Fiche de révision : Équations du second degré

📋 Plan du Cours

1. Forme générale et coefficients
2. Résolution par factorisation
3. Discriminant et solutions
4. Somme et produit des racines
5. Signe du trinôme
6. Application au nombre d’or

📖 1. Forme générale et coefficients

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Équation qui peut se ramener à la forme ax² + bx + c = 0, avec a ≠ 0.
• Fonction polynôme de degré 2 : Fonction définie sur ℝ par f(x) = ax² + bx + c, avec a ≠ 0 et a, b et c fixes.

📝 Points essentiels

• Le trinôme 5x² + 6x + 7 = 6 se ramène à 5x² + 6x + 1 = 0.

📖 2. Résolution par factorisation

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation factorisable, on écrit le premier membre comme un produit nul, puis on résout chaque équation facteur = 0.

Compléments

• L’équation 2x² + 11x − 6 = 0 se factorise en (2x − 1)(x + 6) = 0 et a pour solutions −6 et 1/2.

• L’équation x² − 4x + 4 = 0 s’écrit (x − 2)² = 0 et a pour unique solution 2.

• L’équation x² = 64 se ramène à (x − 8)(x + 8) = 0 et a pour solutions −8 et 8.

💡 Astuce mémo

Factoriser, appliquer le produit nul, lire les solutions.

📖 3. Discriminant et solutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Racines de l’équation : Solutions x₁ et x₂ d’une équation du second degré lorsque Δ > 0.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour ax² + bx + c = 0, avec a ≠ 0, le discriminant est $\Delta = b^2 - 4ac$.

📌 Pour ax² + bx + c = 0, si Δ < 0, l’équation n’a pas de solution réelle ; si Δ = 0, elle a une solution x = −b/(2a) ; si Δ > 0, elle a deux solutions.

📐 Formule - Lorsque Δ > 0, les deux solutions sont $x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

• Pour x² − x − 6 = 0, Δ = 25 et les solutions correctes sont −2 et 3.

💡 Astuce mémo

Δ négatif : aucune racine réelle ; Δ nul : une racine ; Δ positif : deux.

📖 4. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une équation du second degré ayant deux racines x₁ et x₂, leur somme vaut $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.

Compléments

• Pour x² + 8x + 7 = 0, Δ = 36, la somme des racines vaut −8 et leur produit vaut 7.

📌 Si le produit de deux racines est positif, elles sont de même signe ; si leur somme est négative, elles sont toutes deux négatives.

📖 5. Signe du trinôme

📝 Points essentiels

📐 Formule - Si Δ > 0 et si x₁ et x₂ sont les racines, alors $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$.

📌 Pour Δ > 0, avec a < 0 et x₁ < x₂, f(x) est négative à l’extérieur de [x₁ ; x₂], positive entre les racines et nulle aux racines.

📐 Formule - Si Δ = 0 et si x₁ est la racine double, alors $f(x) = a(x-x_1)^2$.

📌 Si Δ = 0, le trinôme est du signe de a ou nul ; si Δ < 0, il est de signe constant, égal au signe de a.

💡 Astuce mémo

Avec deux racines, le signe change ; sans racines, il reste celui de a.

📖 6. Application au nombre d’or

★ À maîtriser

• Comme φ représente une longueur positive, le nombre d’or est $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, soit environ 1,62.

Compléments

• Le nombre d’or φ vérifie φ² = φ + 1, soit φ² − φ − 1 = 0.

📐 Formule - Les solutions de x² − x − 1 = 0 sont $x_1 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ et $x_2 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.