Fiche de révision : Identités remarquables et factorisation

📋 Plan du Cours

1. Identités et égalités toujours vraies
2. Les quatre identités remarquables
3. Démonstration de la première identité
4. Définition et opérations inverses
5. Méthodes et exemples de factorisation

📖 1. Identités et égalités toujours vraies

🔑 Notions clés & Définitions

• Identité : Égalité toujours vraie, quelles que soient les valeurs des variables.

📝 Points essentiels

• L’égalité 2x + 1 = 3 n’est pas une identité, car pour x = 2, son membre gauche vaut 5.

💡 Astuce mémo

Une identité, comme x + x = 2x, reste vraie ; 2x + 1 = 3 échoue pour x = 2.

📖 2. Les quatre identités remarquables

★ À maîtriser

📐 Formule - La première identité remarquable est $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

📐 Formule - La deuxième identité remarquable est $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

📐 Formule - La troisième identité remarquable est $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

📐 Formule - La quatrième identité remarquable est $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$.

Compléments

• Les applications données sont $(2x+3)^2=4x^2+12x+9$, $(x-8)^2=x^2-16x+64$, $(x+8)(x-8)=x^2-64$ et $(x+5)(x+7)=x^2+12x+35$.

📖 3. Démonstration de la première identité

📝 Points essentiels

• La première identité se démontre par double distributivité : $(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2$.

📖 4. Définition et opérations inverses

🔑 Notions clés & Définitions

• Factoriser : Écrire une expression sous la forme d’une multiplication.

📝 Points essentiels

📌 Développer transforme un produit comme $a(b+c)$ en somme, selon $a(b+c)=ab+ac$, tandis que factoriser réécrit une expression sous forme de multiplication.

📖 5. Méthodes et exemples de factorisation

★ À maîtriser

• La mise en évidence consiste à chercher un facteur commun à tous les termes, puis à le mettre en évidence.

• La factorisation à l’aide des identités remarquables consiste à reconnaître un polynôme correspondant à l’une de ces identités pour le réécrire sous forme de produit.

Compléments

• La mise en évidence donne $12x^2+15x=3x(4x+5)$, $12x+8=4(3x+2)$ et $4x^2-10x=2x(2x-5)$.

• Les factorisations remarquables comprennent $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, $x^2-8x+16=(x-4)^2$ et $x^2+6x+8=(x+4)(x+2)$.

• Les exemples supplémentaires sont $x^2-9=(x+3)(x-3)$, $x^2+8x+16=(x+4)^2$ et $x^2-8x+16=(x-4)^2$.