Fiche de révision : Biostatistique et lois de probabilité

📋 Plan du Cours

1. Variabilité et fluctuations d’échantillonnage
2. Variables et indices statistiques
3. Lois de probabilité et loi binomiale
4. Loi normale et table centrée réduite
5. Calculs avec une loi normale quelconque
6. Approximation normale et grands échantillons

📖 1. Variabilité et fluctuations d’échantillonnage

★ À maîtriser

• Les observations varient au hasard d’un échantillon à l’autre : ce phénomène constitue les fluctuations d’échantillonnage.

📌 L’intervalle de fluctuation décrit les valeurs attendues d’une statistique entre échantillons, tandis que l’intervalle de confiance encadre une estimation d’un paramètre de population à partir d’un échantillon.

Compléments

• Avec une population où le pourcentage vrai de malades est de 30 %, le pourcentage observé dans un échantillon de 20 sujets est compris entre 15 % et 50 % dans 95 % des échantillons.

• Les comparaisons de moyennes ou de pourcentages observés nécessitent des tests statistiques pour tenir compte des fluctuations d’échantillonnage.

• Les méthodes statistiques raisonnent sur des groupes de sujets, dont la constitution simplifie la réalité par le regroupement de sujets différents et le choix de seuils définissant des catégories.

💡 Astuce mémo

Échantillonnage aléatoire → observations variables → conclusions incertaines

📖 2. Variables et indices statistiques

★ À maîtriser

📌 Les variables qualitatives sont ordinales lorsque leurs modalités ont un ordre, comme le niveau d’étude ou le stade de gravité, et nominales lorsque leurs modalités sont des catégories sans ordre, comme le groupe sanguin ou le sexe.

📌 Les variables quantitatives discrètes prennent des valeurs dénombrables, comme le nombre d’enfants, tandis que les variables quantitatives continues peuvent prendre des valeurs dans un intervalle, comme le poids ou un dosage biologique.

📐 Formule - La moyenne de la population est $\mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i$ et la moyenne d’un échantillon est $m=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$.

Compléments

• Un diagramme en barres représente graphiquement une variable qualitative.

• Un histogramme représente graphiquement une variable quantitative.

📐 Formule - La variance de la population est $\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2$ et la variance d’échantillon est $s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-m)^2$.

📖 3. Lois de probabilité et loi binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de probabilité : Associe une probabilité de survenue à chaque événement possible d’une variable aléatoire.
• Loi binomiale : Décrit le nombre de malades observé dans un échantillon de n sujets lorsque le pourcentage de malades dans la population est π.
• Fonction de répartition : La fonction de répartition d’une variable continue est $F(x)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt$, où f est sa densité de probabilité.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour une variable binomiale de paramètres n et π, la probabilité d’observer k malades est $P(X=k)=\binom{n}{k}\pi^k(1-\pi)^{n-k}$.

📐 Formule - Pour une variable continue de densité f, $P(a\leq X\leq b)=\int_a^b f(t)\,dt$ et $P(X=a)=0$.

📖 4. Loi normale et table centrée réduite

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi normale centrée réduite : Loi normale de moyenne 0 et d’écart-type 1, notée N(0,1).

★ À maîtriser

• Une loi normale est déterminée par deux paramètres : sa moyenne μ et son écart-type σ.

Compléments

• La loi normale est présentée pour plusieurs phénomènes biologiques :
  • la glycémie à jeun
  • la taille des individus d’une population
  • le taux de lymphocytes CD4 dans le sang
  • le chlore urinaire

📐 Formule - La densité d’une loi normale de moyenne μ et d’écart-type σ est $f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$.

• Pour Z suivant une loi normale centrée réduite, P(Z>0,643)=0,260 et P(Z>−1,036)=0,850.

📖 5. Calculs avec une loi normale quelconque

★ À maîtriser

• Pour calculer une probabilité avec une variable normale quelconque, on centre-réduit la variable puis on utilise la table de la loi normale centrée réduite.

Compléments

📐 Formule - Si X suit une loi normale de moyenne μ et d’écart-type σ, alors $U=\frac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite N(0,1).

• Pour un poids de naissance X suivant une loi normale de moyenne 3300 g et d’écart-type 500 g, la probabilité que X soit compris entre 2950 g et 3600 g est 0,485.

📖 6. Approximation normale et grands échantillons

★ À maîtriser

📌 Une variable binomiale X de paramètres n et π peut être approximée par une loi normale de moyenne nπ et de variance nπ(1−π) lorsque nπ≥5 et n(1−π)≥5.

📌 La moyenne d’un échantillon de n variables indépendantes de même loi, de moyenne μ et d’écart-type σ, suit une loi normale de moyenne μ et de variance σ²/n si n≥30 ou si chaque variable suit une loi normale.

Compléments

📐 Formule - Lorsque l’approximation normale d’une proportion échantillonnale P₀ est applicable, sa moyenne est π et sa variance est $\frac{\pi(1-\pi)}{n}$.

• Avec une proportion vraie de malades de 8 % et un échantillon de 200 sujets, la probabilité que la proportion observée dépasse 12 % est de 2 % selon l’approximation normale.

• Pour une proportion vraie de malades de 8 % et un échantillon de 50 sujets, l’approximation normale de la proportion est impossible car nπ=4<5.

• Pour une population d’âge moyen 35 ans et de variance 300 ans², la moyenne d’un échantillon de 50 sujets suit une loi normale de moyenne 35 ans et de variance 6 ans²; la probabilité qu’elle dépasse 32 ans est 0,89.