Fiche de révision : Calcul algébrique et nombres

📋 Plan du Cours

1. Puissances et racines carrées
2. Identités remarquables et factorisation
3. Fractions et formules littérales

📖 1. Puissances et racines carrées

★ À maîtriser

📐 Formule — La puissance $7^{16}$ peut s’écrire $\left(7^4\right)^2$ ou $\frac{7^{18}}{7^2}$.

📌 Pour une puissance de même base, $a^m \times a^n = a^{m+n}$ et $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ lorsque les expressions sont définies.

📌 Pour simplifier une racine carrée, on extrait les facteurs qui sont des carrés parfaits, par exemple $\sqrt{4800}=40\sqrt{3}$.

Compléments

• Dans les réponses proposées, $\sqrt{4800}$ est égal à $40\sqrt{3}$.

📖 2. Identités remarquables et factorisation

★ À maîtriser

📐 Formule — Le carré d’une somme vérifie $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, donc $(2x+3)^2=4x^2+12x+9$ .

📐 Formule — Le carré d’une différence vérifie $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, donc $(1-3x)^2=9x^2-6x+1$ .

📐 Formule — Une différence de carrés vérifie $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, donc $4x^2-36=4(x-3)(x+3)$.

Compléments

• Le développement correct de $(2x+3)^2$ est $4x^2+12x+9$ et celui de $(1-3x)^2$ est $9x^2-6x+1$.

📖 3. Fractions et formules littérales

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour $a=\frac{b}{2c}$, on obtient $b=2ac$ et $c=\frac{b}{2a}$ lorsque les divisions sont définies.

📐 Formule — La différence $\frac{3}{x+1}-\frac{2}{x}$ se réduit à $\frac{x-2}{x(x+1)}$, pour $x\ne0$ et $x\ne-1$.

📐 Formule — Pour l’énergie cinétique $E=\frac{1}{2}mv^2$, on obtient $m=\frac{2E}{v^2}$ et $v=\sqrt{\frac{2E}{m}}$.

📌 Les ensembles de nombres sont emboîtés selon $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}$, où $\mathbb{D}$ désigne les nombres décimaux et $\mathbb{Q}$ les nombres rationnels.

• Le nombre $\frac{319}{160}$ appartient à $\mathbb{D}$ et à $\mathbb{Q}$, mais il n’appartient ni à $\mathbb{N}$ ni à $\mathbb{Z}$.