Fiche de révision : Calcul algébrique et équations

📋 Plan du Cours

1. Développer et réduire une expression
2. Factoriser par un facteur commun
3. Utiliser les identités remarquables
4. Déterminer le domaine de définition
5. Mettre une expression sous quotient
6. Résoudre une équation produit
7. Vérifier et présenter les calculs

📖 1. Développer et réduire une expression

🔑 Notions clés & Définitions

• Développer : Transformer un produit en une somme algébrique.
• Factoriser : Transformer une somme algébrique en un produit.

★ À maîtriser

📐 Formule - La distributivité s’écrit $k(a+b)=ka+kb$ et $k(a-b)=ka-kb$.

Compléments

📐 Formule - Le produit de deux sommes se développe selon $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

💡 Astuce mémo

Développer transforme un produit en somme ; factoriser transforme une somme en produit.

📖 2. Factoriser par un facteur commun

★ À maîtriser

• Pour factoriser par un facteur commun, on met ce facteur en évidence puis on regroupe les termes restants dans une parenthèse.

Compléments

• L’expression $(x+3)(x+2)-2x(x+3)(2x+1)$ se factorise en $-3x(x+3)$.

📖 3. Utiliser les identités remarquables

★ À maîtriser

📐 Formule - Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

Compléments

• La différence de carrés $x^2-121$ se factorise en $(x-11)(x+11)$.

• Le trinôme $x^2-14x+49$ se factorise en $(x-7)^2$.

💡 Astuce mémo

Carré somme : +2ab ; carré différence : −2ab ; différence de carrés : a²−b².

📖 4. Déterminer le domaine de définition

★ À maîtriser

📌 Une expression comportant un dénominateur n’est définie que lorsque ce dénominateur est différent de zéro.

Compléments

• L’expression $-3-\frac{2}{x-2}$ est définie pour $x\ne2$.

📖 5. Mettre une expression sous quotient

★ À maîtriser

• Pour écrire une somme ou une différence sous forme de quotient, on met les termes au même dénominateur puis on regroupe et réduit le numérateur.

Compléments

• Pour $x\ne2$, $-3-\frac{2}{x-2}=\frac{-3x+4}{x-2}$.

💡 Astuce mémo

Même dénominateur, puis réduction du numérateur.

📖 6. Résoudre une équation produit

★ À maîtriser

📌 Pour deux nombres réels $A$ et $B$, $AB=0$ si et seulement si $A=0$ ou $B=0$.

Compléments

• L’équation $\left(-x+\frac73\right)(2x+7)=0$ a pour solutions $x=\frac73$ ou $x=-\frac72$.

📖 7. Vérifier et présenter les calculs

★ À maîtriser

📌 Pour montrer une égalité, on peut partir d’un membre et transformer l’expression jusqu’à obtenir l’autre, ou montrer que la différence des deux membres est nulle.

Compléments

📌 Le produit ou le quotient de deux nombres de même signe est positif, tandis que celui de deux nombres de signes contraires est négatif.