Fiche de révision : Biostatistique et description des variables

📋 Plan du Cours

1. Fondements et objectifs statistiques
2. Population, échantillon et variabilité
3. Types et transformations des variables
4. Effectifs et représentations graphiques
5. Indicateurs de position
6. Dispersion et changement de variable

📖 1. Fondements et objectifs statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique : Consiste à collecter, traiter et interpréter des données, notamment dans les sciences du vivant, la biologie, la médecine, la recherche clinique, l’épidémiologie et la santé publique.
• Épidémiologie : Étudie la répartition des problèmes de santé dans le temps ou l’espace ainsi que les facteurs qui les déterminent.

📝 Points essentiels

📌 Les statistiques descriptives obtiennent des renseignements qualitatifs ou quantitatifs sur une population, tandis que les statistiques inférentielles extrapolent les données d’un échantillon à la population générale et évaluent l’impact d’une intervention.

💡 Astuce mémo

Collecter → traiter → interpréter

📖 2. Population, échantillon et variabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Population : Ensemble, généralement de très grand effectif, sur lequel on cherche à tirer des conclusions.
• Échantillon : Partie de la population ; il est représentatif lorsqu’il est choisi par tirage au sort et biaisé lorsqu’il n’est pas représentatif, rendant les conclusions non généralisables à la population.

★ À maîtriser

• La variabilité des grandeurs biologiques peut être:
  • métrologique
  • inter-individuelle
  • intra-individuelle
  • biologique

Compléments

📌 Les individus ou unités statistiques constituent la population étudiée, tandis que l’unité de mesure correspond à une grandeur comme le kilogramme ou la milliseconde.

💡 Astuce mémo

Population entière ≠ échantillon représentatif

📖 3. Types et transformations des variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire : Objet mathématique qui suit un modèle de probabilité appelé loi de probabilité et qui devient une réalisation lorsqu’elle est observée sur un individu.

★ À maîtriser

📌 Transformer une variable qualitative nominale à deux modalités en variable quantitative discrète {0 ; 1} permet des calculs sans perte d’information, tandis qu’une variable nominale à plus de deux modalités ne permet pas de calcul numérique valide.

📌 Une variable qualitative décrit des modalités ou classes, tandis qu’une variable quantitative prend des valeurs numériques ; une variable quantitative discrète prend des valeurs séparées et une variable quantitative continue peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle.

📌 Une variable qualitative nominale ne possède pas d’ordre, comme fumeur ou non-fumeur, tandis qu’une variable qualitative ordinale possède un ordre, comme faible, moyen ou fort.

Compléments

• Une variable censurée décrit la durée écoulée avant un événement ou jusqu’aux dernières nouvelles concernant l’individu, et une variable binaire code la survenue ou la non-survenue de l’événement par les valeurs {0 ; 1}.

💡 Astuce mémo

Qualitative = catégories ; quantitative = nombres

📖 4. Effectifs et représentations graphiques

📝 Points essentiels

📐 Formule — La fréquence d’une classe vérifie $f_i=\frac{n_i}{n}$, où $n_i$ est son effectif et $n$ l’effectif total ; la somme des fréquences vaut 1, soit 100 %.

📐 Formule — La fonction de répartition vérifie $F(a)=\sum_{x_i\leq a}f_i$ ; elle est continue et croissante, avec $F(x\geq x_{max})=1$ et $F(x<x_{min})=0$.

📌 Pour une variable quantitative continue, les valeurs sont regroupées en classes et l’histogramme représente des rectangles dont les aires sont proportionnelles aux effectifs ou aux fréquences.

📌 Pour une variable qualitative ou quantitative discrète, le diagramme en bâtons représente les valeurs en abscisse et les effectifs ou fréquences en ordonnée.

💡 Astuce mémo

Regrouper les données → choisir la représentation adaptée

📖 5. Indicateurs de position

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiane : Valeur telle que la moitié de l’effectif lui soit inférieure ; pour une variable continue, elle vérifie $F(x)=0{,}5$.
• Mode : Valeur ou classe ayant le plus grand effectif ; une distribution bimodale possède deux modes et peut révéler deux sous-groupes.

★ À maîtriser

📐 Formule — La moyenne arithmétique vérifie $\bar{x}=\frac{\sum n_ix_i}{n}=\sum f_ix_i$ ; pour une variable continue, $x_i$ est remplacé par le centre $v_i$ de l’intervalle.

• Les quartiles sont des percentiles particuliers : $Q_1$ est le 25e percentile, la médiane le 50e percentile et $Q_3$ le 75e percentile.

Compléments

📐 Formule — La moyenne quadratique est la racine de la moyenne des carrés des valeurs et vérifie $\sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n}}$.

💡 Astuce mémo

Moyenne sensible aux extrêmes, médiane résistante

📖 6. Dispersion et changement de variable

★ À maîtriser

• L’étendue vérifie $\mathrm{Max}-\mathrm{min}$ et l’intervalle interquartile vérifie $Q_3-Q_1$.

📐 Formule — La variance vérifie $\mathrm{Var}(x)=s^2=\frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n}=\overline{x^2}-\bar{x}^2$ et s’exprime dans l’unité au carré de la variable.

📐 Formule — L’écart-type vérifie $s=\sqrt{\mathrm{Var}}$ et mesure la dispersion dans la même unité que la variable.

📐 Formule — Pour la transformation $y=ax+b$, on a $\mathrm{Moy}(y)=a\,\mathrm{Moy}(x)+b$, $\mathrm{Var}(y)=a^2\mathrm{Var}(x)$ et $s(y)=|a|s(x)$.

📐 Formule — La variable centrée-réduite vérifie $z=\frac{x-\bar{x}}{s}$, avec $\mathrm{Moy}(z)=0$ et $s(z)=1$.

Compléments

📌 Si la distribution est à peu près symétrique, l’intervalle $[\bar{x}-2s;\bar{x}+2s]$ contient environ 95 % des valeurs.

💡 Astuce mémo

Étendue → quartiles → variance → écart-type

📊 Tableaux de synthèse

Types de variables