Fiche de révision : Mathématiques BTS SIO SISR

📋 Plan du Cours

1. Suites arithmétiques et géométriques
2. Fonctions et dérivation
3. Statistique descriptive
4. Dénombrement et probabilités
5. Matrices et systèmes linéaires
6. Graphes et réseaux
7. Arithmétique et congruences
8. Limites, continuité et fonctions usuelles
9. Statistique et probabilités avancées
10. Markov et cryptographie RSA

📖 1. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : fonction de ℕ dans ℝ, notée (u_n).

★ À maîtriser

📐 Formule — Une suite arithmétique vérifie $u_{n+1}=u_n+r$ et son terme général est $u_n=u_0+nr$.

📐 Formule — La somme des n+1 premiers termes d’une suite arithmétique vaut $S=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$.

📐 Formule — Une suite géométrique vérifie $u_{n+1}=q u_n$ et $u_n=u_0q^n$.

Compléments

📌 Une suite arithmétique est croissante si r>0, décroissante si r<0 et constante si r=0.

📌 Si |q|<1, alors $q^n\to0$ quand n tend vers +∞.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : on ajoute r ; géométrique : on multiplie par q.

📖 2. Fonctions et dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Extremum local : Un extremum local apparaît lorsque la dérivée s’annule et change de signe.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les dérivées usuelles comprennent $\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$, $\left(e^x\right)'=e^x$ et $\left(\ln x\right)'=\frac1x$.

📐 Formule — La dérivée d’un produit vérifie $(uv)'=u'v+uv'$ et celle d’un quotient vérifie $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.

• Pour dresser un tableau de variations, on calcule la dérivée, on étudie son signe, on en déduit les variations, puis on repère les extrema.

💡 Astuce mémo

Signe de la dérivée → variations de la fonction → extrema.

📖 3. Statistique descriptive

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiane : valeur qui partage une série statistique en deux effectifs égaux.

★ À maîtriser

📐 Formule — La moyenne d’une série statistique vaut $\bar{x}=\frac{\sum n_i x_i}{N}$.

📐 Formule — La variance vaut $V=\frac{\sum n_i(x_i-\bar{x})^2}{N}$ et l’écart-type vaut $\sigma=\sqrt V$.

Compléments

📌 Un écart-type faible indique que les valeurs sont regroupées autour de la moyenne, tandis qu’un écart-type élevé indique une forte dispersion.

💡 Astuce mémo

Position situe la série ; dispersion mesure son étalement.

📖 4. Dénombrement et probabilités

📝 Points essentiels

• Le nombre de p-listes avec répétition d’un ensemble à n éléments vaut $n^p$.

📐 Formule — Le nombre d’arrangements sans répétition vaut $A(n,p)=\frac{n!}{(n-p)!}$ et le nombre de combinaisons vaut $C(n,p)=\frac{n!}{p!(n-p)!}$.

📐 Formule — Pour deux événements, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ et $P(\bar A)=1-P(A)$.

📐 Formule — L’espérance d’une variable aléatoire discrète vaut $E(X)=\sum x_iP(X=x_i)$ et sa variance vaut $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$.

💡 Astuce mémo

Arrangement : l’ordre compte ; combinaison : l’ordre ne compte pas.

📖 5. Matrices et systèmes linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice : Une matrice de taille (n,p) possède n lignes et p colonnes.

📝 Points essentiels

📌 Le produit A×B est possible lorsque le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B.

📐 Formule — Pour une matrice 2×2 $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$, $\det(A)=ad-bc$ et, si le déterminant est non nul, $A^{-1}=\frac1{\det(A)}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$.

📐 Formule — Si A est inversible dans le système $AX=B$, alors l’unique solution est $X=A^{-1}B$.

💡 Astuce mémo

Dimensions → produit matriciel → système AX = B → solution.

📖 6. Graphes et réseaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Graphe : ensemble de sommets reliés par des arêtes dans le cas non orienté ou par des arcs dans le cas orienté.
• Graphe connexe : s’il existe une chaîne entre chaque paire de sommets.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Dans une matrice d’adjacence, $M_{i,j}=1$ s’il existe une arête ou un arc entre i et j, et vaut 0 sinon.

• L’algorithme de Dijkstra recherche le plus court chemin dans un graphe dont les poids sont positifs.

💡 Astuce mémo

Un réseau de sommets reliés par des routes, parcouru par Dijkstra.

📖 7. Arithmétique et congruences

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : s’il existe un entier k tel que b=a×k.
• Congruence : signifie que a et b ont le même reste dans la division par n, ou que a-b est un multiple de n.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La division euclidienne s’écrit $a=bq+r$ avec $0\le r<b$.

📐 Formule — L’algorithme d’Euclide utilise $PGCD(a,b)=PGCD(b,a\bmod b)$ jusqu’à obtenir un reste nul.

💡 Astuce mémo

Division euclidienne → PGCD → facteurs premiers → congruences.

📖 8. Limites, continuité et fonctions usuelles

★ À maîtriser

📌 Une fonction est continue en a lorsque $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.

• Si $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell$, la droite y=ℓ est une asymptote horizontale.

📌 Le théorème des valeurs intermédiaires garantit, pour une fonction continue et strictement monotone sur [a,b], l’existence d’une unique solution à f(x)=k lorsque k est compris entre f(a) et f(b).

Compléments

📐 Formule — Les limites usuelles comprennent $\frac1n\to0$, $n^2\to+\infty$ et $q^n\to0$ si |q|<1.

💡 Astuce mémo

Limite décrit le comportement ; continuité exige que limite et valeur coïncident.

📖 9. Statistique et probabilités avancées

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le coefficient de corrélation linéaire vaut $r=\frac{Cov(x,y)}{\sigma_x\sigma_y}$ et appartient à [-1,1].

📐 Formule — La droite de régression de y en x est $y=ax+b$, avec $a=\frac{Cov(x,y)}{V(x)}$ et $b=\bar y-a\bar x$.

📐 Formule — Pour une probabilité conditionnelle, $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ avec P(B)≠0.

📐 Formule — Deux événements A et B sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

📐 Formule — Pour une loi binomiale B(n,p), $P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}$, $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$.

• Pour une loi normale N(μ,σ²), environ 68 % des valeurs se trouvent dans [μ-σ; μ+σ] et environ 95 % dans [μ-2σ; μ+2σ].

💡 Astuce mémo

Corrélation mesure un lien ; régression produit une prévision.

📖 10. Markov et cryptographie RSA

🔑 Notions clés & Définitions

• Graphe probabiliste : graphe orienté et pondéré dont le poids de chaque arc est une probabilité de transition et dont la somme des poids sortant d’un sommet vaut 1.
• État stable : Un état probabiliste P est stable lorsqu’il vérifie $P=PM$ et que la somme de ses composantes vaut 1.

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’évolution d’un état probabiliste suit $P_{n+1}=P_nM$, donc $P_n=P_0M^n$.

• Le chiffrement RSA consiste à choisir p et q premiers, calculer n et φ(n), choisir e premier avec φ(n), calculer d tel que ed≡1 [φ(n)], puis chiffrer c≡m^e [n] et déchiffrer m≡c^d [n].

• La sécurité de RSA repose sur la difficulté de factoriser n=p×q lorsque p et q sont très grands, avec une taille recommandée de 2048 bits ou plus.

💡 Astuce mémo

p,q → n, φ(n) → e → d → chiffrer → déchiffrer.

📊 Tableaux de synthèse

Types de suites

Lois de probabilité usuelles