Flashcards : Suites, limites et comparaisons (83 cartes)

Comment s’écrit un nombre rationnel et quel symbole désigne leur ensemble ?

Quelles propriétés définitives caractérisent une relation d’ordre ?

Qu’est-ce qu’un majorant d’un ensemble, et que garantit le fait d’être majoré ?

Qu’est-ce qui distingue le maximum et le minimum d’un ensemble ?

Comment définit-on une suite réelle et que désigne $u_n$ ?

Qu’est-ce qui distingue une suite explicite d’une suite récurrente ?

Quelle condition définit une suite croissante ?

Quelle formule donne le terme général d’une suite arithmétique de raison $r$ ?

Quelles étapes linéarisent une récurrence avec produits et racines ?

Quelle récurrence vérifie $b_n=\ln(a_n)$ lorsque $a_{n+2}=\sqrt[3]{a_{n+1}a_n^2}$ ?

Quelles sont les valeurs initiales de la suite $b_n=\ln(a_n)$ dans cette récurrence ?

Comment retrouver la suite initiale après linéarisation ?

Quelle condition définit la convergence d’une suite $(u_n)$ vers $\ell\in\mathbb R$ ?

Que peut-on conclure de toute suite convergente quant à son caractère borné ?

Comment traiter une limite avec une racine dont le contenu tend vers l’infini ?

Comment lever une différence de racines de forme indéterminée ?

Quelle identité utilise-t-on pour conjuguer une différence de racines ?

Que vaut la limite de $n^\alpha$ lorsque $\alpha>0$ ?

Que vaut la limite de $\frac{1}{n^\alpha}$ lorsque $\alpha>0$ ?

Que vaut la limite de $q^n$ lorsque $q>1$ ?

Comment le signe de $u_{n+1}-u_n$ détermine-t-il les variations d’une suite ?

Que signifie un signe strict de $u_{n+1}-u_n$ pour une suite ?

Quand un ensemble $J\subseteq I$ est-il stable par $f$ ?

Quelle condition assure que tous les termes de $u_{n+1}=f(u_n)$ restent définis dans $I$ ?

Pour une fonction croissante sur un intervalle stable, quand la suite itérée est-elle croissante ?

Si une suite définie par récurrence converge vers $\ell$ et que $f$ est continue en $\ell$, quelle égalité vérifie-t-elle ?

Que signifie $u_n=O(v_n)$ pour deux suites ?

À quelle limite équivaut $u_n=o(v_n)$ lorsque $v_n$ est finalement non nul ?

Pour $\alpha,\beta>0$ et $a>1$, quelle est la croissance de $(\ln n)^\beta$ par rapport à $n^\alpha$ ?

Pour $\alpha>0$ et $a>1$, quelle est la croissance de $n^\alpha$ par rapport à $a^n$ ?

Quelle limite vaut $\frac{(\ln n)^2}{\sqrt n+1}$ quand $n\to+\infty$ ?

Comment se comparent les croissances de $a^n$ et de $n!$, pour $a>1$ ?

Comment se comparent les croissances de $n!$ et de $n^n$ ?

Quels équivalents de sinus, tangente et logarithme valent lorsque $x\to0$ ?

Quels équivalents de cosinus et d’exponentielle valent lorsque $x\to0$ ?

Comment traiter une limite contenant $\sin(x_n)$ et un facteur croissant ?

Comment simplifier $k_n(\sqrt{1+x_n}-1)$ lorsque $x_n\to0$ ?

Quelles étapes permettent de calculer la limite de $A_n=(1+x_n)^{k_n}$ lorsque $x_n\to0$ et $k_n\to+\infty$ ?

À quoi équivaut $a_0+a_1n+\cdots+a_mn^m$ lorsque $n\to+\infty$, si $a_m\ne0$ ?

Quelle opération prépare le calcul d’un quotient de polynômes à l’infini ?

Quelle condition permet de passer à la limite après cette division ?

Que peut-on conclure si, à partir d’un certain rang, $u_n\ge v_n$ et $v_n\to+\infty$ ?

Que peut-on conclure si $v_n\le u_n\le w_n$ à partir d’un certain rang et si les deux bornes convergent vers $\ell$ ?

Vers quelle valeur converge une suite croissante et majorée ?

Quelle est la première étape pour étudier la limite d’une suite définie par récurrence ?

Quelles relations sont des exemples d’ordres, et quels ensembles sont totalement ordonnés par l’ordre usuel ?

Comment définir les bornes supérieure et inférieure d’un ensemble ?

Quelle propriété caractérise une suite bornée ?

Comment s’écrit une suite extraite de $(u_n)$ ?

Quelles racines obtient-on pour l’équation caractéristique de $4d_{n+2}-3d_{n+1}-d_n=0$ ?

Quelle expression donne $d_n$ si $d_0=0$ et $d_1=1$ ?

Quelle expression donne $c_n$ si $d_0=0$ et $d_1=1$ ?

Comment classer une suite qui tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ au sens de la convergence réelle ?

Que permet de conclure l’existence de deux suites extraites ayant des limites différentes ?

Si $u_n\to\ell$, $v_n\to m$ et $u_n\le v_n$ à partir d’un certain rang, quelle relation lie $\ell$ et $m$ ?

Quelle factorisation appliquer à $\sqrt{n^{2m}A_n}$ pour $n>0$ ?

Quelle est la limite de $\sqrt{9n^2+6n}-3n$ ?

Pour une suite positive, que conclure si $\frac{u_{n+1}}{u_n}\geq 1$ ?

Pour une suite positive, que conclure si $\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$ ?

Comment démontrer les variations d’une suite définie par récurrence ?

Quelle inclusion faut-il établir pour prouver qu’un intervalle $I$ est stable par $f$ ?

Quelles propriétés de $f$ faut-il vérifier avant d’encadrer ses images aux extrémités de $I$ ?

Quelle condition initiale faut-il vérifier pour prouver la stabilité d’un intervalle $I$ ?

Pour une fonction décroissante sur un intervalle stable, que peut-on dire des sens de variation des suites extraites ?

Pour $f(x)=1-x$ et $u_0=0$, vers quelles valeurs la suite alterne-t-elle ?

Comment exprimer $u_n$ à partir de $v_n=\frac{u_n-a}{u_n+a}$ ?

Quel signe ont finalement deux suites équivalentes ?

Que peut-on substituer par un équivalent dans un produit ou un quotient ?

Quelle relation relie $v_n$ à $u_n$ si $u_n\sim v_n$ ?

Pour $\alpha<\beta$, quelle est la croissance de $n^\alpha$ par rapport à $n^\beta$ ?

Si $u_n>0$ et $u_{n+1}/u_n\le\alpha$ à partir d’un certain rang, quelle majoration obtient-on ?

Quel est l’ordre de décroissance des réciproques positives de $n^n$, $n!$, $a^n$, $n^\alpha$ et $(\ln n)^\beta$ ?

Pour $\alpha\ne0$, à quoi est équivalent $(1+x)^\alpha-1$ lorsque $x\to0$ ?

Comment traiter $k_n\ln(R_n)$ lorsque $R_n\to1$ ?

Quelle est la limite de $n\left(\sqrt{1+\frac4n}-1\right)$ ?

Quel type d’indétermination forme une base tendant vers $1$ élevée à un exposant tendant vers $+\infty$ ?

Que peut-on conclure sur la limite d’une puissance de type $1^{+\infty}$ ?

Quelle limite obtient-on pour $\frac{2n^3+4n}{5n^3-1}$ lorsque $n\to+\infty$ ?

Quelles bornes encadrent $\sin n$ pour tout entier $n$ ?

Quelles bornes encadrent $\cos n$ pour tout entier $n$ ?

Vers quelle valeur converge la suite définie par $z_0=1$ et $z_{n+1}=\frac{2z_n+3}{z_n+2}$ ?

Vers quoi tend une suite croissante non majorée ?

Quelle propriété caractérise la différence de deux suites adjacentes ?