QCM : Mathématiques BTS SIO SISR — 38 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle relation caractérise une suite arithmétique de raison r ?

u_{n+1}=u_n-r
u_n=u_0q^n
u_{n+1}=u_n+r
u_{n+1}=r u_n

u_{n+1}=u_n+r

Explication

Une suite arithmétique s’obtient en ajoutant une même raison r à chaque terme : u_{n+1}=u_n+r.

2. Une suite arithmétique vérifie u_0=5 et r=3. Quelle est la valeur de u_4 ?

17
20
8
12

17

Explication

Le terme général est u_n=u_0+nr. Ainsi, u_4=5+4×3=17.

3. Quelle expression donne la somme des n+1 premiers termes d’une suite arithmétique ?

S=(n+1)(u_n-u_0)/2
S=(n+1)(u_0+u_n)/2
S=n(u_0+u_n)
S=(u_0+u_n)/(2(n+1))

S=(n+1)(u_0+u_n)/2

Explication

La somme des n+1 premiers termes est S=((n+1)(u_0+u_n))/2.

4. Quelle relation caractérise une suite géométrique de raison q ?

u_{n+1}=u_n-q
u_n=u_0+nq
u_{n+1}=q u_n
u_{n+1}=u_n+q

u_{n+1}=q u_n

Explication

Dans une suite géométrique, chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par q : u_{n+1}=q u_n.

5. Dans quelle situation un point critique correspond-il à un extremum local ?

Lorsque la dérivée s’annule et change de signe
Lorsque la dérivée est positive au voisinage du point
Lorsque la dérivée s’annule sans condition supplémentaire
Lorsque la fonction est définie en ce point

Lorsque la dérivée s’annule et change de signe

Explication

Un extremum local apparaît lorsque la dérivée s’annule et change de signe. Une dérivée nulle seule ne suffit pas.

6. Quelle est la dérivée de la fonction f(x)=ln x, pour x>0 ?

f'(x)=e^x
f'(x)=1/x
f'(x)=ln x
f'(x)=x

f'(x)=1/x

Explication

La dérivée usuelle du logarithme népérien est (ln x)'=1/x pour x>0.

7. Quelle formule permet de dériver le produit de deux fonctions u et v ?

(uv)'=u'v'
(uv)'=u/v
(uv)'=u'v+uv'
(uv)'=u'v-u v'

(uv)'=u'v+uv'

Explication

La règle du produit est (uv)'=u'v+uv'. La soustraction au numérateur concerne la règle du quotient.

8. Quelle démarche permet de dresser correctement le tableau de variations d’une fonction ?

Calculer uniquement les valeurs de la fonction aux bornes de l’intervalle
Calculer la dérivée, étudier son signe, déduire les variations puis repérer les extrema
Étudier la fonction sans dérivée, puis choisir les variations les plus probables
Repérer les extrema, calculer les valeurs, puis ignorer le signe de la dérivée

Calculer la dérivée, étudier son signe, déduire les variations puis repérer les extrema

Explication

On calcule d’abord la dérivée, puis on étudie son signe afin d’en déduire les variations et les éventuels extrema.

9. Une série comporte les valeurs 2 et 5, avec respectivement 3 et 2 occurrences. Quelle est sa moyenne ?

3,5
2,8
4,0
3,2

3,2

Explication

La moyenne pondérée vaut (3×2+2×5)/(3+2)=16/5=3,2.

10. Quelle propriété définit la médiane d’une série statistique ?

Elle mesure la dispersion autour de la moyenne
Elle correspond à la valeur la plus fréquente
Elle correspond toujours à la moyenne des valeurs extrêmes
Elle partage les effectifs en deux groupes égaux

Elle partage les effectifs en deux groupes égaux

Explication

La médiane est la valeur qui partage la série en deux effectifs égaux. La valeur la plus fréquente est le mode.

11. Une série statistique a une variance égale à 25. Quel est son écart-type ?

25
5
12,5
625

5

Explication

L’écart-type est la racine carrée de la variance : σ=√25=5.

12. Combien de p-listes avec répétition peut-on former à partir d’un ensemble de n éléments, en choisissant p positions ?

n+p
n^p
p^n
n!/(n-p)!

n^p

Explication

Chaque position peut être remplie de n façons, et les répétitions sont autorisées. Le nombre total est donc n^p.

13. Quelle expression donne le nombre d’arrangements sans répétition de p éléments parmi n ?

n!/[p!(n-p)!]
n!/(n-p)!
n^p
(n-p)!/n!

n!/(n-p)!

Explication

Un arrangement tient compte de l’ordre et ne permet pas la répétition ; son nombre est A(n,p)=n!/(n-p)!.

14. Deux événements A et B peuvent se produire simultanément. Quelle formule permet de calculer la probabilité de leur union ?

1-P(A∩B)
P(A)P(B)
P(A)+P(B)
P(A)+P(B)-P(A∩B)

P(A)+P(B)-P(A∩B)

Explication

La somme P(A)+P(B) compte deux fois l’intersection. Il faut donc soustraire P(A∩B) pour obtenir P(A∪B).

15. Une variable aléatoire discrète prend les valeurs x_i avec les probabilités P(X=x_i). Quelle expression représente son espérance ?

∑x_i/P(X=x_i)
∑x_iP(X=x_i)
∑P(X=x_i)/x_i
E(X²)-[E(X)]²

∑x_iP(X=x_i)

Explication

L’espérance est la moyenne pondérée des valeurs possibles : E(X)=∑x_iP(X=x_i). L’expression E(X²)-[E(X)]² correspond à la variance.

16. Que signifie qu’une matrice est de taille (n,p) ?

Elle possède n éléments au total.
Elle possède n lignes et p colonnes.
Elle possède n colonnes et p lignes.
Elle est carrée de dimension n+p.

Elle possède n lignes et p colonnes.

Explication

Dans une matrice de taille (n,p), le premier nombre indique le nombre de lignes et le second celui des colonnes.

17. Une matrice A possède 3 colonnes et une matrice B possède 3 lignes. Que peut-on conclure concernant le produit AB ?

Le produit AB est possible uniquement si A et B sont carrées.
Le produit AB est possible uniquement si A et B ont la même taille.
Le produit AB est impossible.
Le produit AB est possible.

Le produit AB est possible.

Explication

Le produit AB est défini lorsque le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B. Ici, ces deux nombres valent 3.

18. Pour la matrice A=((a,b),(c,d)), quelle expression permet de calculer son déterminant ?

ab-cd
ad-bc
ad+bc
ac-bd

ad-bc

Explication

Pour une matrice 2×2, le déterminant est det(A)=ad-bc, obtenu par la différence des produits des diagonales.

19. Dans le système matriciel AX=B, quelle est l’expression de l’unique solution lorsqu'A est inversible ?

X=A+B
X=BA^{-1}
X=A^{-1}B
X=AB^{-1}

X=A^{-1}B

Explication

En multipliant AX=B à gauche par A^{-1}, on obtient X=A^{-1}B. L’inversibilité de A garantit l’unicité de cette solution.

20. Quelle description correspond à un graphe ?

Un ensemble de sommets reliés par des arêtes ou des arcs.
Un ensemble de nombres organisés en lignes et colonnes.
Un ensemble de matrices multipliables entre elles.
Un ensemble de probabilités associées à des événements.

Un ensemble de sommets reliés par des arêtes ou des arcs.

Explication

Un graphe est constitué de sommets et de relations entre eux, représentées par des arêtes dans le cas non orienté ou des arcs dans le cas orienté.

21. À quelle condition un graphe est-il connexe ?

Tous les sommets ont le même degré.
Il existe une chaîne entre chaque paire de sommets.
Chaque sommet possède exactement deux arêtes.
Le graphe contient au moins un cycle.

Il existe une chaîne entre chaque paire de sommets.

Explication

Un graphe est connexe lorsqu’une chaîne relie toute paire de sommets. Les autres propriétés ne sont pas nécessaires à la connexité.

22. Dans une matrice d’adjacence, que signifie la valeur M_{i,j}=0 ?

Le sommet i possède un degré nul.
Il existe une arête ou un arc de i vers j.
Il n’existe pas d’arête ou d’arc entre i et j.
Les sommets i et j sont nécessairement identiques.

Il n’existe pas d’arête ou d’arc entre i et j.

Explication

Dans une matrice d’adjacence, la valeur 1 indique l’existence d’une liaison entre i et j, tandis que 0 indique son absence.

23. Pour quel type de graphe l’algorithme de Dijkstra recherche-t-il le plus court chemin ?

Un graphe dont tous les poids sont négatifs.
Un graphe dont les poids sont positifs.
Un graphe dont les arêtes n’ont jamais de poids.
Un graphe sans sommets.

Un graphe dont les poids sont positifs.

Explication

Dijkstra est conçu pour les graphes à poids positifs. La présence de poids négatifs rend son application inappropriée.

24. Que signifie la notation 4|20 ?

20 est le quotient de 4 par un entier
4 et 20 ont le même reste modulo 20
20 est un multiple de 4
4 est un multiple de 20

20 est un multiple de 4

Explication

La notation 4|20 signifie qu’il existe un entier k tel que 20=4k ; ainsi, 20 est un multiple de 4.

25. Dans la division euclidienne de 47 par 6, quelle écriture est correcte ?

47=7×6+5
47=6×8−1
47=6×5+17
47=6×7+5

47=6×7+5

Explication

On a 47=6×7+5, avec un reste 5 vérifiant 0≤5<6.

26. Quelle étape caractérise l’algorithme d’Euclide pour calculer le PGCD de deux entiers ?

Additionner les deux entiers jusqu’à obtenir un reste nul
Remplacer successivement le plus grand entier par le quotient
Remplacer successivement le couple par le diviseur et le reste
Multiplier les deux entiers par leurs restes successifs

Remplacer successivement le couple par le diviseur et le reste

Explication

L’algorithme utilise PGCD(a,b)=PGCD(b,a mod b), puis poursuit jusqu’à obtenir un reste nul.

27. Laquelle de ces affirmations exprime correctement la congruence 17≡5 [6] ?

5−17 est égal à 6
17+5 est un multiple de 6
17 est un multiple de 5
17−5 est un multiple de 6

17−5 est un multiple de 6

Explication

Deux entiers sont congrus modulo 6 lorsque leur différence est un multiple de 6 ; ici, 17−5=12.

28. Quelle condition caractérise la continuité d’une fonction f en a ?

La fonction possède une asymptote horizontale en a
La dérivée de f en a est nécessairement nulle
La limite de f en a existe, quelle que soit la valeur de f(a)
La limite de f en a est égale à f(a)

La limite de f en a est égale à f(a)

Explication

La fonction est continue en a si et seulement si lim x→a f(x)=f(a). L’existence seule de la limite ne suffit pas.

29. Si lim x→+∞ f(x)=−3, quelle droite est une asymptote horizontale à la courbe de f ?

La droite y=3
La droite x=−3
La droite x=3
La droite y=−3

La droite y=−3

Explication

Lorsque la limite à l’infini vaut ℓ, l’asymptote horizontale est la droite y=ℓ ; ici, il s’agit donc de y=−3.

30. Une fonction continue et strictement monotone sur [a,b] prend-elle une valeur k comprise entre f(a) et f(b) ?

Oui, mais elle peut être atteinte par plusieurs abscisses
Non, car la stricte monotonie empêche toute valeur intermédiaire
Oui, et cette valeur est atteinte par une unique abscisse
Non, sauf si la fonction est dérivable sur [a,b]

Oui, et cette valeur est atteinte par une unique abscisse

Explication

La continuité garantit l’existence d’une solution à f(x)=k, tandis que la stricte monotonie garantit son unicité.

31. Quelle expression définit le coefficient de corrélation linéaire entre x et y ?

r=(x̄−ȳ)/(σx+σy)
r=V(x)V(y)/Cov(x,y)
r=Cov(x,y)/(σxσy)
r=Cov(x,y)/(V(x)+V(y))

r=Cov(x,y)/(σxσy)

Explication

Le coefficient de corrélation est r=Cov(x,y)/(σxσy) et appartient à l’intervalle [−1,1].

32. Pour déterminer la droite de régression de y en x, quelle formule donne son coefficient directeur ?

a=Cov(x,y)/V(y)
a=V(x)/Cov(x,y)
a=Cov(x,y)/V(x)
a=ȳ−x̄

a=Cov(x,y)/V(x)

Explication

La droite de régression de y en x s’écrit y=ax+b, avec a=Cov(x,y)/V(x). Elle sert notamment à prévoir y à partir de x.

33. Si P(B)≠0, comment calcule-t-on la probabilité de A sachant B ?

P_B(A)=P(B)/P(A∩B)
P_B(A)=P(A∪B)/P(B)
P_B(A)=P(A)P(B)
P_B(A)=P(A∩B)/P(B)

P_B(A)=P(A∩B)/P(B)

Explication

La probabilité conditionnelle de A sachant B est P_B(A)=P(A∩B)/P(B), lorsque P(B) est non nulle.

34. Pour une variable aléatoire X suivant une loi binomiale B(n,p), quelle formule donne son espérance ?

E(X)=np(1−p)
E(X)=n+p
E(X)=np
E(X)=p/n

E(X)=np

Explication

Pour une loi binomiale B(n,p), l’espérance vaut E(X)=np ; la variance, elle, vaut np(1−p).

35. Quelle propriété caractérise un graphe probabiliste ?

Les arcs sont pondérés par des nombres entiers positifs
Chaque sommet possède une somme de poids entrants égale à 1
Tous les arcs ont nécessairement le même poids
Chaque sommet possède une somme de poids sortants égale à 1

Chaque sommet possède une somme de poids sortants égale à 1

Explication

Dans un graphe probabiliste, le poids de chaque arc représente une probabilité de transition et la somme des poids sortant de chaque sommet vaut 1. Cette contrainte le distingue d’un graphe pondéré quelconque.

36. Un état initial probabiliste P₀ évolue selon la matrice de transition M. Quelle expression donne l’état à l’étape n ?

Pₙ = P₀Mⁿ
Pₙ = P₀ + nM
Pₙ = P₀M⁻ⁿ
Pₙ = MⁿP₀

Pₙ = P₀Mⁿ

Explication

L’évolution suit Pₙ₊₁ = PₙM, donc, après n étapes, Pₙ = P₀Mⁿ. L’état P₀ désigne bien l’état initial, et non l’état obtenu à l’étape n.

37. Quelle condition définit un état probabiliste stable pour une matrice de transition M ?

Il vérifie P = PM et la somme de ses composantes vaut 1
Il vérifie P = P + M et la somme de ses composantes vaut 0
Il vérifie P = M⁻¹P et toutes ses composantes sont égales
Il vérifie P = MP et toutes ses composantes sont nulles

Il vérifie P = PM et la somme de ses composantes vaut 1

Explication

Un état stable reste inchangé après l’application de la matrice de transition : P = PM. Comme il s’agit d’un état probabiliste, la somme de ses composantes doit également être égale à 1.

38. Quelle étape est indispensable pour construire une clé privée RSA après avoir choisi e ?

Choisir d comme un diviseur de n
Calculer d tel qu'ed ≡ 0 modulo n
Calculer d tel qu'ed ≡ 1 modulo φ(n)
Calculer d tel qu'e + d = φ(n)

Calculer d tel qu'ed ≡ 1 modulo φ(n)

Explication

Après avoir choisi e premier avec φ(n), on calcule d comme son inverse multiplicatif modulo φ(n), c’est-à-dire ed ≡ 1 [φ(n)]. Cette valeur permet ensuite le déchiffrement par m ≡ cᵈ [n].

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Mémorisez les réponses avec 62 flashcards sur Mathématiques BTS SIO SISR.

Qu'est-ce qu'une suite numérique ?

Une fonction de ℕ dans ℝ notée (u_n).

Quelle relation vérifie une suite arithmétique entre u_{n+1} et u_n ?

u_{n+1} = u_n + r.

Quelle est la formule du terme général d'une suite arithmétique ?

u_n = u_0 + nr.

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