables.
C’est une égalité qui ne contient aucune variable.
C’est une égalité vraie pour toutes les valeurs des variables.

C’est une égalité vraie pour toutes les valeurs des variables.

Explication

Une identité reste vraie quelles que soient les valeurs attribuées aux variables. Une égalité qui fonctionne pour au moins une valeur peut échouer pour d’autres valeurs et n’est donc pas nécessairement une identité.

2. Pourquoi l’égalité 2x+1=32x+1=3 n’est-elle pas une identité ?

Pour x=2x=2, le membre gauche vaut 33, mais le membre droit vaut 55.
Pour x=2x=2, le membre gauche vaut 55, et l’égalité est fausse.
Pour x=0x=0, les deux membres ont des valeurs différentes, ce qui rend l’égalité vraie.
Pour x=2x=2, les deux membres valent 55, mais l’égalité n’est pas générale.

Pour $$x=2$$, le membre gauche vaut $$5$$, et l’égalité est fausse.

Explication

En remplaçant xx par 22, le membre gauche vaut 2×2+1=52\times2+1=5, tandis que le membre droit vaut 33. Le fait qu’une égalité échoue pour une valeur suffit à montrer qu’elle n’est pas une identité.

3. Quel développement correspond à la première identité remarquable ?

a2−b2a^2-b^2
a2+(a+b)b+aba^2+(a+b)b+ab
a2−2ab+b2a^2-2ab+b^2
a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2

$$a^2+2ab+b^2$$

Explication

Le carré d’une somme se développe en a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2. L’expression a2−2ab+b2a^2-2ab+b^2 correspond au carré d’une différence.

4. Quel développement obtient-on en appliquant la deuxième identité remarquable à (a−b)2(a-b)^2 ?

a2−b2a^2-b^2
a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2
a2−(a+b)b+aba^2-(a+b)b+ab
a2−2ab+b2a^2-2ab+b^2

$$a^2-2ab+b^2$$

Explication

Le carré d’une différence donne a2−2ab+b2a^2-2ab+b^2, avec un terme croisé négatif. Le développement avec +2ab+2ab concerne le carré d’une somme.

5. Quelle expression est égale à (a+b)(a−b)(a+b)(a-b) ?

a2−b2a^2-b^2
a2−2ab+b2a^2-2ab+b^2
a2+2ab−b2a^2+2ab-b^2
a2+b2a^2+b^2

$$a^2-b^2$$

Explication

Le produit d’une somme par la différence des mêmes termes donne une différence de carrés, a2−b2a^2-b^2. L’expression a2−2ab+b2a^2-2ab+b^2 est plutôt le carré de la différence.

6. En développant (x+a)(x+b)(x+a)(x+b), quel coefficient accompagne le terme en xx ?

a+ba+b
a−ba-b
abab
2ab2ab

$$a+b$$

Explication

Le développement est x2+(a+b)x+abx^2+(a+b)x+ab, donc le coefficient du terme en xx est la somme a+ba+b. Le produit abab est le terme constant, pas le coefficient de xx.

7. Dans la démonstration de (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2, pourquoi les termes abab et baba donnent-ils 2ab2ab ?

Parce que le produit des deux facteurs identiques ajoute les exposants et donne directement 2ab2ab.
Parce que la distributivité transforme abab en 2ab2ab et supprime le terme baba.
Parce que aa et bb doivent avoir la même valeur, donc ab+ba=a2+b2ab+ba=a^2+b^2.
Parce que la multiplication est commutative, donc ab=baab=ba et leur somme vaut 2ab2ab.

Parce que la multiplication est commutative, donc $$ab=ba$$ et leur somme vaut $$2ab$$.

Explication

La multiplication étant commutative, ba=abba=ab, donc ab+ba=2abab+ba=2ab dans le développement. La distributivité produit bien les deux termes croisés ; elle ne transforme pas à elle seule un terme isolé en 2ab2ab.

8. Quelle transformation décrit la factorisation d’une expression ?

Remplacer chaque variable par une valeur numérique.
La réécrire sous la forme d’une multiplication.
La réécrire sous la forme d’une somme de termes.
Réduire les termes semblables sans changer leur forme.

La réécrire sous la forme d’une multiplication.

Explication

Factoriser consiste à réécrire une expression sous la forme d’un produit. La réduction des termes semblables peut simplifier une expression, mais ne la transforme pas nécessairement en multiplication.

9. Quelle distinction entre développer et factoriser est correcte ?

Développer et factoriser transforment tous deux un produit en somme, mais selon des règles différentes.
Développer transforme un produit en somme, tandis que factoriser réécrit une expression sous forme de produit.
Développer transforme une somme en produit, tandis que factoriser réécrit un produit sous forme de somme.
Développer réduit des termes semblables, tandis que factoriser remplace les variables par des nombres.

Développer transforme un produit en somme, tandis que factoriser réécrit une expression sous forme de produit.

Explication

Développer applique notamment la distributivité pour transformer un produit comme a(b+c)a(b+c) en somme, alors que factoriser écrit une expression sous forme de produit. L’option qui inverse ces opérations décrit incorrectement leur distinction.

10. Pour mettre en évidence un facteur commun dans une expression, quelle démarche faut-il suivre ?

Repérer une identité remarquable, puis remplacer chaque terme par une puissance.
Repérer deux termes opposés, puis les supprimer pour réduire l’expression.
Regrouper les termes selon leurs degrés, puis effectuer les additions possibles.
Repérer un facteur présent dans tous les termes, puis le placer devant une parenthèse.

Repérer un facteur présent dans tous les termes, puis le placer devant une parenthèse.

Explication

La mise en évidence consiste à chercher un facteur commun à tous les termes et à le placer en facteur. Reconnaître une identité remarquable relève d’une autre méthode de factorisation.

11. Comment la reconnaissance d’une identité remarquable permet-elle de factoriser un polynôme ?

On remplace les variables par des valeurs, puis on calcule le résultat numérique.
On reconnaît la forme d’une identité remarquable, puis on la réécrit comme un produit.
On repère un terme commun, puis on le place devant une parenthèse.
On développe chaque terme, puis on regroupe les puissances de même degré.

On reconnaît la forme d’une identité remarquable, puis on la réécrit comme un produit.

Explication

Cette méthode consiste à reconnaître qu’un polynôme correspond à une identité remarquable et à le réécrire sous forme de produit. La recherche d’un facteur commun décrit plutôt la mise en évidence.

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Qu’est-ce qu’une identité en algèbre ?

Une égalité toujours vraie, quelles que soient les valeurs des variables.

Quelle est la première identité remarquable ?

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

Quelle est la deuxième identité remarquable ?

(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

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