QCM : Calcul des limites — 17 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle de ces descriptions caractérise correctement une fonction rationnelle ?

Elle ne comporte ni quotient de polynômes ni racine carrée.
Elle s’écrit comme un quotient de deux polynômes, avec un dénominateur.
Elle contient une racine carrée appliquée à une expression polynomiale.
Elle s’obtient par substitution directe d’un réel dans un polynôme.

Elle s’écrit comme un quotient de deux polynômes, avec un dénominateur.

Explication

Une fonction rationnelle possède un numérateur et un dénominateur, tous deux polynomiaux. La présence d’une racine carrée caractérise plutôt une fonction irrationnelle, tandis que l’absence de quotient et de racine décrit une fonction polynôme.

2. Pour calculer la limite d’un polynôme lorsque xx tend vers le réel 33, quelle méthode convient ?

Examiner le signe du dénominateur comme pour une fonction rationnelle.
Remplacer chaque puissance de xx par sa limite à l’infini.
Mettre en facteur la plus grande puissance de xx avant tout calcul.
Remplacer directement xx par 33 dans l’expression du polynôme.

Remplacer directement $$x$$ par $$3$$ dans l’expression du polynôme.

Explication

La continuité des polynômes permet de calculer leur limite en un réel par substitution directe de ce réel. La mise en facteur de la plus grande puissance concerne les limites à l’infini, et non une limite en 33.

3. Pour déterminer la limite d’un polynôme à l’infini, quelle démarche est appropriée ?

Chercher le dénominateur avant de comparer les degrés des polynômes.
Remplacer directement xx par la valeur réelle vers laquelle il tend.
Mettre en facteur la plus grande puissance de xx, puis effectuer la substitution.
Transformer chaque terme en une racine carrée avant la substitution.

Mettre en facteur la plus grande puissance de $$x$$, puis effectuer la substitution.

Explication

À l’infini, on met en facteur la plus grande puissance de xx afin d’identifier le comportement dominant, puis on effectue la substitution. La substitution directe d’un réel correspond aux limites des polynômes en un nombre réel fini.

4. Quelle est la valeur de (−∞)4\left(-\infty\right)^4 ?

+∞+\infty
00
−∞-\infty
Elle n’a pas de signe déterminable.

$$+\infty$$

Explication

Une puissance paire non nulle de −∞-\infty est égale à +∞+\infty, car le produit d’un nombre pair de facteurs négatifs est positif. Le signe négatif concerne une puissance impaire de −∞-\infty.

5. Laquelle de ces expressions représente une forme indéterminée qui ne permet pas de conclure directement sur une limite ?

+∞+∞+\infty+\infty
Un nombre réel non nul multiplié par +∞+\infty
+∞−∞+\infty-\infty
Une constante réelle divisée par un nombre réel non nul

$$+\infty-\infty$$

Explication

La forme +∞−∞+\infty-\infty est indéterminée : les deux termes peuvent se compenser de façons différentes. En revanche, la somme de deux infinis de même signe et le produit d’un nombre non nul par l’infini permettent d’identifier le comportement de la limite.

6. Si un nombre négatif non nul est multiplié par +∞+\infty, vers quelle expression tend le produit ?

+∞+\infty
00
−∞-\infty
Une forme 00\frac{0}{0}

$$-\infty$$

Explication

Le produit d’un nombre non nul par l’infini est un infini dont le signe dépend des deux facteurs ; ici, un signe négatif multiplié par un signe positif donne −∞-\infty. La forme 00\frac{0}{0} concerne un quotient et non ce type de produit.

7. Pour déterminer la limite à l’infini de f(x)=3x2−12x2+xf(x)=\frac{3x^2-1}{2x^2+x}, quelle méthode faut-il appliquer ?

Mettre en facteur xx au numérateur et au dénominateur, puis conserver les termes restants
Effectuer une division euclidienne sans tenir compte des degrés dominants
Mettre en facteur x2x^2 au numérateur et au dénominateur, puis simplifier
Réduire séparément chaque polynôme avant de comparer leurs constantes

Mettre en facteur $$x^2$$ au numérateur et au dénominateur, puis simplifier

Explication

La plus grande puissance présente est x2x^2, qu’il faut mettre en facteur au numérateur et au dénominateur avant de simplifier la limite. Réduire les polynômes séparément ne permet pas de traiter correctement le quotient à l’infini.

8. Quelle est la limite à l’infini de f(x)=5x3−2x10x3+7f(x)=\frac{5x^3-2x}{10x^3+7} ?

00
55
1010
12\frac{1}{2}

$$\frac{1}{2}$$

Explication

Les deux polynômes sont de degré 33, donc la limite est le quotient des coefficients dominants, soit 510=12\frac{5}{10}=\frac{1}{2}. La valeur 00 correspondrait notamment à un degré de numérateur inférieur à celui du dénominateur, ce qui n’est pas le cas ici.

9. Quelle étape caractérise le début de la division euclidienne de deux polynômes ?

Diviser le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur
Additionner les termes constants des deux polynômes
Réduire les termes semblables du dividende sans utiliser le diviseur
Factoriser le dividende par son terme de plus bas degré

Diviser le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur

Explication

La division euclidienne commence par la division du premier terme du dividende par le premier terme du diviseur, afin d’obtenir le premier terme du quotient. Une réduction de termes semblables ne construit pas le quotient de la division euclidienne.

10. Une fonction rationnelle prend la forme indéterminée 00\frac{0}{0} en x=ax=a. Quelle transformation est alors pertinente ?

Construire directement un tableau de signes à partir du dénominateur nul
Conclure à une asymptote verticale dès que le dénominateur s’annule
Factoriser les deux expressions par le facteur correspondant à aa, puis simplifier
Remplacer le quotient par la valeur 00 sans modifier les expressions

Factoriser les deux expressions par le facteur correspondant à $$a$$, puis simplifier

Explication

La forme 00\frac{0}{0} indique que le numérateur et le dénominateur peuvent partager un facteur associé à aa, qu’il faut factoriser puis simplifier. Un tableau de signes est plutôt mobilisé pour analyser les signes autour d’une valeur où le dénominateur s’annule, notamment dans une forme a0\frac{a}{0}.

11. Pour étudier le signe d’un dénominateur qui s’annule en aa, quelle démarche faut-il suivre ?

Trouver la racine aa, la placer dans le tableau, puis étudier le signe de chaque côté
Repérer le numérateur nul et utiliser sa racine pour remplir le tableau
Développer le dénominateur et examiner uniquement son terme constant
Calculer la limite à l’infini, puis attribuer ce signe à toute l’expression

Trouver la racine $$a$$, la placer dans le tableau, puis étudier le signe de chaque côté

Explication

L’étude du signe commence par la recherche de la racine aa, qui est placée dans le tableau, puis par la détermination du signe de chaque côté. La racine du numérateur ne décrit pas le changement de signe du dénominateur demandé.

12. Pour l’expression affine 2x−62x-6, quels signes apparaissent de part et d’autre de sa racine ?

Positif des deux côtés de 33, car le coefficient directeur est positif
Négatif des deux côtés de 33, car le terme constant est négatif
Positif à gauche de 33 et négatif à droite de 33
Négatif à gauche de 33 et positif à droite de 33

Négatif à gauche de $$3$$ et positif à droite de $$3$$

Explication

La racine de 2x−62x-6 est 33 et le coefficient directeur vaut 2>02>0 : le signe extérieur est donc négatif à gauche et positif à droite. Le signe ne reste pas constant de part et d’autre d’une racine simple d’une expression affine.

13. Pour une fonction irrationnelle, que fait-on lorsque le carré de la partie extérieure à la racine et le radicand sont différents ?

On remplace directement la racine par son radicand
On multiplie le numérateur par l’expression conjuguée
On développe les deux carrés avec une somme de carrés
On met le radicand en facteur selon sa plus grande puissance

On met le radicand en facteur selon sa plus grande puissance

Explication

Lorsque les deux carrés sont différents, la méthode adaptée consiste à factoriser le radicand par sa plus grande puissance. La rationalisation par conjugué correspond au cas où les deux carrés sont égaux.

14. Quelle est la valeur de x2\sqrt{x^2} lorsque xx tend vers −∞-\infty ?

−x2-x^2
xx
−x-x
x2x^2

$$-x$$

Explication

La simplification générale est x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|, et pour des valeurs négatives de xx, on a ∣x∣=−x|x|=-x. L’expression xx conviendrait lorsque xx tend vers +∞+\infty.

15. Quel produit permet de transformer deux expressions conjuguées en une différence de carrés ?

(a+b)2=a2−b2(a+b)^2=a^2-b^2
(a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b)=a^2-b^2
(a−b)(a+b)=a2+b2(a-b)(a+b)=a^2+b^2
(a−b)2=a2−b2(a-b)^2=a^2-b^2

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$

Explication

Le produit de deux expressions conjuguées suit l’identité remarquable (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b)=a^2-b^2. Une somme de carrés ne résulte pas du produit de ces deux conjugués.

16. Pour rationaliser une expression contenant une différence avec une racine au dénominateur, quelle procédure applique-t-on ?

Multiplier le dénominateur par la même différence, puis développer sans modifier le numérateur
Élever séparément le numérateur et le dénominateur au carré, puis additionner les résultats
Remplacer la racine par son carré dans le dénominateur, puis conserver le numérateur
Multiplier le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée, puis simplifier

Multiplier le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée, puis simplifier

Explication

La rationalisation consiste à multiplier les deux termes de la fraction par le conjugué, puis à utiliser la différence de deux carrés avant de simplifier. Modifier un seul terme de la fraction ou employer la même différence ne préserve pas correctement l’expression.

17. Lorsqu’une substitution donne la forme 00\frac{0}{0} dans une fonction comportant un quotient et une racine, quelle méthode convient-il d’appliquer ?

Rationaliser le numérateur et le dénominateur avec leurs expressions conjuguées
Remplacer le quotient par la valeur de la racine avant toute transformation
Élever toute la fraction au carré afin de supprimer directement la forme indéterminée
Développer séparément le numérateur et le dénominateur sans utiliser de conjugués

Rationaliser le numérateur et le dénominateur avec leurs expressions conjuguées

Explication

La forme 00\frac{0}{0} dans ce contexte se traite en rationalisant le numérateur et le dénominateur avec leurs conjugués. Élever toute la fraction au carré modifie l’expression et ne constitue pas la règle indiquée.

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Qu'est-ce qui distingue une fonction polynôme d'une fonction rationnelle ?

Une fonction polynôme ne contient ni quotient de polynômes ni racine carrée.

Quelle caractéristique définit une fonction rationnelle ?

Elle contient un numérateur et un dénominateur.

Qu'est-ce qui caractérise une fonction irrationnelle ?

Elle contient une racine carrée.

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