Fiche de révision : Suites, limites et comparaisons

📋 Plan du Cours

1. Ordre et propriétés des nombres réels
2. Définition et récurrences des suites
3. Linéarisation logarithmique des récurrences
4. Résolution après transformation logarithmique
5. Limites et formes indéterminées
6. Factorisation et conjugaison des racines
7. Convergence et propriétés des suites
8. Variations des suites
9. Stabilité et suites itérées
10. Points fixes et changements homographiques
11. Relations de comparaison des suites
12. Échelles de croissance usuelles
13. Échelles de croissance et décroissance
14. Équivalents usuels près de zéro
15. Limites avec exponentielle et racine
16. Puissances de base proche de un
17. Équivalents et quotients polynomiaux
18. Comparaison et théorème des gendarmes
19. Convergence monotone et suites particulières

📖 1. Ordre et propriétés des nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre rationnel : Réel qui s’écrit sous la forme $\frac{a}{b}$, avec $a\in\mathbb{Z}$ et $b\in\mathbb{N}^*$ ; l’ensemble des rationnels est noté $\mathbb{Q}$.
• Valeur absolue : Pour tout réel $x$, $\max(x,-x)$, soit $x$ si $x\geq0$ et $-x$ si $x<0$ ; la distance entre $x$ et $y$ est $|x-y|$.
• Intervalle : Partie de $\mathbb{R}$ qui contient tout réel situé entre deux quelconques de ses éléments.
• Partie entière : Plus grand entier inférieur ou égal à $x$ ; elle vérifie $\lfloor x\rfloor\leq x<\lfloor x\rfloor+1$, donc $x-1<\lfloor x\rfloor\leq x$.

★ À maîtriser

• Une relation d’ordre est réflexive, antisymétrique et transitive ; elle est totale si, pour tous éléments $x,y$, on a $x\leq y$ ou $y\leq x$.

• Un majorant de $A$ est un élément supérieur ou égal à chacun de ses éléments, tandis qu’un minorant est inférieur ou égal à chacun d’eux ; être majoré ne garantit pas que $A$ ait un maximum.

• Le maximum de $A$ est un majorant qui appartient à $A$ et le minimum est un minorant qui appartient à $A$ ; chacun, s’il existe, est unique.

• Toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure, et toute partie non vide et minorée de $\mathbb{R}$ admet une borne inférieure.

• Tout intervalle non vide et non réduit à un point contient une infinité de rationnels et une infinité d’irrationnels ; ainsi $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ sont denses dans $\mathbb{R}$.

Compléments

• L’inclusion sur $\mathcal{P}(E)$ et la divisibilité sur $\mathbb{N}^*$ sont des exemples de relations d’ordre ; $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$ munis de l’ordre usuel sont totalement ordonnés.

📌 La borne supérieure de $A$ est son plus petit majorant et sa borne inférieure son plus grand minorant ; elles peuvent ne pas appartenir à $A$.

• Pour tout réel $\varepsilon>0$ et tout réel $a$, il existe un entier naturel $n$ tel que $n\varepsilon>a$.

• Pour tout réel $a$, il existe une suite de rationnels convergeant vers $a$ et une suite d’irrationnels convergeant vers $a$.

• Pour tous réels $x,y$, on a $|xy|=|x||y|$ et, si $y\neq0$, $\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|}$.

📐 Formule - Pour tous réels $x,y$, les inégalités triangulaires donnent $|x+y|\leq|x|+|y|$ et $|x-y|\leq|x|+|y|$, ainsi que $\bigl||x|-|y|\bigr|\leq|x+y|$ et $\bigl||x|-|y|\bigr|\leq|x-y|$.

📐 Formule - Pour $\varepsilon>0$, $|x-a|\leq\varepsilon$ équivaut à $a-\varepsilon\leq x\leq a+\varepsilon$, c’est-à-dire à $x\in[a-\varepsilon,a+\varepsilon]$.

💡 Astuce mémo

Maximum et minimum appartiennent à A ; sup et inf peuvent en être extérieurs.

📖 2. Définition et récurrences des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite réelle : Application $u:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ qui associe à chaque entier $n$ le terme $u_n$ ; $u_n$ est le terme de rang $n$ et $(u_n)$ désigne la suite entière.
• Suite extraite : Suite de la forme $(u_{\varphi(n)})$, où $\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ est strictement croissante ; ses indices conservent leur ordre et vérifient $\varphi(n)\geq n$.

★ À maîtriser

📌 Une suite explicite calcule directement chaque terme à partir du rang, tandis qu’une suite récurrente définit les termes à partir des termes précédents et nécessite de préciser les termes initiaux.

📌 Une suite est croissante si $u_{n+1}\geq u_n$, décroissante si $u_{n+1}\leq u_n$, constante si $u_{n+1}=u_n$, et monotone si elle est croissante ou décroissante ; ces propriétés peuvent ne valoir qu’à partir d’un certain rang.

📐 Formule - Une suite arithmétique de raison $r$ vérifie $u_{n+1}=u_n+r$ avec $u_0$ donné, ce qui équivaut à $u_n=u_0+nr$.

📐 Formule - Une suite géométrique de raison $q$ vérifie $u_{n+1}=qu_n$ avec $u_0$ donné, ce qui équivaut à $u_n=u_0q^n$.

• Pour résoudre une récurrence affine $u_{n+1}=au_n+b$ avec $a\neq1$, on cherche le point fixe $L=\frac{b}{1-a}$, puis on pose $v_n=u_n-L$ ; alors $v_{n+1}=av_n$ et $u_n=L+(u_0-L)a^n$.

• Pour établir la probabilité d’un état au rang suivant, on recense les chemins incompatibles qui y conduisent, on multiplie pour chacun la probabilité de départ par la probabilité conditionnelle de transition, puis on additionne les résultats.

📌 Une récurrence linéaire d’ordre 2 s’écrit $au_{n+2}+bu_{n+1}+cu_n=0$ avec $a\neq0$ et deux termes initiaux donnés ; son équation caractéristique est $ar^2+br+c=0$.

📐 Formule - Pour une récurrence linéaire d’ordre 2, deux racines réelles distinctes $r_1,r_2$ donnent $u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n$, une racine double non nulle $r_0$ donne $u_n=(\lambda n+\mu)r_0^n$, et des racines conjuguées $re^{\pm i\theta}$ donnent $u_n=r^n(\lambda\cos(n\theta)+\mu\sin(n\theta))$ ; les constantes sont déterminées par $u_0,u_1$.

Compléments

📌 Une suite est majorée si ses termes sont tous inférieurs ou égaux à une constante, minorée s’ils sont tous supérieurs ou égaux à une constante, bornée s’il existe $C$ tel que $|u_n|\leq C$ pour tout $n$, périodique si $u_{n+p}=u_n$ pour un entier $p\geq1$, et stationnaire si elle est constante à partir d’un rang.

• Si deux suites vérifient $x_{n+1}=5x_n+4y_n$ et $y_{n+1}=4x_n+5y_n$, alors leur différence est conservée : $x_n-y_n=x_0-y_0$.

• Pour résoudre un système de deux suites à l’aide d’un invariant, on exprime d’abord une suite avec l’invariant, on la remplace dans l’autre récurrence, on résout la récurrence obtenue, puis on retrouve la seconde suite.

📐 Formule - Pour une lampe qui conserve son état avec probabilité $\frac45$ et le change avec probabilité $\frac15$ à chaque minute, la probabilité $q_n$ qu’elle soit allumée vérifie $q_{n+1}=\frac35q_n+\frac15$.

• Pour transformer par logarithme une récurrence contenant des produits et des racines, on prouve d’abord que tous les termes sont strictement positifs, on pose $d_n=\ln(c_n)$, on résout la récurrence linéaire obtenue, puis on revient à $c_n=e^{d_n}$.

📖 3. Linéarisation logarithmique des récurrences

📝 Points essentiels

• Pour linéariser une récurrence avec produits et racines, vérifier la positivité des termes, poser $b_n=\ln(a_n)$, appliquer les propriétés du logarithme, puis regrouper les termes et calculer les valeurs initiales.

📐 Formule - Pour $a_{n+2}=\sqrt[3]{a_{n+1}a_n^2}$ et $b_n=\ln(a_n)$, on obtient $3b_{n+2}-b_{n+1}-2b_n=0$, avec $b_0=0$ et $b_1=1$.

💡 Astuce mémo

Positivité, logarithme, linéarisation, valeurs initiales

📖 4. Résolution après transformation logarithmique

★ À maîtriser

• Pour retrouver la suite initiale après linéarisation, résoudre la récurrence de $d_n$ par l’équation caractéristique, déterminer les constantes avec les conditions initiales, puis calculer $c_n=e^{d_n}$.

Compléments

• Pour $4d_{n+2}-3d_{n+1}-d_n=0$, l’équation caractéristique se factorise en $(r-1)(4r+1)=0$ et ses racines distinctes sont $1$ et $-1/4$.

• Avec $d_0=0$ et $d_1=1$, la récurrence précédente donne $d_n=\frac45\left(1-\left(-\frac14\right)^n\right)$, puis $c_n=\exp\left[\frac45\left(1-\left(-\frac14\right)^n\right)\right]$.

💡 Astuce mémo

Équation caractéristique, constantes, exponentielle

📖 5. Limites et formes indéterminées

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence d’une suite : Une suite $(u_n)$ converge vers $\ell\in\mathbb R$ si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $N\in\mathbb N$ tel que, pour tout $n\ge N$, $|u_n-\ell|\le\varepsilon$; on écrit $\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell$.

★ À maîtriser

• Toute suite convergente est bornée, mais la suite $u_n=(-1)^n$, bornée entre $-1$ et $1$, ne converge pas.

Compléments

📌 Une suite qui tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ diverge au sens de la convergence vers un réel.

• Toute suite extraite d’une suite convergente converge vers la même limite; deux suites extraites ayant des limites différentes permettent donc de montrer qu’une suite diverge.

📌 Si $u_n\to\ell$, $v_n\to m$ et $u_n\le v_n$ à partir d’un certain rang, alors $\ell\le m$, sans garantie que $\ell<m$.

📖 6. Factorisation et conjugaison des racines

★ À maîtriser

• Pour calculer une limite avec une racine dont le contenu tend vers l’infini, extraire la plus grande puissance de $n$ sous la racine, simplifier les puissances, puis calculer les limites des facteurs.

• Pour lever une différence de racines de forme indéterminée, multiplier et diviser par le conjugué, utiliser $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, puis factoriser et passer à la limite.

Compléments

📌 Pour $n>0$, $\sqrt{n^{2m}A_n}=n^m\sqrt{A_n}$ lorsque cette factorisation est définie.

• La limite de $\sqrt{9n^2+6n}-3n$ vaut $1$, car la conjugaison donne un quotient dont le numérateur est $6n$ et le dénominateur, après division par $n$, tend vers $6$.

💡 Astuce mémo

Factoriser sous la racine transforme un quotient ; conjuguer transforme une différence

📖 7. Convergence et propriétés des suites

📝 Points essentiels

• Si $\alpha>0$, alors $n^\alpha\to+\infty$ et $1/n^\alpha\to0$; pour une suite géométrique, $q^n\to0$ si $|q|<1$ et $q^n\to+\infty$ si $q>1$.

💡 Astuce mémo

Convergente implique bornée, mais bornée n’implique pas convergente

📖 8. Variations des suites

★ À maîtriser

📌 L’étude du signe de $u_{n+1}-u_n$ détermine les variations : un signe positif donne la croissance, un signe négatif la décroissance, et un signe strict donne la monotonie stricte correspondante.

Compléments

📌 Si $u_n>0$, étudier $u_{n+1}/u_n$ permet de conclure à la croissance lorsque le quotient est supérieur ou égal à $1$, et à la décroissance lorsqu’il est inférieur ou égal à $1$.

• Pour une suite définie par récurrence, ses variations peuvent se démontrer par récurrence en établissant $u_{n+1}\ge u_n$ ou l’inégalité opposée.

📖 9. Stabilité et suites itérées

🔑 Notions clés & Définitions

• Stabilité par une fonction : Un ensemble $J\subseteq I$ est stable par $f$ si, pour tout $x\in J$, $f(x)\in J$.

★ À maîtriser

📌 Si $I$ est stable par $f$ et $u_0\in I$, alors tous les termes de la suite $u_{n+1}=f(u_n)$ sont définis dans $I$.

Compléments

• Pour prouver qu’un intervalle est stable, vérifier que $f$ y est définie et que $u_0$ appartient à l’intervalle, déterminer les variations de $f$, encadrer ses images aux extrémités, puis montrer que $f(I)\subseteq I$.

💡 Astuce mémo

Stabilité de l’intervalle, premier pas, récurrence de monotonie

📖 10. Points fixes et changements homographiques

★ À maîtriser

📌 Si $f$ est croissante sur un intervalle stable, la suite $u_{n+1}=f(u_n)$ est monotone : elle est croissante si $u_1\ge u_0$ et décroissante si $u_1\le u_0$.

📌 Si $u_{n+1}=f(u_n)$ converge vers $\ell$, si $\ell$ appartient au domaine de $f$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $f(\ell)=\ell$; l’existence d’un point fixe ne suffit pas à prouver la convergence.

Compléments

📌 Si $f$ est décroissante sur un intervalle stable, les suites extraites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont monotones en sens contraires, car $f\circ f$ est croissante.

• Pour $f(x)=1-x$ et $u_0=0$, la suite alterne entre $0$ et $1$ et diverge, bien que $f$ possède le point fixe $1/2$.

• Pour transformer une récurrence rationnelle en récurrence géométrique, vérifier les dénominateurs, calculer les expressions transformées autour des points choisis, former leur quotient, puis utiliser le premier terme pour expliciter la suite géométrique.

• À partir de $v_n=(u_n-a)/(u_n+a)$, on isole $u_n$ en obtenant $u_n=a(1+v_n)/(1-v_n)$, puis on remplace $v_n$ par sa formule explicite.

📖 11. Relations de comparaison des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite dominée : La relation $u_n=O(v_n)$ signifie qu’il existe $M\ge0$ et un rang $N$ tels que, pour tout $n\ge N$, $|u_n|\le M|v_n|$.
• Suite négligeable : La relation $u_n=o(v_n)$ équivaut à $u_n/v_n\to0$, lorsque $v_n\ne0$ à partir d’un certain rang.

📝 Points essentiels

📌 Deux suites équivalentes ont le même signe à partir d’un certain rang et, si elles ont une limite, elles ont la même limite; on peut substituer un équivalent dans un produit ou un quotient, mais pas en général dans une somme ou une différence.

📌 Si $u_n\sim v_n$, alors $v_n=u_n+o(u_n)$; les équivalents se multiplient, mais ne se soustraient pas terme à terme en général.

📖 12. Échelles de croissance usuelles

★ À maîtriser

• Pour $\alpha,\beta>0$ et $a>1$, $(\ln n)^\beta=o(n^\alpha)$ et $a^n=o(n!)$, tandis que $n!=o(n^n)$.

• Pour $\alpha>0$ et $a>1$, $n^\alpha=o(a^n)$; de même, si $0<a<b$, alors $a^n=o(b^n)$.

• Comme $(\ln n)^2=o(\sqrt n)$ et $\sqrt n/(\sqrt n+1)\to1$, on a $\frac{(\ln n)^2}{\sqrt n+1}\to0$.

Compléments

• Pour $\alpha<\beta$, on a $n^\alpha=o(n^\beta)$.

📌 Si $u_n>0$ et si $u_{n+1}/u_n\le\alpha$ à partir d’un certain rang, avec $\alpha>0$, alors $u_n=O(\alpha^n)$; si $0<\alpha<1$, alors $u_n\to0$.

💡 Astuce mémo

Logarithmes, puissances, exponentielles, factorielles : croissance croissante

📖 13. Échelles de croissance et décroissance

★ À maîtriser

• Pour $\alpha,\beta>0$ et $a>1$, les vitesses de croissance vérifient $(\ln n)^\beta=o(n^\alpha)$, $a^n=o(n!)$ et $n!=o(n^n)$.

Compléments

• Pour les suites positives réciproques, l’ordre des vitesses de convergence vers zéro est l’inverse de celui des vitesses de divergence vers l’infini : $\frac1{n^n}=o\!\left(\frac1{n!}\right)=o\!\left(\frac1{a^n}\right)=o\!\left(\frac1{n^\alpha}\right)=o\!\left(\frac1{(\ln n)^\beta}\right)$.

📖 14. Équivalents usuels près de zéro

★ À maîtriser

• Lorsque $x\to0$ avec $x\ne0$, on a $\sin x\sim x$, $\tan x\sim x$ et $\ln(1+x)\sim x$.

• Lorsque $x\to0$ avec $x\ne0$, on a $\cos x-1\sim-\frac{x^2}{2}$ et $e^x-1\sim x$.

• Pour traiter une limite contenant $\sin(x_n)$ avec $x_n\to0$ et un facteur croissant, on fait apparaître $\sin(x_n)/x_n\to1$ en multipliant et divisant par $x_n$, puis on calcule le facteur restant.

Compléments

• Pour $\alpha\in\mathbb R\setminus\{0\}$, $(1+x)^\alpha-1\sim\alpha x$ lorsque $x\to0$; pour $\alpha=0$, l’expression est identiquement nulle et l’équivalence par quotient n’est pas définie.

• Pour calculer une limite de la forme $k_n\ln(R_n)$ lorsque $R_n\to1$, on écrit $R_n=1+x_n$, on fait apparaître $\ln(1+x_n)/x_n\to1$, puis on étudie $k_nx_n$.

📖 15. Limites avec exponentielle et racine

★ À maîtriser

• Pour traiter $k_n(\sqrt{1+x_n}-1)$ avec $x_n\to0$, on multiplie par le conjugué et on utilise $(\sqrt{1+x_n}-1)(\sqrt{1+x_n}+1)=x_n$.

Compléments

• La rationalisation donne $n\left(\sqrt{1+\frac4n}-1\right)=\frac4{\sqrt{1+4/n}+1}$, donc la limite vaut $2$.

📖 16. Puissances de base proche de un

★ À maîtriser

• Pour calculer la limite de $A_n=(1+x_n)^{k_n}$ avec $x_n\to0$ et $k_n\to+\infty$, on vérifie que la base est positive, on étudie $\ln A_n=k_n\ln(1+x_n)$, puis on revient à $A_n$ par continuité de l’exponentielle.

Compléments

• Une base qui tend vers $1$ élevée à un exposant qui tend vers $+\infty$ forme une indétermination de type $1^{+\infty}$ et ne permet pas de conclure que la puissance tend vers $1$.

💡 Astuce mémo

Réécrire la base, prendre le logarithme, revenir par l’exponentielle.

📖 17. Équivalents et quotients polynomiaux

★ À maîtriser

• Pour $m\ge0$ et $a_m\ne0$, le polynôme $a_0+a_1n+\cdots+a_mn^m$ vérifie $a_0+a_1n+\cdots+a_mn^m\sim a_mn^m$ lorsque $n\to+\infty$.

• Pour calculer une limite de quotient de polynômes à l’infini, on divise le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de $n$ présente, puis on passe à la limite si le dénominateur limite est non nul.

Compléments

• En divisant $\frac{2n^3+4n}{5n^3-1}$ par $n^3$ au numérateur et au dénominateur, on obtient $\frac{2+4/n^2}{5-1/n^3}\to\frac25$.

💡 Astuce mémo

Diviser chaque terme par la plus haute puissance de n fait apparaître les termes dominants.

📖 18. Comparaison et théorème des gendarmes

★ À maîtriser

📌 Si $u_n\ge v_n$ à partir d’un certain rang et si $v_n\to+\infty$, alors $u_n\to+\infty$.

📌 Si $v_n\le u_n\le w_n$ à partir d’un certain rang et si $v_n\to\ell$ et $w_n\to\ell$, alors $u_n\to\ell$.

Compléments

• Pour tout entier $n$, $-1\le\sin n\le1$ et $-1\le\cos n\le1$.

💡 Astuce mémo

Une seule borne divergente suffit pour +∞ ; deux bornes de même limite encadrent une limite finie.

📖 19. Convergence monotone et suites particulières

🔑 Notions clés & Définitions

• Suites adjacentes : Deux suites dont la première est croissante, la seconde décroissante et la différence tend vers zéro.

★ À maîtriser

📌 Toute suite croissante et majorée converge vers sa borne supérieure, et toute suite décroissante et minorée converge vers sa borne inférieure.

• Pour une suite définie par $u_{n+1}=f(u_n)$, on démontre d’abord sa convergence, puis, si $f$ est continue, on résout $\ell=f(\ell)$ et on retient les solutions compatibles avec l’intervalle de la suite.

📌 De toute suite réelle bornée, on peut extraire une suite convergente, mais ce théorème ne garantit pas que la suite entière converge.

Compléments

• La suite définie par $z_0=1$ et $z_{n+1}=(2z_n+3)/(z_n+2)$, connue croissante et à valeurs dans $[1{,}2]$, converge vers $\sqrt3$.

📌 Toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$, et toute suite décroissante non minorée tend vers $-\infty$.

• Deux suites adjacentes convergent vers la même limite $\ell$, située entre leurs termes : $u_n\le\ell\le v_n$ pour tout $n$.