Flashcards : Calcul des probabilités (35 cartes)

Toutes les cartes

1Question

Quels éléments composent un espace probabilisé ?

Réponse

Un ensemble Ω\Omega, un champ d’événements F\mathcal F et une mesure de probabilité P:F→[0,1]P: \mathcal F \to [0,1].

2Question

Quelles propriétés définissent une partition d’événements ?

Réponse

Ses événements sont deux à deux disjoints et leur réunion est Ω\Omega.

3Question

Qu’est-ce qu’une variable aléatoire réelle ?

Réponse

Une application mesurable de Ω\Omega dans R\mathbb R.

4Question

Comment calcule-t-on l’espérance d’une variable aléatoire finie prenant les valeurs a1,…,ala_1,\ldots,a_l ?

Réponse

Eξ=∑j=1lajP(ξ=aj).E\xi=\sum_{j=1}^{l}a_jP(\xi=a_j).

5Question

Comment définit-on la variance de la variable aléatoire ξ\xi ?

Réponse

Var⁡(ξ)=E[(ξ−Eξ)2].\operatorname{Var}(\xi)=E[(\xi-E\xi)^2].

6Question

Comment définit-on la covariance des variables aléatoires ξ\xi et η\eta ?

Réponse

Cov⁡(ξ,η)=E[(ξ−Eξ)(η−Eη)].\operatorname{Cov}(\xi,\eta)=E[(\xi-E\xi)(\eta-E\eta)].

7Question

Pour P(B)>0P(B)>0, quelle formule définit P(A∣B)P(A\mid B) ?

Réponse

P(A∩B)P(B)\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

8Question

Quand AA et BB sont-ils indépendants selon la probabilité de leur intersection ?

Réponse

Lorsque P(A∩B)=P(A)P(B)P(A\cap B)=P(A)P(B).

9Question

Comment caractérise-t-on E(ξ∣G)E(\xi\mid\mathcal G) par rapport aux variables G\mathcal G-mesurables bornées ?

Réponse

C’est une variable G\mathcal G-mesurable α\alpha telle que E(λξ)=E(λα)E(\lambda\xi)=E(\lambda\alpha) pour toute variable bornée G\mathcal G-mesurable λ\lambda.

10Question

Si ξ et η sont indépendantes, à quoi est égale E(H(ξ,η)|η) ?

Réponse

À h(η), où h(y)=E[H(ξ,y)].

11Question

Quelle condition d’intégrabilité garantit la formule pour E(H(ξ,η)|η) ?

Réponse

E|H(ξ,η)|<∞.

12Question

Quelle condition caractérise un temps de Markov à valeurs dans N\mathbb N ?

Réponse

{τ=n}∈Fn\{\tau=n\}\in\mathcal F_n pour tout n≥0n\ge0.

13Question

Quelle condition caractérise un temps d’arrêt à valeurs dans N\mathbb N ?

Réponse

{τ≤n}∈Fn\{\tau\le n\}\in\mathcal F_n pour tout n≥0n\ge0.

14Question

Quelle égalité d’espérance conditionnelle définit une martingale MM ?

Réponse

E(Mn+1∣Fn)=MnE(M_{n+1}\mid\mathcal F_n)=M_n pour tout n≥0n\ge0.

15Question

De quoi est formée la tribu engendrée par une partition ?

Réponse

Des réunions de ses éléments.

16Question

Quels ensembles forment la tribu engendrée par une variable aléatoire réelle ξ\xi ?

Réponse

Les préimages ξ−1(Γ)\xi^{-1}(\Gamma) des boréliens Γ\Gamma de R\mathbb R.

17Question

Quand ξ\xi est-elle mesurable par rapport à σ{η}\sigma\{\eta\} ?

Réponse

Lorsqu’il existe une fonction déterministe ψ:R→R\psi: \mathbb R \to \mathbb R telle que ξ=ψ(η)\xi=\psi(\eta).

18Question

Comment définir la fonction de répartition de ξ\xi ?

Réponse

Fξ(x)=P(ξ≤x).F_\xi(x)=P(\xi\le x).

19Question

Comment calcule-t-on Eφ(ξ)E\varphi(\xi) pour une variable finie ξ\xi prenant les valeurs a1,…,ala_1,\ldots,a_l ?

Réponse

Eφ(ξ)=∑j=1lφ(aj)P(ξ=aj).E\varphi(\xi)=\sum_{j=1}^{l}\varphi(a_j)P(\xi=a_j).

20Question

Quelle relation vérifient E(ξη)E(\xi\eta) et les espérances lorsque ξ\xi et η\eta sont indépendantes ?

Réponse

E(ξη)=Eξ Eη.E(\xi\eta)=E\xi\,E\eta.

21Question

Quelle est la covariance de deux variables aléatoires indépendantes ξ\xi et η\eta ?

Réponse

Cov⁡(ξ,η)=0.\operatorname{Cov}(\xi,\eta)=0.

22Question

Comment calcule-t-on la probabilité d’un événement AA dans un espace fini de points ω1,…,ωk\omega_1,\ldots,\omega_k ?

Réponse

On additionne les probabilités pjp_j des points ωj\omega_j appartenant à AA.

23Question

Pour P(B)>0P(B)>0, quelle formule définit E(ξ∣B)E(\xi\mid B) ?

Réponse

E(ξ1B)P(B)\frac{E(\xi\mathbf 1_B)}{P(B)}

24Question

Sur chaque élément BjB_j d’une partition finie, quelles valeurs prennent P(A∣B)P(A\mid\mathcal B) et E(ξ∣B)E(\xi\mid\mathcal B) ?

Réponse

Elles prennent respectivement les valeurs P(A∣Bj)P(A\mid B_j) et E(ξ∣Bj)E(\xi\mid B_j).

25Question

À quelle espérance conditionnelle correspond P(A∣B)P(A\mid\mathcal B) ?

Réponse

E(1A∣B)E(\mathbf 1_A\mid\mathcal B)

26Question

Comment exprimer E(ξ∣η)E(\xi\mid\eta) à l’aide de la tribu engendrée par η\eta ?

Réponse

E(ξ∣σ{η})E(\xi\mid\sigma\{\eta\})

27Question

Comment se factorise la fonction de répartition conjointe de ξ et η indépendantes ?

Réponse

Fξ,η(x,y)=Fξ(x)Fη(y).

28Question

Quelle loi la preuve factorise-t-elle pour établir l’espérance conditionnelle de H(ξ,η) ?

Réponse

La loi conjointe de ξ et η.

29Question

Selon quelle variable le théorème de Fubini fait-il intégrer d’abord dans cette preuve ?

Réponse

Selon ξ.

30Question

Quelle inclusion définit la croissance d’une filtration au temps n ?

Réponse

Fn−1⊆Fn\mathcal F_{n-1}\subseteq\mathcal F_n pour n≥1n\ge1.

31Question

Comment se définit la tribu Fτ\mathcal F_\tau d’un temps de Markov ?

Réponse

{A∈F:A∩{τ=n}∈Fn pour tout n≥0}\{A\in\mathcal F:A\cap\{\tau=n\}\in\mathcal F_n\text{ pour tout }n\ge0\}.

32Question

Quelles opérations sur deux temps d’arrêt préservent la propriété de temps d’arrêt ?

Réponse

Le minimum, le maximum et la somme.

33Question

À quelle tribu une variable ξn\xi_n adaptée doit-elle être mesurable ?

Réponse

À Fn\mathcal F_n.

34Question

À quelle tribu ξn\xi_n prévisible est-elle mesurable pour n≥1n\ge1 ?

Réponse

À Fn−1\mathcal F_{n-1}.

35Question

Quelle condition caractérise l’indépendance mutuelle des événements A1,…,AlA_1,\ldots,A_l ?

Réponse

Pour toute partie non vide I⊆{1,…,l}I\subseteq\{1,\ldots,l\}, P(⋂j∈IAj)=∏j∈IP(Aj)P\left(\bigcap_{j\in I}A_j\right)=\prod_{j\in I}P(A_j).

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 15 questions sur Calcul des probabilités.

1. Quel objet mathématique décrit un espace probabilisé ?

2. Une équipe répartit toutes les issues possibles en quatre événements qui ne se recoupent pas. Quelle propriété décrit cette famille ?

Faire le QCM →

Consultez la fiche

Révisez le cours complet dans la fiche de révision de Calcul des probabilités.

Voir la fiche →

Cours similaires

Lois discrètes et échantillonnage

Mathématiques

Le cognitivisme et ses applications pédagogiques

Perception visuelle et mémoire

Ions et tests de reconnaissance

Chimie

Choisir un objet technique

Lumière, spectres et dispersion

Physique

Crée tes propres flashcards

Importe ton cours et l'IA génère des flashcards en 30 secondes.

Générateur de flashcards