Fiche de révision : Calcul des limites

📋 Plan du Cours

1. Types de fonctions
2. Limites des polynômes
3. Formes indéterminées
4. Fonctions rationnelles à l’infini
5. Division euclidienne
6. Tableau de signes
7. Fonctions irrationnelles
8. Rationalisation par conjugué

📖 1. Types de fonctions

📝 Points essentiels

📌 Pour calculer la limite d’un polynôme en un nombre réel, on effectue une substitution directe de ce nombre dans l’expression.

📌 Une fonction polynôme ne contient ni quotient de polynômes ni racine carrée, une fonction rationnelle contient un numérateur et un dénominateur, et une fonction irrationnelle contient une racine carrée.

💡 Astuce mémo

P-G-I : polynôme, rationnelle, irrationnelle

📖 2. Limites des polynômes

📝 Points essentiels

📌 Pour la limite d’un polynôme à l’infini, on met en facteur la plus grande puissance de x, puis on effectue la substitution.

📌 Pour tout entier naturel pair non nul n, $(-\infty)^n=+\infty$, tandis que pour tout entier naturel impair n, $(-\infty)^n=-\infty$.

💡 Astuce mémo

Le terme dominant impose le comportement à l’infini

📖 3. Formes indéterminées

📝 Points essentiels

📌 Le produit d’un nombre non nul par l’infini est un infini dont le signe dépend des signes des deux facteurs.

📌 Les formes $+\infty-\infty$, $\frac{0}{0}$ et $\frac{a}{0}$ avec a non nul sont des formes qui ne permettent pas de conclure directement sur la limite.

💡 Astuce mémo

Infini moins infini et nombre sur zéro ne se traitent pas comme une limite directe

📖 4. Fonctions rationnelles à l’infini

📝 Points essentiels

📌 Pour calculer la limite d’une fonction rationnelle à l’infini, on met en facteur la plus grande puissance de x au numérateur et au dénominateur, puis on simplifie.

• Si le degré du numérateur et celui du dénominateur sont égaux, la limite d’une fonction rationnelle à l’infini est le quotient des coefficients des termes de plus haut degré.

💡 Astuce mémo

Plus haut degré, division, simplification, substitution

📖 5. Division euclidienne

📝 Points essentiels

• La division euclidienne d’un polynôme consiste à diviser le premier terme par le premier terme, multiplier le diviseur par le quotient obtenu, changer le signe du produit, puis additionner.

📌 Lorsqu’une fonction rationnelle donne la forme $\frac{0}{0}$ en un nombre, on peut factoriser le numérateur et le dénominateur par le facteur correspondant à ce nombre, puis le simplifier.

💡 Astuce mémo

Diviser, multiplier, changer le signe, additionner

📖 6. Tableau de signes

★ À maîtriser

• Pour étudier le signe d’un dénominateur qui s’annule en a, on trouve la racine a, on place cette valeur dans un tableau de signes, puis on détermine le signe de chaque côté.

Compléments

📌 Pour une expression affine $ax+b$, le signe à l’extérieur de la racine est celui de a et le signe entre les deux racines est l’opposé de celui de a.

💡 Astuce mémo

À droite d’une racine, le signe dépend du coefficient dominant

📖 7. Fonctions irrationnelles

📝 Points essentiels

📌 Dans une fonction irrationnelle, on compare le carré de la partie extérieure à la racine avec le radicand : s’ils sont différents, on met le radicand en facteur par sa plus grande puissance ; s’ils sont égaux, on utilise le conjugué.

📌 La simplification de $\sqrt{x^2}$ donne $|x|$ et non x ; à $+\infty$, $|x|=x$, tandis qu’à $-\infty$, $|x|=-x$.

💡 Astuce mémo

La valeur absolue remplace x après simplification de la racine

📖 8. Rationalisation par conjugué

📝 Points essentiels

• Pour rationaliser une expression contenant une différence avec une racine, on multiplie le numérateur et le dénominateur par son expression conjuguée, puis on utilise la différence de deux carrés et on simplifie.

📌 Lorsqu’une fonction avec quotient et racine donne la forme $\frac{0}{0}$ après substitution en un nombre, on rationalise le numérateur et le dénominateur avec leurs conjugués.

📐 Formule — Le produit de deux expressions conjuguées vérifie $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

💡 Astuce mémo

Deux conjugués s’ouvrent et font disparaître la différence de carrés

📊 Tableaux de synthèse

Méthodes selon la fonction