QCM : Suites, limites et comparaisons (39 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété caractérise un nombre rationnel parmi les réels ?

Il possède une écriture décimale finie et le quotient de deux entiers.
Il s’écrit comme le quotient de deux entiers naturels non nuls.
Il s’écrit comme le quotient d’un entier par un entier naturel non nul.
Il s’écrit comme le quotient d’un entier par un entier naturel quelconque.

Il s’écrit comme le quotient d’un entier par un entier naturel non nul.

Explication

Un rationnel est un réel de la forme ab\frac{a}{b} avec a∈Za\in\mathbb{Z} et b∈N∗b\in\mathbb{N}^*. Une écriture décimale finie n’est pas requise, le dénominateur ne peut pas être nul et le numérateur peut être négatif.

2. Sur un ensemble ordonné, quelle condition supplémentaire rend l’ordre total ?

Chaque élément est comparable à lui-même.
La comparaison se transmet d’un élément au suivant.
Toute paire d’éléments est comparable dans au moins un sens.
Deux éléments comparables dans les deux sens sont égaux.

Toute paire d’éléments est comparable dans au moins un sens.

Explication

Un ordre total exige que, pour toute paire x,yx,y, on ait x≤yx\leq y ou y≤xy\leq x. La réflexivité, l’antisymétrie et la transitivité sont les propriétés d’un ordre, mais chacune prise séparément ne garantit pas la comparabilité de toute paire.

3. Pour A=]0,1[A=]0,1[, quelle affirmation décrit correctement le nombre 11 par rapport à cet ensemble ?

C’est un maximum de AA, car il borne ses éléments.
C’est un majorant de AA, sans appartenir à AA.
C’est un minorant de AA, car il borne ses éléments.
C’est un élément de AA qui est aussi son majorant.

C’est un majorant de $$A$$, sans appartenir à $$A$$.

Explication

Un majorant est supérieur ou égal à chacun des éléments de l’ensemble, sans devoir appartenir à celui-ci. Ici, 11 borne ]0,1[]0,1[ par le haut, mais n’est ni un élément ni un maximum de cet intervalle.

4. Un ensemble réel AA est non vide et minoré, mais aucune borne inférieure n’est indiquée. Que peut-on conclure de la propriété de complétude de R\mathbb{R} ?

A possède une borne inférieure seulement s’il est aussi majoré.
A possède une borne inférieure dans R\mathbb{R}.
A possède un minimum appartenant à AA.
A possède une borne supérieure dans R\mathbb{R}.

A possède une borne inférieure dans $$\mathbb{R}$$.

Explication

Toute partie non vide de R\mathbb{R} qui est minorée admet une borne inférieure. La minoration n’implique pas une majoration, et l’existence d’une borne inférieure ne signifie pas que l’ensemble possède un minimum.

5. Une application u:N→Ru:\mathbb{N}\to\mathbb{R} associe à chaque entier nn le réel unu_n. Que désigne unu_n ?

Le rang associé à un terme réel.
L’ensemble des valeurs possibles de la suite.
La suite entière indexée par les entiers naturels.
Le terme de rang nn de la suite.

Le terme de rang $$n$$ de la suite.

Explication

Dans une suite réelle, unu_n désigne le terme de rang nn, tandis que (un)(u_n) désigne la suite entière. L’entier nn est l’indice, et R\mathbb{R} est l’ensemble d’arrivée.

6. Une suite est définie par u0=5u_0=5 et un+1=2un+1u_{n+1}=2u_n+1. De quel type de définition s’agit-il, et quelle donnée permet de commencer le calcul ?

Une définition récurrente, avec le rang initial n=5n=5.
Une définition récurrente, avec le terme initial u0=5u_0=5.
Une définition explicite, avec la raison 22.
Une définition explicite, avec le terme initial u0=5u_0=5.

Une définition récurrente, avec le terme initial $$u_0=5$$.

Explication

La relation calcule chaque terme à partir du terme précédent : la suite est donc définie par récurrence. Le terme initial u0=5u_0=5 est nécessaire pour amorcer les calculs; la relation n’est pas une formule explicite en fonction directe de nn.

7. Une suite arithmétique vérifie u0=7u_0=7 et a pour raison r=−2r=-2. Quelle est la valeur de u4u_4 ?

−1-1
1515
55
112112

$$-1$$

Explication

Pour une suite arithmétique, un=u0+nru_n=u_0+nr. Ainsi, u4=7+4×(−2)=−1u_4=7+4\times(-2)=-1; 112112 résulte d’une multiplication répétée, tandis que les autres valeurs correspondent à une mauvaise prise en compte du rang ou du signe.

8. Une suite vérifie un+1=2un+3u_{n+1}=2u_n+3 et u0=1u_0=1. Quelle formule explicite obtient-on en utilisant le point fixe de cette récurrence affine ?

un=−3+4⋅2nu_n=-3+4\cdot 2^n
un=3+2nu_n=3+2^n
un=1+3nu_n=1+3n
un=3+4⋅2nu_n=3+4\cdot 2^n

$$u_n=-3+4\cdot 2^n$$

Explication

Le point fixe vaut L=31−2=−3L=\frac{3}{1-2}=-3. Alors un=L+(u0−L)2n=−3+4⋅2nu_n=L+(u_0-L)2^n=-3+4\cdot2^n; 32−1\frac{3}{2-1} donne le mauvais signe, et la formule arithmétique ne convient pas à cette récurrence multiplicative après décalage.

9. Une suite positive vérifie une récurrence contenant un produit de termes et une racine. Quelle démarche permet d’obtenir une récurrence linéaire pour ses logarithmes ?

Vérifier la positivité, poser bn=ln⁡(an)b_n=\ln(a_n), appliquer les propriétés du logarithme, puis regrouper et calculer les valeurs initiales.
Vérifier la positivité, poser bn=ln⁡(an)b_n=\ln(a_n), appliquer les propriétés du logarithme, puis omettre les valeurs initiales.
Poser bn=ln⁡(an)b_n=\ln(a_n) sans vérifier les signes, développer les produits, puis choisir les valeurs initiales.
Vérifier la positivité, poser bn=ln⁡(an)b_n=\ln(a_n), conserver les produits, puis regrouper et calculer les valeurs initiales.

Vérifier la positivité, poser $$b_n=\ln(a_n)$$, appliquer les propriétés du logarithme, puis regrouper et calculer les valeurs initiales.

Explication

La transformation exige d’abord que les termes soient positifs, puis le logarithme transforme produits et puissances avant le regroupement; les valeurs initiales doivent aussi être calculées. Poser le logarithme sans vérifier les signes néglige son domaine, conserver les produits manque la linéarisation, et omettre les valeurs initiales laisse la récurrence incomplètement spécifiée.

10. Pour une suite positive vérifiant an+2=an+1an23a_{n+2}=\sqrt[3]{a_{n+1}a_n^2}, on pose bn=ln⁡(an)b_n=\ln(a_n) avec b0=0b_0=0 et b1=1b_1=1. Quelle récurrence vérifie bnb_n ?

bn+2−bn+1−2bn=0b_{n+2}-b_{n+1}-2b_n=0, avec b0=0b_0=0 et b1=1b_1=1
3bn+2+bn+1−2bn=03b_{n+2}+b_{n+1}-2b_n=0, avec b0=0b_0=0 et b1=1b_1=1
3bn+2−2bn+1−bn=03b_{n+2}-2b_{n+1}-b_n=0, avec b0=0b_0=0 et b1=1b_1=1
3bn+2−bn+1−2bn=03b_{n+2}-b_{n+1}-2b_n=0, avec b0=0b_0=0 et b1=1b_1=1

$$3b_{n+2}-b_{n+1}-2b_n=0$$, avec $$b_0=0$$ et $$b_1=1$$

Explication

En prenant le logarithme, la racine cubique donne bn+2=13(bn+1+2bn)b_{n+2}=\frac13(b_{n+1}+2b_n), d’où 3bn+2−bn+1−2bn=03b_{n+2}-b_{n+1}-2b_n=0. L’équation sans facteur trois oublie l’exposant de la racine; les autres confondent les exposants des termes ou le signe obtenu par regroupement.

11. Quelle condition caractérise la convergence d’une suite (un) (u_n) vers un réel ℓ\ell ?

À partir d’un rang, on a un=ℓu_n=\ell pour tout indice.
Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe un rang à partir duquel ∣un−ℓ∣≤ε|u_n-\ell|\le\varepsilon.
Il existe un ε>0\varepsilon>0 tel que, pour tout rang, ∣un−ℓ∣≤ε|u_n-\ell|\le\varepsilon.
Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe un rang à partir duquel ∣un−ℓ∣≥ε|u_n-\ell|\ge\varepsilon.

Pour tout $$\varepsilon>0$$, il existe un rang à partir duquel $$|u_n-\ell|\le\varepsilon$$.

Explication

La convergence signifie que les termes finissent par être à une distance de ℓ\ell inférieure à tout seuil positif choisi. Un seuil fixe ne suffit pas, l’égalité à partir d’un rang est trop exigeante, et une distance supérieure au seuil inverse la condition.

12. Une suite est bornée entre −2-2 et 22, mais ses termes pairs valent 11 et ses termes impairs valent −1-1. Quelle conclusion peut-on tirer ?

Elle est bornée, mais elle ne converge pas.
Elle diverge vers +∞+\infty, car ses termes changent.
Elle converge vers 00, la moyenne des deux valeurs.
Elle converge vers 11, car cette valeur apparaît à indices pairs.

Elle est bornée, mais elle ne converge pas.

Explication

Une suite convergente est bornée, mais une suite bornée n’est pas nécessairement convergente; ici, les termes oscillent entre deux valeurs distinctes. La moyenne des valeurs ne constitue pas la limite, et l’oscillation n’est pas une divergence vers l’infini.

13. Pour déterminer la limite de n6+2n2n2\frac{\sqrt{n^6+2n^2}}{n^2} lorsque n→+∞n\to+\infty, quelle transformation prépare correctement le calcul ?

Écrire n2n2+2/n2n2=n2+2/n2\frac{n^2\sqrt{n^2+2/n^2}}{n^2}=\sqrt{n^2+2/n^2}.
Écrire n31+2/n4n2=n1+2/n4\frac{n^3\sqrt{1+2/n^4}}{n^2}=n\sqrt{1+2/n^4}.
Écrire n31+2/n4n2=1+2/n4\frac{n^3\sqrt{1+2/n^4}}{n^2}=\sqrt{1+2/n^4}.
Écrire n6+2n2n2(n6+2n2+n3)\frac{n^6+2n^2}{n^2\bigl(\sqrt{n^6+2n^2}+n^3\bigr)}.

Écrire $$\frac{n^3\sqrt{1+2/n^4}}{n^2}=n\sqrt{1+2/n^4}$$.

Explication

On extrait la plus grande puissance sous la racine : n6+2n2=n31+2/n4\sqrt{n^6+2n^2}=n^3\sqrt{1+2/n^4} pour n>0n>0, puis on simplifie par n2n^2. La factorisation avec n2n^2 sous la racine est incorrecte, la simplification proposée ensuite omet le facteur nn, et le quotient avec le conjugué traite un autre type d’expression.

14. Pour calculer lim⁡n→+∞(16n2+3n−4n)\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{16n^2+3n}-4n\right), quelle démarche permet de lever la forme indéterminée ?

Développer (16n2+3n−4n)2\left(\sqrt{16n^2+3n}-4n\right)^2, puis prendre sa racine.
Multiplier et diviser par 16n2+3n−4n\sqrt{16n^2+3n}-4n, puis utiliser la somme des carrés.
Multiplier et diviser par 16n2+3n+4n\sqrt{16n^2+3n}+4n, puis utiliser la différence des carrés.
Remplacer la différence par 16n2+3n+16n2\sqrt{16n^2+3n+16n^2}, puis calculer la limite.

Multiplier et diviser par $$\sqrt{16n^2+3n}+4n$$, puis utiliser la différence des carrés.

Explication

Le conjugué transforme la différence en quotient dont le numérateur est 16n2+3n−(4n)2=3n16n^2+3n-(4n)^2=3n, ce qui permet ensuite de factoriser et d’étudier la limite. Le conjugué avec une différence ne supprime pas la racine par différence des carrés, et regrouper ou mettre au carré les termes ne rationalise pas correctement l’expression.

15. Pour chaque entier naturel nn, on définit an=n3/2a_n=n^{3/2} et bn=(−23)nb_n=\left(-\frac{2}{3}\right)^n. Vers quelles limites convergent respectivement ces deux suites lorsque nn tend vers l’infini ?

Vers 00 et vers 00
Vers +∞+\infty et vers +∞+\infty
Vers 00 et vers +∞+\infty
Vers +∞+\infty et vers 00

Vers $$+\infty$$ et vers $$0$$

Explication

Une puissance nαn^\alpha avec α>0\alpha>0 tend vers +∞+\infty, tandis qu’une suite géométrique tend vers 00 lorsque la valeur absolue de son rapport est inférieure à 11. La limite nulle pour n3/2n^{3/2} inverse la première règle, et +∞+\infty pour la suite géométrique confond un rapport négatif de valeur absolue inférieure à 11 avec un rapport supérieur à 11.

16. Une suite (un) (u_n) vérifie un+1−un=1n+1u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+1} pour tout entier naturel nn. Que peut-on conclure de ses variations ?

Elle est strictement décroissante
Elle est strictement croissante
Elle est croissante sans être nécessairement strictement croissante
Elle est décroissante sans être nécessairement strictement décroissante

Elle est strictement croissante

Explication

La différence un+1−unu_{n+1}-u_n est strictement positive pour chaque nn, ce qui établit la croissance stricte. La décroissance inverse le signe de la différence, tandis que les conclusions non strictes ne tiennent pas compte du fait que la différence est strictement positive.

17. Une suite (vn) (v_n) est strictement positive et vérifie vn+1vn=n+2n+1\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{n+2}{n+1} pour tout entier naturel nn. Que peut-on conclure de ses variations à l’aide du quotient ?

Elle est strictement croissante
Elle est décroissante
Elle est constante
Elle est strictement décroissante

Elle est strictement croissante

Explication

Pour tout entier naturel nn, le quotient n+2n+1\frac{n+2}{n+1} est strictement supérieur à 11; comme les termes sont positifs, la suite est donc strictement croissante. Un quotient inférieur à 11 indiquerait une décroissance, l’égalité à 11 une constance au rang concerné, et le quotient donné n’est pas inférieur à 11.

18. Pour l’intervalle J=[1,4]J=[1,4], quelle condition définit la stabilité de JJ par une fonction ff ?

La fonction ff est définie en chaque point de JJ
Pour tout x∈Jx\in J, f(x)=xf(x)=x
Pour tout x∈Jx\in J, f(x)∈Jf(x)\in J
Il existe un x∈Jx\in J tel que f(x)∈Jf(x)\in J

Pour tout $$x\in J$$, $$f(x)\in J$$

Explication

La stabilité signifie que l’image de chaque élément de JJ appartient encore à JJ. Le fait que ff soit définie sur JJ ne garantit pas que ses images restent dans cet intervalle, et la condition ne demande pas que les points soient fixes.

19. Une fonction ff envoie chaque élément de l’intervalle II dans II, et une suite vérifie un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) avec u0∈Iu_0\in I. Que peut-on conclure sur ses termes ?

Seul le terme initial est garanti dans II
La suite atteint nécessairement un point fixe de ff
Tous les termes sont définis et appartiennent à II
La suite converge vers un élément de II

Tous les termes sont définis et appartiennent à $$I$$

Explication

La stabilité de II permet d’appliquer la récurrence à chaque terme : si un∈Iu_n\in I, alors un+1=f(un)∈Iu_{n+1}=f(u_n)\in I, donc tous les termes sont définis dans II. La stabilité n’établit pas à elle seule la convergence ni l’existence d’un terme fixe atteint.

20. Une fonction ff est croissante sur un intervalle stable, et une suite y est définie par un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n). Si u0=2u_0=2 et u1=5u_1=5, quel est le sens de variation de la suite ?

Elle est décroissante
Ses termes pairs et impairs varient en sens contraires
Elle est croissante
Son sens de variation ne peut pas être déterminé

Elle est croissante

Explication

Pour une fonction croissante sur un intervalle stable, le premier pas détermine la monotonie : comme u1≥u0u_1\ge u_0, la suite est croissante. L’alternance de monotonie des sous-suites concerne le cas d’une fonction décroissante.

21. Une suite définie par un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) converge vers ℓ\ell; ff est définie et continue en ℓ\ell. Quelle conclusion est justifiée ?

La relation f(ℓ)=ℓf(\ell)=\ell est garantie sans continuité
Un terme de la suite est nécessairement égal à ℓ\ell
La suite converge dès qu’un point fixe existe
La limite vérifie f(ℓ)=ℓf(\ell)=\ell

La limite vérifie $$f(\ell)=\ell$$

Explication

En passant à la limite dans un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n), la continuité en ℓ\ell donne ℓ=f(ℓ)\ell=f(\ell). La limite n’a pas besoin d’être atteinte par un terme, et l’existence d’un point fixe ne suffit pas à établir la convergence.

22. Pour comparer les suites An=(ln⁡n)3A_n=(\ln n)^3, Bn=n2B_n=n^2, Cn=2nC_n=2^n, Dn=n!D_n=n! et En=nnE_n=n^n, quel ordre de croissance asymptotique est correct, de la plus lente à la plus rapide ?

Bn, An, Cn, Dn, EnB_n,\ A_n,\ C_n,\ D_n,\ E_n
An, Bn, Dn, Cn, EnA_n,\ B_n,\ D_n,\ C_n,\ E_n
An, Bn, Cn, Dn, EnA_n,\ B_n,\ C_n,\ D_n,\ E_n
An, Bn, Cn, En, DnA_n,\ B_n,\ C_n,\ E_n,\ D_n

$$A_n,\ B_n,\ C_n,\ D_n,\ E_n$$

Explication

Pour des exposants positifs, une puissance du logarithme est négligeable devant une puissance de nn; ensuite, n2=o(2n)n^2=o(2^n), 2n=o(n!)2^n=o(n!) et n!=o(nn)n!=o(n^n). Les autres ordres proposés inversent l’une de ces comparaisons.

23. Quelle est la limite de (ln⁡n)2n+1\frac{(\ln n)^2}{\sqrt n+1} lorsque n→+∞n\to+\infty ?

11
00
+∞+\infty
12\frac{1}{2}

$$0$$

Explication

On sait que (ln⁡n)2=o(n)(\ln n)^2=o(\sqrt n) et que n/(n+1)→1\sqrt n/(\sqrt n+1)\to1; le dénominateur est donc équivalent à n\sqrt n et le quotient tend vers zéro. La limite un correspond au rapport de n\sqrt n à n+1\sqrt n+1, pas au quotient demandé.

24. Pour comparer la croissance de un=(ln⁡n)3u_n=(\ln n)^3 et de vn=n1/2v_n=n^{1/2}, quel rapport asymptotique obtient-on ?

Les deux suites ont le même ordre que n!n!
un=o(vn)u_n=o(v_n)
vn=o(un)v_n=o(u_n)
un∼vnu_n\sim v_n

$$u_n=o(v_n)$$

Explication

Pour tout α,β>0\alpha,\beta>0, une puissance de logarithme croît moins vite qu’une puissance positive de nn; ainsi un=o(vn)u_n=o(v_n). L’inversion du rapport donne le sens contraire, l’exponentielle et la factorielle concernent d’autres comparaisons, et n!n! n’est pas de l’ordre commun des deux suites.

25. Parmi les suites positives suivantes qui tendent vers zéro, laquelle converge le plus rapidement ?

1n4\frac{1}{n^4}
12n\frac{1}{2^n}
1nn\frac{1}{n^n}
1n!\frac{1}{n!}

$$\frac{1}{n^n}$$

Explication

Pour les suites réciproques positives, l’ordre de convergence vers zéro est l’inverse de l’ordre de divergence vers l’infini; 1/nn1/n^n tend donc le plus rapidement vers zéro parmi ces choix. 1/n!1/n! et 1/2n1/2^n sont moins rapides, tandis que 1/n41/n^4 est encore plus lent.

26. Lorsque x→0x\to0 avec x≠0x\ne0, quel équivalent permet de remplacer ln⁡(1+x)\ln(1+x) dans un calcul de limite ?

ln⁡(1+x)∼ex−1\ln(1+x)\sim e^x-1
ln⁡(1+x)∼−x22\ln(1+x)\sim -\frac{x^2}{2}
ln⁡(1+x)∼x\ln(1+x)\sim x
ln⁡(1+x)∼1x\ln(1+x)\sim \frac{1}{x}

$$\ln(1+x)\sim x$$

Explication

Au voisinage de zéro, ln⁡(1+x)∼x\ln(1+x)\sim x, ce qui autorise cette substitution asymptotique. L’expression quadratique correspond à cos⁡x−1\cos x-1, ex−1e^x-1 relève de l’équivalent de l’exponentielle, et 1/x1/x n’est pas l’équivalent du logarithme.

27. Pour estimer cos⁡x−1\cos x-1 lorsque xx est proche de zéro et non nul, quel terme principal faut-il utiliser ?

x22\frac{x^2}{2}
−x22-\frac{x^2}{2}
ex−1e^x-1
xx

$$-\frac{x^2}{2}$$

Explication

Près de zéro, cos⁡x−1∼−x2/2\cos x-1\sim -x^2/2 : le terme principal est quadratique et négatif. x2/2x^2/2 oublie le signe, xx correspond aux équivalents linéaires de fonctions comme le sinus, et ex−1e^x-1 relève de l’exponentielle.

28. Pour calculer lim⁡n→∞nsin⁡(5/n)\lim_{n\to\infty} n\sin(5/n), quelle transformation fait apparaître l’équivalent utile du sinus ?

Écrire 5 sin⁡(5/n)5/n5\,\frac{\sin(5/n)}{5/n}
Écrire n ln⁡(1+5/n)5/nn\,\frac{\ln(1+5/n)}{5/n}
Écrire 5n sin⁡(5/n)n5n\,\frac{\sin(5/n)}{n}
Écrire 15 5/nsin⁡(5/n)\frac{1}{5}\,\frac{5/n}{\sin(5/n)}

Écrire $$5\,\frac{\sin(5/n)}{5/n}$$

Explication

En multipliant et divisant par 5/n5/n, on obtient nsin⁡(5/n)=5 sin⁡(5/n)5/nn\sin(5/n)=5\,\frac{\sin(5/n)}{5/n}; le quotient tend vers 11, donc la limite vaut 55. Le quotient inversé ne tend pas vers le même facteur, le logarithme concerne une autre fonction et la dernière écriture ne fait pas apparaître le quotient clé.

29. Pour étudier n(1+6n−1)n\left(\sqrt{1+\frac{6}{n}}-1\right) lorsque n→+∞n\to+\infty, quelle transformation permet d’éliminer la différence sous la racine ?

Multiplier et diviser par 1+6n+1\sqrt{1+\frac{6}{n}}+1
Multiplier et diviser par 1+6n−1\sqrt{1+\frac{6}{n}}-1
Multiplier et diviser par 1+6n\sqrt{1+\frac{6}{n}}
Remplacer la différence par 1+6n+1\sqrt{1+\frac{6}{n}}+1

Multiplier et diviser par $$\sqrt{1+\frac{6}{n}}+1$$

Explication

Le conjugué transforme le produit des deux facteurs en (1+6n)−1=6n\left(1+\frac{6}{n}\right)-1=\frac{6}{n}, ce qui simplifie l’expression. Utiliser la différence comme facteur ne rationalise pas, et la somme seule ne remplace pas la différence.

30. Quelle est la limite de n(1+4n−1)n\left(\sqrt{1+\frac{4}{n}}-1\right) lorsque n→+∞n\to+\infty, après rationalisation ?

44
12\frac{1}{2}
22
11

$$2$$

Explication

La rationalisation donne 41+4/n+1\frac{4}{\sqrt{1+4/n}+1} ; le dénominateur tend vers 22, donc la limite vaut 4/2=24/2=2. La réponse 44 oublie ce dénominateur, tandis que la limite de la racine seule ne détermine pas celle de l’expression entière.

31. Pour An=(1+3n)nA_n=\left(1+\frac{3}{n}\right)^n, quelle démarche permet de déterminer rigoureusement la limite ?

Étudier ln⁡(1+3n)\ln\left(1+\frac{3}{n}\right) sans tenir compte de l’exposant
Vérifier la positivité, étudier nln⁡(1+3n)n\ln\left(1+\frac{3}{n}\right), puis exponentier sa limite
Conclure directement que la limite vaut 11 puisque la base tend vers 11
Remplacer la puissance par 1+n⋅3n1+n\cdot\frac{3}{n} sans étudier son logarithme

Vérifier la positivité, étudier $$n\ln\left(1+\frac{3}{n}\right)$$, puis exponentier sa limite

Explication

La base est positive ; on étudie donc ln⁡An=nln⁡(1+3/n)\ln A_n=n\ln(1+3/n), puis on revient à AnA_n par continuité de l’exponentielle. Conclure à partir de la base seule ignore l’effet de l’exposant, et le logarithme doit porter sur la puissance entière.

32. Une suite a pour base 1+xn→11+x_n\to1 et pour exposant kn→+∞k_n\to+\infty. Que peut-on conclure de ces seules informations sur An=(1+xn)knA_n=(1+x_n)^{k_n} ?

La puissance tend vers +∞+\infty puisque son exposant tend vers +∞+\infty
La puissance tend vers 11 puisque sa base tend vers 11
La forme est indéterminée et la limite de la puissance reste à déterminer
La puissance tend vers 00 puisque la base se rapproche de 11

La forme est indéterminée et la limite de la puissance reste à déterminer

Explication

La combinaison d’une base tendant vers 11 et d’un exposant tendant vers +∞+\infty est de forme indéterminée 1+∞1^{+\infty} ; il faut analyser plus précisément la puissance. Conclure à 11 confond la limite de la base et celle de la puissance, tandis que l’exposant seul ne prouve ni divergence ni convergence vers zéro.

33. Pour P(n)=7−3n+4n5P(n)=7-3n+4n^5, quel équivalent décrit P(n)P(n) lorsque n→+∞n\to+\infty ?

77
−3n-3n
n5n^5
4n54n^5

$$4n^5$$

Explication

À l’infini, un polynôme dont le coefficient dominant est non nul est équivalent à son terme de plus haut degré, ici 4n54n^5. 77 et −3n-3n sont des termes de degré inférieur, tandis que n5n^5 omet le coefficient dominant.

34. Pour déterminer la limite de 6n4−2n3n4+5n2\frac{6n^4-2n}{3n^4+5n^2} quand n→+∞n\to+\infty, quelle opération permet de faire apparaître directement la limite ?

Diviser le numérateur et le dénominateur par nn
Diviser le numérateur par n4n^4 et le dénominateur par n2n^2
Diviser le numérateur et le dénominateur par n4n^4
Diviser le numérateur et le dénominateur par n2n^2

Diviser le numérateur et le dénominateur par $$n^4$$

Explication

On divise les deux polynômes par la plus grande puissance de nn présente, ici n4n^4; les termes de degré inférieur deviennent alors des termes qui tendent vers zéro. Diviser par nn ou n2n^2 ne fait pas apparaître directement les termes dominants sous forme de constantes, et diviser seulement le numérateur ne préserve pas le quotient.

35. À partir d’un certain rang, une suite unu_n vérifie un≥2n−3u_n\ge 2n-3. Quelle conclusion peut-on tirer lorsque n→+∞n\to+\infty ?

unu_n converge vers une limite finie
un→+∞u_n\to+\infty
La suite est minorée, sans conclusion sur sa limite
un→−∞u_n\to-\infty

$$u_n\to+\infty$$

Explication

Comme 2n−3→+∞2n-3\to+\infty et que un≥2n−3u_n\ge 2n-3 à partir d’un certain rang, la suite unu_n tend aussi vers +∞+\infty. La comparaison ne donne pas une limite vers −∞-\infty ni une limite finie; elle fournit davantage qu’une simple minoration.

36. À partir d’un certain rang, on a −1n≤un≤1n-\frac{1}{n}\le u_n\le\frac{1}{n}. Quelle limite le théorème des gendarmes donne-t-il pour unu_n ?

La limite de unu_n ne peut pas être déterminée
un→0u_n\to0
un→−1u_n\to-1
un→1u_n\to1

$$u_n\to0$$

Explication

Les deux bornes, −1/n-1/n et 1/n1/n, tendent vers zéro; toute suite encadrée par elles à partir d’un certain rang tend donc vers zéro. Le théorème n’impose pas de retenir une seule borne, et les inégalités larges suffisent.

37. Une suite réelle est croissante et tous ses termes sont inférieurs ou égaux à 7. Quelle conclusion le théorème de convergence monotone permet-il d’en tirer ?

Elle tend vers plus l’infini.
Elle converge vers sa borne inférieure.
Elle converge seulement si elle est décroissante.
Elle converge vers sa borne supérieure.

Elle converge vers sa borne supérieure.

Explication

Une suite croissante et majorée converge vers sa borne supérieure. La borne inférieure concerne le cas d’une suite décroissante, tandis qu’une suite croissante non majorée est celle qui tend vers plus l’infini.

38. Une suite vérifie un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n), et l’on a établi qu’elle converge vers une limite appartenant à l’intervalle [1,3][1,3]. Si ff est continue, quelle démarche permet de déterminer sa limite ?

Retenir toutes les solutions de ℓ=f(ℓ)\ell=f(\ell), hors de l’intervalle compris.
Résoudre ℓ=f(ℓ)\ell=f(\ell) avant de démontrer la convergence.
Résoudre ℓ=un\ell=u_n en utilisant la monotonie de ff.
Résoudre ℓ=f(ℓ)\ell=f(\ell) et retenir les solutions dans [1,3][1,3].

Résoudre $$\ell=f(\ell)$$ et retenir les solutions dans $$[1,3]$$.

Explication

Une fois la convergence établie, la continuité permet de passer à la limite dans la relation de récurrence et d’obtenir ℓ=f(ℓ)\ell=f(\ell); on écarte ensuite les solutions hors de l’intervalle de la suite. Chercher le point fixe avant la convergence inverse l’ordre des étapes, et conserver des solutions hors de l’intervalle ignore la contrainte sur la limite.

39. Une suite réelle bornée alterne entre les valeurs −1-1 et 11. Quelle conclusion le théorème de Bolzano-Weierstrass autorise-t-il ?

La suite entière converge vers l’une des deux valeurs prises.
Une sous-suite convergente existe, sans que la suite entière soit assurée de converger.
La suite entière converge vers zéro, car ses termes restent bornés.
Aucune sous-suite convergente n’existe, car la suite entière ne converge pas.

Une sous-suite convergente existe, sans que la suite entière soit assurée de converger.

Explication

Toute suite réelle bornée admet une sous-suite convergente, mais cela ne garantit pas la convergence de la suite entière. L’alternance entre −1-1 et 11 illustre précisément cette distinction; la bornitude ne force pas une limite égale à zéro.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 83 flashcards sur Suites, limites et comparaisons.

Comment s’écrit un nombre rationnel et quel symbole désigne leur ensemble ?

Il s’écrit ab\frac{a}{b} avec a∈Za\in\mathbb{Z} et b∈N∗b\in\mathbb{N}^* ; leur ensemble est Q\mathbb{Q}.

Quelles propriétés définitives caractérisent une relation d’ordre ?

Elle est réflexive, antisymétrique et transitive.

Qu’est-ce qu’un majorant d’un ensemble, et que garantit le fait d’être majoré ?

Un majorant est supérieur ou égal à chaque élément ; être majoré ne garantit pas l’existence d’un maximum.

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