QCM : Équations du second degré (10 questions)

Question 1

1. Quelle forme générale permet d’écrire une équation du second degré après réduction ?

ax^2 + bx + c = 0

, avec

a \neq 0

ax^3 + bx^2 + c = 0

, avec

a \neq 0

ax + b = 0

, avec

a \neq 0

ax^2 + bx + c = 1

, avec

a \neq 0

Explication

Une équation du second degré se ramène à un trinôme égal à zéro, dont le coefficient de $x^2$ est non nul. La forme $ax+b=0$ correspond à une équation du premier degré.

Answer

$$ax^2 + bx + c = 0$$, avec $$a \neq 0$$

Question 2

2. Parmi les expressions suivantes, laquelle définit une fonction polynôme de degré 2 sur $\mathbb{R}$ ?

f(x)=ax^2+bx+c

, où

a,b,c

varient avec

x

f(x)=ax^2+bx+c

, où

a=0

et

b,c

sont fixes

f(x)=ax^2+bx+c

, où

a\neq 0

et

a,b,c

sont fixes

f(x)=ax^3+bx+c

, où

a\neq 0

et

b,c

sont fixes

Explication

Une fonction polynôme de degré 2 a la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ , avec des coefficients fixes et un coefficient quadratique non nul. Si $a=0$ , le terme de degré 2 disparaît et la fonction n’est plus de degré 2.

Answer

$$f(x)=ax^2+bx+c$$, où $$a\neq 0$$ et $$a,b,c$$ sont fixes

Question 3

3. Quelle démarche permet de résoudre une équation du second degré factorisable ?

Écrire le premier membre comme un produit nul, puis résoudre chaque équation facteur égale à zéro

Diviser chaque facteur par zéro, puis retenir les valeurs obtenues pour l’inconnue

Développer le premier membre, puis chercher les valeurs qui rendent chaque terme nul séparément

Égaler les facteurs entre eux, puis résoudre l’équation obtenue

Explication

La factorisation transforme l’équation en un produit nul, ce qui permet d’annuler l’un au moins des facteurs. Égaler les facteurs entre eux ne donne pas, en général, les solutions de l’équation initiale.

Answer

Écrire le premier membre comme un produit nul, puis résoudre chaque équation facteur égale à zéro

Question 4

4. Pour résoudre $x^2=64$ par factorisation, quelle écriture et quelles solutions obtient-on ?

(x-8)^2=0

, donc

x=8

(x-8)(x+8)=0

, donc

x=-8

ou

x=8

(x-64)(x+1)=0

, donc

x=64

ou

x=-1

(x-8)(x+8)=0

, donc

x=0

ou

x=64

Explication

En ramenant l’équation à $x^2-64=0$ , on obtient une différence de deux carrés, soit $(x-8)(x+8)=0$ , d’où les deux solutions opposées. L’écriture $(x-8)^2=0$ ne convient pas, car elle ne possède que la solution $8$ .

Answer

$$ (x-8)(x+8)=0 $$, donc $$x=-8$$ ou $$x=8$$

Question 5

5. Comment définit-on le discriminant d’une équation du second degré $ax^2+bx+c=0$ , avec $a\ne 0$ ?

Comme la quantité

b^2-4ac

calculée à partir de ses coefficients

Comme la quantité

b^2+4ac

calculée à partir de ses coefficients

Comme le quotient

-b/(2a)

associé à ses coefficients

Comme le produit

ac-b

calculé à partir de ses coefficients

Explication

Le discriminant est la quantité $\Delta=b^2-4ac$ , déterminée par les coefficients de l’équation. Le quotient $-b/(2a)$ correspond à la solution lorsque le discriminant est nul, et non à sa définition.

Answer

Comme la quantité $$b^2-4ac$$ calculée à partir de ses coefficients

Question 6

6. Pour l’équation $x^2+8x+7=0$ , quel est le produit des deux racines ?

-7

8

7

-8

Explication

Le produit des racines indiqué pour cette équation vaut $7$ . La valeur $-8$ correspond à leur somme, et non à leur produit.

Answer

Elle permet de déterminer le signe du trinôme de part et d’autre de ses racines.

Answer

Les deux solutions sont opposées, et $$\varphi$$ est la solution positive.

Answer

Parce que si $$a=0$$, le terme en $$x^2$$ disparaît et l’équation n’est plus du second degré.

Answer

Résoudre séparément $$3x+1=0$$ et $$x-2=0$$, puis retenir leurs solutions.

Question 7

7. Quel rôle joue la factorisation $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ dans l’étude du signe d’un trinôme ayant deux racines distinctes ?

Elle permet de déterminer le sens de variation du trinôme sans connaître ses racines.

Elle sert à vérifier si le discriminant est nul en évaluant

f

aux racines.

Elle permet de déterminer le signe du trinôme de part et d’autre de ses racines.

Elle permet de calculer directement la somme des racines à partir de

a

.

Explication

La factorisation exprime le trinôme à l’aide des deux racines et permet ainsi d’étudier son signe selon la position de $x$ par rapport à celles-ci. Le sens de variation, contrairement au signe, ne se déduit pas directement de cette écriture seule.

Question 8

8. Quelle comparaison entre les deux solutions de $x^2-x-1=0$ et le nombre d’or $\varphi$ est correcte ?

Les deux solutions ont la même valeur absolue, et

\varphi

est leur somme.

L’équation n’a qu’une solution réelle, qui vaut

\varphi

.

Les deux solutions sont opposées, et

\varphi

est la solution positive.

Les deux solutions sont positives, et

\varphi

est la plus petite.

Explication

L’équation possède une solution positive, $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ , égale au nombre d’or, et une solution négative, $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ . La solution négative n’est pas une longueur positive et ne représente donc pas $\varphi$ .

Question 9

9. Pourquoi le coefficient $a$ doit-il être non nul dans l’écriture $ax^2+bx+c=0$ d’une équation du second degré ?

Parce que si

a=0

, les coefficients

b

et

c

deviennent nécessairement égaux.

Parce que si

a=0

, le terme en

x^2

disparaît et l’équation n’est plus du second degré.

Parce que si

a=0

, le terme constant disparaît et l’équation n’a plus de solution.

Parce que si

a=0

, le terme en

x

disparaît et l’équation devient toujours impossible.

Explication

Le coefficient $a$ multiplie le terme de degré deux : s’il est nul, ce terme disparaît et l’équation ne relève plus du second degré. La disparition du terme constant, évoquée par un distracteur, ne dépend pas de la valeur de $a$ .

Question 10

10. Pour résoudre $3x^2-5x-2=0$ par factorisation, on obtient $(3x+1)(x-2)=0$ . Quelle étape permet d’en déduire les solutions ?

Additionner les deux facteurs et chercher où leur somme s’annule.

Résoudre séparément

3x+1=0

et

x-2=0

, puis retenir leurs solutions.

Développer les facteurs et chercher les valeurs qui annulent leur somme.

Égaler chaque facteur à

1

, puis réunir les valeurs obtenues.

Explication

La propriété du produit nul permet de poser chaque facteur égal à zéro, ce qui donne $x=-\frac{1}{3}$ ou $x=2$ . Égaler les facteurs à $1$ ne traduit pas la condition nécessaire pour qu’un produit soit nul.

QCM : Équations du second degré (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle forme générale permet d’écrire une équation du second degré après réduction ?

2. Parmi les expressions suivantes, laquelle définit une fonction polynôme de degré 2 sur $\mathbb{R}$ ?

3. Quelle démarche permet de résoudre une équation du second degré factorisable ?

4. Pour résoudre $x^2=64$ par factorisation, quelle écriture et quelles solutions obtient-on ?

5. Comment définit-on le discriminant d’une équation du second degré $ax^2+bx+c=0$ , avec $a\ne 0$ ?

6. Pour l’équation $x^2+8x+7=0$ , quel est le produit des deux racines ?

7. Quel rôle joue la factorisation $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ dans l’étude du signe d’un trinôme ayant deux racines distinctes ?

8. Quelle comparaison entre les deux solutions de $x^2-x-1=0$ et le nombre d’or $\varphi$ est correcte ?

9. Pourquoi le coefficient $a$ doit-il être non nul dans l’écriture $ax^2+bx+c=0$ d’une équation du second degré ?

10. Pour résoudre $3x^2-5x-2=0$ par factorisation, on obtient $(3x+1)(x-2)=0$ . Quelle étape permet d’en déduire les solutions ?

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QCM : Équations du second degré (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle forme générale permet d’écrire une équation du second degré après réduction ?

2. Parmi les expressions suivantes, laquelle définit une fonction polynôme de degré 2 sur R\mathbb{R}R ?

3. Quelle démarche permet de résoudre une équation du second degré factorisable ?

4. Pour résoudre x2=64x^2=64x2=64 par factorisation, quelle écriture et quelles solutions obtient-on ?

5. Comment définit-on le discriminant d’une équation du second degré ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0, avec a≠0a\ne 0a=0 ?

6. Pour l’équation x2+8x+7=0x^2+8x+7=0x2+8x+7=0, quel est le produit des deux racines ?

7. Quel rôle joue la factorisation f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)f(x)=a(x−x1​)(x−x2​) dans l’étude du signe d’un trinôme ayant deux racines distinctes ?

8. Quelle comparaison entre les deux solutions de x2−x−1=0x^2-x-1=0x2−x−1=0 et le nombre d’or φ\varphiφ est correcte ?

9. Pourquoi le coefficient aaa doit-il être non nul dans l’écriture ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 d’une équation du second degré ?

10. Pour résoudre 3x2−5x−2=03x^2-5x-2=03x2−5x−2=0 par factorisation, on obtient (3x+1)(x−2)=0(3x+1)(x-2)=0(3x+1)(x−2)=0. Quelle étape permet d’en déduire les solutions ?

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2. Parmi les expressions suivantes, laquelle définit une fonction polynôme de degré 2 sur $\mathbb{R}$ ?

4. Pour résoudre $x^2=64$ par factorisation, quelle écriture et quelles solutions obtient-on ?

5. Comment définit-on le discriminant d’une équation du second degré $ax^2+bx+c=0$ , avec $a\ne 0$ ?

6. Pour l’équation $x^2+8x+7=0$ , quel est le produit des deux racines ?

7. Quel rôle joue la factorisation $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ dans l’étude du signe d’un trinôme ayant deux racines distinctes ?

8. Quelle comparaison entre les deux solutions de $x^2-x-1=0$ et le nombre d’or $\varphi$ est correcte ?

9. Pourquoi le coefficient $a$ doit-il être non nul dans l’écriture $ax^2+bx+c=0$ d’une équation du second degré ?

10. Pour résoudre $3x^2-5x-2=0$ par factorisation, on obtient $(3x+1)(x-2)=0$ . Quelle étape permet d’en déduire les solutions ?