QCM : Fonctions usuelles et intégration (11 questions)

Question 1

1. Si l’on parcourt successivement les segments orientés de $A$ à $B$ puis de $B$ à $C$ , quel vecteur représente le déplacement total ?

\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}

\overrightarrow{CA}

\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}

\overrightarrow{AC}

Explication

La relation de Chasles additionne les vecteurs bout à bout : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ . Le vecteur $\overrightarrow{CA}$ décrit le trajet inverse, et non le déplacement total de $A$ à $C$ .

Answer

$$\overrightarrow{AC}$$

Question 2

2. Quelle est la nature du résultat obtenu en calculant le produit scalaire de deux vecteurs, comparé au produit vectoriel ?

Les deux produits sont des nombres réels.

Les deux produits sont des vecteurs.

Le produit scalaire est un vecteur et le produit vectoriel est un réel.

Le produit scalaire est un réel et le produit vectoriel est un vecteur.

Explication

Le produit scalaire de deux vecteurs donne un nombre réel, alors que leur produit vectoriel donne un vecteur. L’inversion de ces deux résultats est une confusion entre les opérations.

Answer

Le produit scalaire est un réel et le produit vectoriel est un vecteur.

Question 3

3. Comment caractériser les points $M$ d’une droite passant par $A$ et dirigée par un vecteur non nul $\vec{u}$ ?

Ils vérifient

\overrightarrow{AM}=\vec{u}+\vec{v}

pour deux vecteurs fixés.

Ils vérifient

\overrightarrow{AM}=\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}

pour deux réels.

Ils vérifient

\overrightarrow{AM}\cdot\vec{u}=0

pour un réel

\lambda

.

Ils vérifient

\overrightarrow{AM}=\lambda\vec{u}

pour un réel

\lambda

.

Explication

Tout point de cette droite s’obtient depuis $A$ en ajoutant un multiple réel de son vecteur directeur. Une combinaison de deux directions indépendantes caractérise plutôt un plan.

Answer

Ils vérifient $$\overrightarrow{AM}=\lambda\vec{u}$$ pour un réel $$\lambda$$.

Question 4

4. Dans un repère orthonormé, une droite passe par $(2,1)$ et a pour vecteur directeur $(3,2)$ ; quelle condition caractérise l’appartenance du point $(x,y)$ à cette droite ?

-3(x-2)+2(y-1)=0

3(x-2)+2(y-1)=0

-2(x-2)+3(y-1)=0

2(x-2)-3(y-1)=0

Explication

La condition générale est $-t(x-a)+s(y-b)=0$ ; en remplaçant $a=2$ , $b=1$ , $s=3$ et $t=2$ , on obtient l’équation proposée. L’expression $3(x-2)+2(y-1)=0$ utilise le vecteur directeur comme un vecteur normal, ce qui ne convient pas ici.

Answer

$$-2(x-2)+3(y-1)=0$$

Question 5

5. Qu’est-ce qu’une transformation affine sur un espace vectoriel ?

La somme d’une transformation linéaire et d’une transformation constante

Une transformation qui multiplie chaque vecteur par un même scalaire

Une transformation qui ajoute un vecteur constant à chaque vecteur

La composition de deux transformations linéaires de même espace

Explication

Une transformation affine est définie comme la somme d’une transformation linéaire et d’une transformation constante. Une translation correspond à l’ajout d’un vecteur constant, mais cela ne définit pas à lui seul toute transformation affine.

Answer

La somme d’une transformation linéaire et d’une transformation constante

Question 6

6. Pour deux polynômes non nuls de degrés $p$ et $q$ , quel est le degré de leur produit ?

Le plus petit de leurs degrés.

Le plus grand de leurs degrés.

La somme

p+q

de leurs degrés.

Le produit

pq

de leurs degrés.

Explication

Le degré du produit de deux polynômes non nuls est la somme de leurs degrés. En revanche, le maximum des degrés donne une borne supérieure pour le degré d’une somme de polynômes, pas pour leur produit.

Answer

La somme $$p+q$$ de leurs degrés.

Question 7

7. Quel rôle joue la contraposition lorsqu’on cherche à établir une implication logique ?

Elle permet de la démontrer en établissant que sa réciproque est vraie.

Elle permet de la réfuter en montrant que son antécédent est faux.

Elle permet de la remplacer par une conjonction de ses deux énoncés.

Elle permet de la démontrer en établissant que sa négation réciproque est vraie.

Explication

La contraposition permet de prouver l’implication de départ en démontrant que si sa conclusion est fausse, alors son antécédent l’est aussi. La réciproque, qui inverse antécédent et conclusion sans les nier, n’est pas logiquement équivalente à l’implication initiale.

Answer

Elle permet de la démontrer en établissant que sa négation réciproque est vraie.

Question 8

8. Quelle différence distingue l’intersection $A\cap B$ de la réunion $A\cup B$ quant aux éléments qu’elles contiennent ?

L’intersection contient les éléments communs à A et B, tandis que la réunion contient ceux qui appartiennent à au moins l’un des deux ensembles.

L’intersection contient les éléments de B absents de A, tandis que la réunion contient ceux qui appartiennent aux deux ensembles.

L’intersection contient les éléments de A absents de B, tandis que la réunion contient les éléments communs aux deux ensembles.

L’intersection contient les éléments appartenant à au moins l’un des deux ensembles, tandis que la réunion contient ceux qui sont communs à A et B.

Explication

Un élément appartient à l’intersection s’il appartient simultanément à A et à B, alors qu’il appartient à la réunion s’il appartient à au moins l’un des deux. La réunion ne se limite donc pas aux éléments communs, contrairement à l’intersection.

Answer

L’intersection contient les éléments communs à A et B, tandis que la réunion contient ceux qui appartiennent à au moins l’un des deux ensembles.

Question 9

9. Si l’on compose deux applications bijectives $f:A\to B$ et $g:B\to C$ , quelle conséquence en découle pour l’application composée $g\circ f$ ?

Elle est bijective, et sa réciproque est

g^{-1}\circ f^{-1}

.

Elle est injective, mais sa surjectivité dépend des ensembles considérés.

Elle est surjective, mais son injectivité dépend des valeurs de

f

.

Elle est bijective, et sa réciproque est

f^{-1}\circ g^{-1}

.

Explication

La composition de deux bijections est bijective, car elle conserve l’injectivité et la surjectivité, et l’ordre des réciproques s’inverse. L’expression $g^{-1}\circ f^{-1}$ applique les réciproques dans le mauvais ordre pour aller de $C$ vers $A$ .

Answer

Elle est bijective, et sa réciproque est $$f^{-1}\circ g^{-1}$$.

Question 10

10. Pour établir par récurrence que $E(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$ , quelle démarche faut-il suivre ?

Vérifier

E(0)

, puis montrer que

E(n)

entraîne

E(n+1)

pour tout

n

naturel.

Supposer

E(n)

fausse pour un entier, puis en déduire directement que

E(n+1)

est vraie.

Vérifier

E(0)

et

E(1)

, puis montrer que

E(n+1)

entraîne

E(n)

.

Montrer que

E(n)

est vraie pour un entier naturel choisi, puis conclure qu’elle vaut pour tous les entiers.

Explication

La récurrence repose sur une initialisation en $0$ et une étape de propagation de chaque rang $n$ au rang suivant. Vérifier plusieurs premiers rangs ne suffit pas à prouver la propriété pour tous les entiers naturels.

Answer

Vérifier $$E(0)$$, puis montrer que $$E(n)$$ entraîne $$E(n+1)$$ pour tout $$n$$ naturel.

Question 11

11. Une fonction réelle est-elle minorée si l’on peut trouver quel type de réel ?

Un réel supérieur ou égal à toutes les valeurs prises par la fonction

Un réel égal à la limite de la fonction en l’infini

Un réel inférieur ou égal à toutes les valeurs prises par la fonction

Un réel atteint par la fonction en un point de son domaine

Explication

Être minorée signifie qu’il existe un réel qui constitue une borne inférieure de toutes les valeurs de la fonction sur son domaine. Un réel supérieur à toutes ces valeurs correspond plutôt à une majoration.

Answer

Un réel inférieur ou égal à toutes les valeurs prises par la fonction

QCM : Fonctions usuelles et intégration (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Si l’on parcourt successivement les segments orientés de $A$ à $B$ puis de $B$ à $C$ , quel vecteur représente le déplacement total ?

2. Quelle est la nature du résultat obtenu en calculant le produit scalaire de deux vecteurs, comparé au produit vectoriel ?

3. Comment caractériser les points $M$ d’une droite passant par $A$ et dirigée par un vecteur non nul $\vec{u}$ ?

4. Dans un repère orthonormé, une droite passe par $(2,1)$ et a pour vecteur directeur $(3,2)$ ; quelle condition caractérise l’appartenance du point $(x,y)$ à cette droite ?

5. Qu’est-ce qu’une transformation affine sur un espace vectoriel ?

6. Pour deux polynômes non nuls de degrés $p$ et $q$ , quel est le degré de leur produit ?

7. Quel rôle joue la contraposition lorsqu’on cherche à établir une implication logique ?

8. Quelle différence distingue l’intersection $A\cap B$ de la réunion $A\cup B$ quant aux éléments qu’elles contiennent ?

9. Si l’on compose deux applications bijectives $f:A\to B$ et $g:B\to C$ , quelle conséquence en découle pour l’application composée $g\circ f$ ?

10. Pour établir par récurrence que $E(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$ , quelle démarche faut-il suivre ?

11. Une fonction réelle est-elle minorée si l’on peut trouver quel type de réel ?

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QCM : Fonctions usuelles et intégration (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Si l’on parcourt successivement les segments orientés de AAA à BBB puis de BBB à CCC, quel vecteur représente le déplacement total ?

2. Quelle est la nature du résultat obtenu en calculant le produit scalaire de deux vecteurs, comparé au produit vectoriel ?

3. Comment caractériser les points MMM d’une droite passant par AAA et dirigée par un vecteur non nul u⃗\vec{u}u ?

4. Dans un repère orthonormé, une droite passe par (2,1)(2,1)(2,1) et a pour vecteur directeur (3,2)(3,2)(3,2) ; quelle condition caractérise l’appartenance du point (x,y)(x,y)(x,y) à cette droite ?

5. Qu’est-ce qu’une transformation affine sur un espace vectoriel ?

6. Pour deux polynômes non nuls de degrés ppp et qqq, quel est le degré de leur produit ?

7. Quel rôle joue la contraposition lorsqu’on cherche à établir une implication logique ?

8. Quelle différence distingue l’intersection A∩BA\cap BA∩B de la réunion A∪BA\cup BA∪B quant aux éléments qu’elles contiennent ?

9. Si l’on compose deux applications bijectives f:A→Bf:A\to Bf:A→B et g:B→Cg:B\to Cg:B→C, quelle conséquence en découle pour l’application composée g∘fg\circ fg∘f ?

10. Pour établir par récurrence que E(n)E(n)E(n) est vraie pour tout entier naturel nnn, quelle démarche faut-il suivre ?

11. Une fonction réelle est-elle minorée si l’on peut trouver quel type de réel ?

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1. Si l’on parcourt successivement les segments orientés de $A$ à $B$ puis de $B$ à $C$ , quel vecteur représente le déplacement total ?

3. Comment caractériser les points $M$ d’une droite passant par $A$ et dirigée par un vecteur non nul $\vec{u}$ ?

4. Dans un repère orthonormé, une droite passe par $(2,1)$ et a pour vecteur directeur $(3,2)$ ; quelle condition caractérise l’appartenance du point $(x,y)$ à cette droite ?

6. Pour deux polynômes non nuls de degrés $p$ et $q$ , quel est le degré de leur produit ?

8. Quelle différence distingue l’intersection $A\cap B$ de la réunion $A\cup B$ quant aux éléments qu’elles contiennent ?

9. Si l’on compose deux applications bijectives $f:A\to B$ et $g:B\to C$ , quelle conséquence en découle pour l’application composée $g\circ f$ ?

10. Pour établir par récurrence que $E(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$ , quelle démarche faut-il suivre ?