QCM : Ensembles, applications et équivalences (27 questions)

Question 1

1. Quelle propriété caractérise les objets réunis dans un ensemble ?

Ce sont des objets choisis parmi les parties d’un ensemble.

Ce sont des objets nécessairement ordonnés selon une règle.

Ce sont des collections d’ensembles pouvant se chevaucher.

Ce sont des objets définis et distincts, appelés éléments.

Explication

Les éléments d’un ensemble sont des objets définis et distincts. Le fait d’être ordonnés caractérise plutôt une structure comme une suite, et non la définition d’un ensemble.

Answer

Ce sont des objets définis et distincts, appelés éléments.

Question 2

2. Si A est une partie de E, que désigne l’ensemble P(E) ?

L’ensemble de toutes les parties de E.

L’ensemble des éléments de E qui ne figurent pas dans A.

L’ensemble des parties de A qui contiennent chaque élément de E.

L’ensemble des éléments de A, comptés avec leur ordre.

Explication

P(E) rassemble toutes les parties de E, c’est-à-dire tous les ensembles constitués d’éléments de E. L’ensemble des éléments de A est A lui-même, et non P(E).

Answer

L’ensemble de toutes les parties de E.

Question 3

3. Si (a, b) appartient à E × F, quelle condition doit être satisfaite ?

a et b appartiennent à E, et leur ordre peut être échangé.

a appartient à F et b appartient à E, avec des coordonnées égales.

a appartient à E et b appartient à F, dans cet ordre.

a et b appartiennent à E ∩ F, quelle que soit leur position.

Explication

Un couple de E × F a sa première coordonnée dans E et sa deuxième dans F, et l’ordre des coordonnées compte. L’échange des coordonnées ne préserve donc pas nécessairement l’appartenance à E × F.

Answer

a appartient à E et b appartient à F, dans cet ordre.

Question 4

4. Quelle notation désigne le produit cartésien E × E lorsque les deux facteurs sont le même ensemble E ?

P(E)

2E

E ∪ E

E²

Explication

Lorsque les deux facteurs sont égaux à E, le produit cartésien se note E². P(E) désigne plutôt l’ensemble des parties de E.

Answer

Comme un recouvrement, car les chevauchements y sont possibles.

Answer

Leurs membres sont non vides, deux à deux disjoints, et leur réunion vaut E.

Answer

Chaque élément de l’ensemble de départ est associé à un unique élément de l’ensemble d’arrivée.

Answer

Non, car l’égalité exige aussi le même ensemble d’arrivée.

Answer

Elle définit une application de $$A$$ vers $$F$$ en conservant les valeurs de $$f$$ sur $$A$$.

Answer

Sa restriction à $$E_1$$ doit être égale à $$f$$.

Answer

On applique d’abord $$f$$ à $$x$$, puis $$g$$ au résultat.

Answer

$$h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$$

Answer

Comme l’ensemble des images $$f(a)$$ des éléments $$a$$ de $$A$$

Answer

Les éléments de $$E$$ dont l’image par $$f$$ appartient à $$B$$

Answer

Deux éléments de $$E$$ ayant la même image sont égaux

Answer

Son image est égale à $$F$$, donc chaque élément de $$F$$ a un antécédent

Answer

Exactement un antécédent dans $$E$$

Answer

Elle est injective et surjective

Answer

Comme une partie de $$E \times E$$, où $$xRy$$ signifie que $$(x,y) \in R$$

Answer

La réflexivité, la symétrie et la transitivité

Answer

Il existe un entier $$k$$ tel que $$a-b=kn$$

Answer

Comme l’ensemble des y de E tels que xRy

Answer

Elles forment une partition de E, tandis qu’une partition peut aussi définir une relation d’équivalence

Answer

L’ensemble des classes d’équivalence de E pour R

Answer

Il est unique, vérifie a = qn + r, avec q entier et 0 ≤ r < n

Answer

L’ensemble quotient de $$\mathbb{Z}$$ par la congruence modulo n

Answer

n classes, représentées par les entiers de 0 à n − 1

Question 5

5. Une famille de parties de E a pour réunion E, mais certaines de ses parties se chevauchent. Comment la caractériser ?

Comme une partie de E, car elle contient tous ses éléments.

Comme une famille disjointe, puisque sa réunion vaut E.

Comme un recouvrement, car les chevauchements y sont possibles.

Comme une partition, puisque sa réunion couvre E.

Explication

Un recouvrement est une famille de parties dont la réunion est E, et ses parties peuvent se chevaucher. Une partition exige en plus que ses parties soient deux à deux disjointes.

Question 6

6. Quelles conditions font d’un ensemble de parties de E une partition de E ?

Leurs membres ont une intersection commune non vide et leur réunion vaut E.

Leurs membres sont non vides et leur réunion contient au moins une partie de E.

Leurs membres sont non vides, deux à deux disjoints, et leur réunion vaut E.

Leurs membres sont deux à deux disjoints, mais leur réunion peut être incluse dans E.

Explication

Une partition est formée de parties non vides, deux à deux disjointes, dont la réunion est E. Une famille dont la réunion est seulement incluse dans E ne couvre pas nécessairement tout E.

Question 7

7. Quelle condition distingue une application d’une relation binaire générale entre deux ensembles ?

Chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède exactement un antécédent dans l’ensemble de départ.

Chaque élément de l’ensemble d’arrivée est associé à un unique élément de l’ensemble de départ.

Chaque élément de l’ensemble de départ est associé à un unique élément de l’ensemble d’arrivée.

Chaque élément de l’ensemble de départ est associé à au moins un élément de l’ensemble d’arrivée.

Explication

Une application attribue à chaque élément de départ une image unique dans l’ensemble d’arrivée. Une relation peut associer plusieurs images à un même élément de départ, contrairement à une application.

Question 8

8. Deux applications ayant le même domaine et les mêmes images en chaque point peuvent-elles être égales si leurs ensembles d’arrivée diffèrent ?

Oui, dès que leurs images coïncident sur le domaine commun.

Non, car elles doivent plutôt avoir le même ensemble de départ et des domaines différents.

Oui, si chaque image appartient aux deux ensembles d’arrivée.

Non, car l’égalité exige aussi le même ensemble d’arrivée.

Explication

L’égalité de deux applications requiert le même ensemble de départ, le même ensemble d’arrivée et la même image en chaque point. La coïncidence des valeurs sur le domaine ne suffit donc pas lorsque les ensembles d’arrivée diffèrent.

Question 9

9. Soit $f:E\to F$ et $A\subset E$ . Que fait la restriction de $f$ à $A$ ?

Elle définit une application de

F

vers

A

en inversant les couples de

f

.

Elle définit une application de

A

vers

E

en envoyant chaque élément sur lui-même.

Elle définit une application de

E

vers

F

en modifiant les valeurs hors de

A

.

Elle définit une application de

A

vers

F

en conservant les valeurs de

f

sur

A

.

Explication

La restriction réduit l’ensemble de départ à $A$ et conserve, pour chaque élément de $A$ , sa valeur par $f$ . Modifier les valeurs hors de $A$ ne décrit pas la restriction, puisque ces éléments ne font plus partie de son domaine.

Question 10

10. Une application $f:E_1\to F$ est prolongée à un ensemble $E$ contenant $E_1$ . Quelle propriété doit vérifier le prolongement $g:E\to F$ ?

Son ensemble d’arrivée doit être égal à

E_1

.

Sa restriction à

E_1

doit être égale à

f

.

Ses valeurs sur

E_1

doivent être différentes de celles de

f

.

Son ensemble de départ doit rester égal à

E_1

.

Explication

Un prolongement étend le domaine tout en conservant les valeurs de l’application initiale sur $E_1$ , ce qui s’écrit $g|_{E_1}=f$ . Si le domaine restait égal à $E_1$ , il n’y aurait pas d’extension à $E$ .

Question 11

11. Si $f:E\to F$ et $g:F\to G$ , comment calcule-t-on $(g\circ f)(x)$ ?

On applique d’abord

f

à

x

, puis

g

au résultat.

On applique

f

deux fois à

x

, puis on applique

g

.

On additionne

f(x)

et

g(x)

pour obtenir le résultat.

On applique d’abord

g

à

x

, puis

f

au résultat.

Explication

La composée vérifie $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ : on calcule d’abord l’image par $f$ , puis l’image de ce résultat par $g$ . Lire les symboles de gauche à droite conduirait à appliquer $g$ en premier, ce qui ne correspond pas à cette définition.

Question 12

12. Lorsque les domaines et codomaines sont compatibles, quelle égalité exprime l’associativité de la composition ?

h\circ(g\circ f)=h\circ(f\circ g)

h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f

h\circ(g\circ f)=f\circ(g\circ h)

h\circ(g\circ f)=(g\circ h)\circ f

Explication

L’associativité permet de regrouper les compositions de l’une ou l’autre manière sans modifier l’application obtenue. Inverser l’ordre des applications, comme dans $f\circ(g\circ h)$ , ne découle pas de cette propriété.

Question 13

13. Pour une application $f : E \to F$ et une partie $A \subset E$ , comment définit-on l’image directe de $A$ ?

Comme l’ensemble des éléments de

E

dont l’image appartient à

A

Comme l’ensemble des images

f(a)

des éléments

a

de

A

Comme l’ensemble des éléments de

F

qui possèdent un antécédent dans

E

Comme l’ensemble des antécédents dans

E

d’un élément fixé de

F

Explication

L’image directe rassemble les valeurs prises par $f$ sur les éléments de $A$ . La description par les éléments de $E$ dont l’image appartient à une partie de $F$ correspond plutôt à une image réciproque.

Question 14

14. Pour une application $f : E \to F$ et une partie $B \subset F$ , quel ensemble constitue l’image réciproque de $B$ ?

L’unique antécédent dans

E

de chaque élément de

B

Les éléments de

E

dont l’image par

f

appartient à

B

Les éléments de

F

qui possèdent un antécédent dans

B

Les images par

f

des éléments de

B

Explication

L’image réciproque de $B$ contient les éléments du domaine $E$ dont l’image tombe dans $B$ , et elle est définie même si $f$ n’est pas bijective. L’existence d’un unique antécédent pour chaque élément de $B$ nécessiterait des propriétés supplémentaires de l’application.

Question 15

15. Une application $f : E \to F$ est injective lorsque quelle condition est satisfaite ?

Deux éléments de

E

ayant la même image sont égaux

Chaque élément de

F

possède exactement un antécédent dans

E

Chaque élément de

F

possède au moins un antécédent dans

E

Deux éléments distincts de

E

peuvent avoir la même image

Explication

L’injectivité signifie que toute égalité $f(x)=f(x')$ entraîne $x=x'$ , ce qui revient à dire qu’un élément de $F$ a au plus un antécédent. La condition d’au moins un antécédent caractérise la surjectivité, pas l’injectivité.

Question 16

16. Comment reconnaître qu’une application $f : E \to F$ est surjective ?

Son image est égale à

F

, donc chaque élément de

F

a un antécédent

Chaque élément de

E

a un antécédent dans

F

Chaque élément de

F

a au plus un antécédent dans

E

Deux éléments distincts de

E

ont des images distinctes

Explication

La surjectivité garantit que tout élément du codomaine $F$ est atteint, autrement dit $f(E)=F$ . L’unicité de l’antécédent décrit l’injectivité et ne suffit pas à assurer que tous les éléments de $F$ sont atteints.

Question 17

17. Dans une application bijective $f : E \to F$ , combien d’antécédents chaque élément de $F$ possède-t-il ?

Au moins un antécédent dans

E

Au plus un antécédent dans

E

Exactement un antécédent dans

E

Un antécédent dans

F

lui-même

Explication

La bijectivité signifie que chaque élément de $F$ possède un antécédent et que cet antécédent est unique. La condition « au moins un » caractérise la surjectivité sans garantir l’unicité.

Question 18

18. Une application $f : E \to F$ est bijective si et seulement si elle possède quelles deux propriétés ?

Elle est injective et surjective

Elle est surjective et chaque élément de son domaine est atteint

Elle est définie sur un ensemble fini et possède une image non vide

Elle est injective et son domaine est égal à son codomaine

Explication

Une application est bijective exactement lorsqu’elle est à la fois injective et surjective. Avoir un domaine égal au codomaine ne garantit pas ces deux propriétés.

Question 19

19. Comment caractérise-t-on une relation binaire $R$ sur un ensemble $E$ ?

Comme une partie de

E

, où

xRy

signifie que

x

appartient à

R

Comme une partie de

E \times E

contenant seulement les couples

(x,x)

Comme une partie de

E \times E

, où

xRy

signifie que

(x,y) \in R

Comme une application de

E

dans

E

associant une valeur à chaque élément

Explication

Une relation binaire sur $E$ est un ensemble de couples ordonnés appartenant à $E \times E$ , et $xRy$ signifie que le couple $(x,y)$ est dans cette partie. Une relation n’est pas nécessairement une application, car un élément peut être lié à plusieurs éléments ou à aucun.

Question 20

20. Quelles propriétés doivent être réunies pour qu’une relation sur $E$ soit une relation d’équivalence ?

La réflexivité, la symétrie et la transitivité

La transitivité, la connexité et l’antisymétrie

La symétrie, l’antisymétrie et la réflexivité

La réflexivité, l’antisymétrie et la transitivité

Explication

Une relation d’équivalence est à la fois réflexive, symétrique et transitive. L’antisymétrie est une propriété associée à d’autres types de relations et ne remplace pas la symétrie requise ici.

Question 21

21. Pour un entier naturel non nul $n$ , que signifie $a \equiv b \ [n]$ ?

La différence

a-b

est strictement inférieure à

n

Il existe un entier

k

tel que

a-b=kn

Il existe un entier naturel

k

tel que

a+b=kn

Les entiers

a

et

b

sont tous deux divisibles par

n

Explication

La congruence de $a$ et $b$ modulo $n$ signifie que leur différence est un multiple entier de $n$ . Le fait que chacun soit divisible par $n$ est une condition plus forte et n’est pas nécessaire pour qu’ils soient congrus.

Question 22

22. Pour une relation d’équivalence R sur E, comment définit-on la classe d’équivalence Cl(x) d’un élément x ?

Comme l’ensemble des classes distinctes de E

Comme l’ensemble des x de E tels que yRx

Comme l’ensemble des éléments de E qui ne sont pas en relation avec x

Comme l’ensemble des y de E tels que xRy

Explication

La classe Cl(x) regroupe précisément les éléments y de E qui sont en relation avec x selon R. L’ensemble des classes distinctes est plutôt l’ensemble quotient, et non une classe particulière.

Question 23

23. Quelle propriété relie les classes d’équivalence d’une relation sur E à une partition de E ?

Elles forment une partition de E, tandis qu’une partition peut aussi définir une relation d’équivalence

Elles forment une partition de E uniquement si toutes les classes ont la même taille

Elles forment une partition de E en conservant des éléments communs entre classes distinctes

Elles forment une partition de E, mais une partition ne peut pas définir une relation d’équivalence

Explication

Les classes d’une relation d’équivalence découpent E en parties disjointes qui le couvrent, et une partition permet aussi de définir une relation d’équivalence. L’idée qu’une partition ne puisse pas définir une telle relation inverse à tort cette correspondance.

Question 24

24. Que désigne l’ensemble quotient de E par une relation d’équivalence R ?

L’ensemble des éléments de E qui forment chacun une classe distincte

L’ensemble des classes d’équivalence de E pour R

L’ensemble des couples d’éléments de E appartenant à R

L’ensemble des éléments de E qui sont en relation avec chaque élément

Explication

L’ensemble quotient rassemble les classes d’équivalence de E pour R. L’ensemble des couples en relation correspond à la relation elle-même, pas à l’ensemble quotient.

Question 25

25. Lorsqu’on divise euclidiennement un entier a par un entier positif n, quelle caractérisation du couple (q, r) est correcte ?

Il est unique, vérifie a = qn + r, avec q entier et 0 ≤ r < n

Il est unique, vérifie a = qn + r, avec r entier et 0 ≤ q < n

Il vérifie a = qn − r, avec q entier et 0 ≤ r < n

Il vérifie a = qn + r, avec q et r entiers tous deux compris entre 0 et n − 1

Explication

La division euclidienne donne un unique couple où le quotient q est entier et le reste r appartient à l’intervalle de 0 à n − 1 inclus. L’inversion des contraintes sur q et r confond le quotient entier avec le reste borné.

Question 26

26. Que désigne l’écriture $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ pour un entier positif n ?

L’ensemble quotient de

\mathbb{Z}

par la congruence modulo n

L’ensemble des entiers de 0 à n − 1 muni de l’addition ordinaire

L’ensemble des multiples de n dans

\mathbb{Z}

L’ensemble des couples d’entiers dont la différence est divisible par n

Explication

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est l’ensemble quotient de $\mathbb{Z}$ associé à la congruence modulo n. Les multiples de n constituent une seule classe, et non l’ensemble quotient entier.

Question 27

27. Combien de classes distinctes contient $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , et quels entiers en donnent une représentation une fois chacune ?

2n classes, représentées par les entiers de −n à n − 1

n classes, représentées par les multiples de n jusqu’à n²

n classes, représentées par les entiers de 0 à n − 1

n + 1 classes, représentées par les entiers de 0 à n

Explication

Il y a exactement n classes modulo n, et les entiers de 0 à n − 1 fournissent un représentant distinct de chacune. Inclure n en plus de cette liste ne crée pas une nouvelle classe, car n est congru à 0 modulo n.

QCM : Ensembles, applications et équivalences (27 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété caractérise les objets réunis dans un ensemble ?

2. Si A est une partie de E, que désigne l’ensemble P(E) ?

3. Si (a, b) appartient à E × F, quelle condition doit être satisfaite ?

4. Quelle notation désigne le produit cartésien E × E lorsque les deux facteurs sont le même ensemble E ?

5. Une famille de parties de E a pour réunion E, mais certaines de ses parties se chevauchent. Comment la caractériser ?

6. Quelles conditions font d’un ensemble de parties de E une partition de E ?

7. Quelle condition distingue une application d’une relation binaire générale entre deux ensembles ?

8. Deux applications ayant le même domaine et les mêmes images en chaque point peuvent-elles être égales si leurs ensembles d’arrivée diffèrent ?

9. Soit $f:E\to F$ et $A\subset E$ . Que fait la restriction de $f$ à $A$ ?

10. Une application $f:E_1\to F$ est prolongée à un ensemble $E$ contenant $E_1$ . Quelle propriété doit vérifier le prolongement $g:E\to F$ ?

11. Si $f:E\to F$ et $g:F\to G$ , comment calcule-t-on $(g\circ f)(x)$ ?

12. Lorsque les domaines et codomaines sont compatibles, quelle égalité exprime l’associativité de la composition ?

13. Pour une application $f : E \to F$ et une partie $A \subset E$ , comment définit-on l’image directe de $A$ ?

14. Pour une application $f : E \to F$ et une partie $B \subset F$ , quel ensemble constitue l’image réciproque de $B$ ?

15. Une application $f : E \to F$ est injective lorsque quelle condition est satisfaite ?

16. Comment reconnaître qu’une application $f : E \to F$ est surjective ?

17. Dans une application bijective $f : E \to F$ , combien d’antécédents chaque élément de $F$ possède-t-il ?

18. Une application $f : E \to F$ est bijective si et seulement si elle possède quelles deux propriétés ?

19. Comment caractérise-t-on une relation binaire $R$ sur un ensemble $E$ ?

20. Quelles propriétés doivent être réunies pour qu’une relation sur $E$ soit une relation d’équivalence ?

21. Pour un entier naturel non nul $n$ , que signifie $a \equiv b \ [n]$ ?

22. Pour une relation d’équivalence R sur E, comment définit-on la classe d’équivalence Cl(x) d’un élément x ?

23. Quelle propriété relie les classes d’équivalence d’une relation sur E à une partition de E ?

24. Que désigne l’ensemble quotient de E par une relation d’équivalence R ?

25. Lorsqu’on divise euclidiennement un entier a par un entier positif n, quelle caractérisation du couple (q, r) est correcte ?

26. Que désigne l’écriture $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ pour un entier positif n ?

27. Combien de classes distinctes contient $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , et quels entiers en donnent une représentation une fois chacune ?

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QCM : Ensembles, applications et équivalences (27 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété caractérise les objets réunis dans un ensemble ?

2. Si A est une partie de E, que désigne l’ensemble P(E) ?

3. Si (a, b) appartient à E × F, quelle condition doit être satisfaite ?

4. Quelle notation désigne le produit cartésien E × E lorsque les deux facteurs sont le même ensemble E ?

5. Une famille de parties de E a pour réunion E, mais certaines de ses parties se chevauchent. Comment la caractériser ?

6. Quelles conditions font d’un ensemble de parties de E une partition de E ?

7. Quelle condition distingue une application d’une relation binaire générale entre deux ensembles ?

8. Deux applications ayant le même domaine et les mêmes images en chaque point peuvent-elles être égales si leurs ensembles d’arrivée diffèrent ?

9. Soit f:E→Ff:E\to Ff:E→F et A⊂EA\subset EA⊂E. Que fait la restriction de fff à AAA ?

10. Une application f:E1→Ff:E_1\to Ff:E1​→F est prolongée à un ensemble EEE contenant E1E_1E1​. Quelle propriété doit vérifier le prolongement g:E→Fg:E\to Fg:E→F ?

11. Si f:E→Ff:E\to Ff:E→F et g:F→Gg:F\to Gg:F→G, comment calcule-t-on (g∘f)(x) (g\circ f)(x) (g∘f)(x) ?

12. Lorsque les domaines et codomaines sont compatibles, quelle égalité exprime l’associativité de la composition ?

13. Pour une application f:E→Ff : E \to Ff:E→F et une partie A⊂EA \subset EA⊂E, comment définit-on l’image directe de AAA ?

14. Pour une application f:E→Ff : E \to Ff:E→F et une partie B⊂FB \subset FB⊂F, quel ensemble constitue l’image réciproque de BBB ?

15. Une application f:E→Ff : E \to Ff:E→F est injective lorsque quelle condition est satisfaite ?

16. Comment reconnaître qu’une application f:E→Ff : E \to Ff:E→F est surjective ?

17. Dans une application bijective f:E→Ff : E \to Ff:E→F, combien d’antécédents chaque élément de FFF possède-t-il ?

18. Une application f:E→Ff : E \to Ff:E→F est bijective si et seulement si elle possède quelles deux propriétés ?

19. Comment caractérise-t-on une relation binaire RRR sur un ensemble EEE ?

20. Quelles propriétés doivent être réunies pour qu’une relation sur EEE soit une relation d’équivalence ?

21. Pour un entier naturel non nul nnn, que signifie a≡b [n]a \equiv b \ [n]a≡b [n] ?

22. Pour une relation d’équivalence R sur E, comment définit-on la classe d’équivalence Cl(x) d’un élément x ?

23. Quelle propriété relie les classes d’équivalence d’une relation sur E à une partition de E ?

24. Que désigne l’ensemble quotient de E par une relation d’équivalence R ?

25. Lorsqu’on divise euclidiennement un entier a par un entier positif n, quelle caractérisation du couple (q, r) est correcte ?

26. Que désigne l’écriture Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}Z/nZ pour un entier positif n ?

27. Combien de classes distinctes contient Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}Z/nZ, et quels entiers en donnent une représentation une fois chacune ?

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9. Soit $f:E\to F$ et $A\subset E$ . Que fait la restriction de $f$ à $A$ ?

10. Une application $f:E_1\to F$ est prolongée à un ensemble $E$ contenant $E_1$ . Quelle propriété doit vérifier le prolongement $g:E\to F$ ?

11. Si $f:E\to F$ et $g:F\to G$ , comment calcule-t-on $(g\circ f)(x)$ ?

13. Pour une application $f : E \to F$ et une partie $A \subset E$ , comment définit-on l’image directe de $A$ ?

14. Pour une application $f : E \to F$ et une partie $B \subset F$ , quel ensemble constitue l’image réciproque de $B$ ?

15. Une application $f : E \to F$ est injective lorsque quelle condition est satisfaite ?

16. Comment reconnaître qu’une application $f : E \to F$ est surjective ?

17. Dans une application bijective $f : E \to F$ , combien d’antécédents chaque élément de $F$ possède-t-il ?

18. Une application $f : E \to F$ est bijective si et seulement si elle possède quelles deux propriétés ?

19. Comment caractérise-t-on une relation binaire $R$ sur un ensemble $E$ ?

20. Quelles propriétés doivent être réunies pour qu’une relation sur $E$ soit une relation d’équivalence ?

21. Pour un entier naturel non nul $n$ , que signifie $a \equiv b \ [n]$ ?

26. Que désigne l’écriture $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ pour un entier positif n ?

27. Combien de classes distinctes contient $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , et quels entiers en donnent une représentation une fois chacune ?