QCM : Calcul des probabilités (15 questions)

Question 1

1. Quel objet mathématique décrit un espace probabilisé ?

Un triplet composé d’un champ d’événements, d’une mesure et d’une variable aléatoire

Un triplet composé d’un ensemble, des réels et d’une mesure de probabilité

Un triplet composé d’un ensemble, d’un champ d’événements et d’une mesure de probabilité

Un couple composé d’un ensemble d’issues et d’une mesure de probabilité

Explication

Un espace probabilisé réunit l’ensemble des issues, le champ d’événements et la mesure de probabilité définie sur ce champ. Confondre la mesure avec les événements, omettre l’ensemble des issues ou substituer les réels au champ des événements modifie les éléments constitutifs.

Answer

Un triplet composé d’un ensemble, d’un champ d’événements et d’une mesure de probabilité

Question 2

2. Une équipe répartit toutes les issues possibles en quatre événements qui ne se recoupent pas. Quelle propriété décrit cette famille ?

C’est une partition, car les événements sont disjoints deux à deux et couvrent l’espace

C’est une partition, car les événements sont disjoints deux à deux, même s’ils ne couvrent pas l’espace

C’est une partition dès que les événements sont de probabilité égale

C’est une partition, car les événements couvrent l’espace, même s’ils se recoupent

Explication

Une partition doit satisfaire simultanément la disjonction deux à deux et la réunion égale à l’espace entier. Une famille disjointe peut ne pas couvrir l’espace, une couverture peut comporter des recoupements, et l’égalité des probabilités n’est pas un critère de partition.

Answer

C’est une partition, car les événements sont disjoints deux à deux et couvrent l’espace

Question 3

3. Quelle condition définit une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé ?

C’est une application quelconque de l’espace des issues vers les réels

C’est une application mesurable de l’espace des issues vers les réels

C’est une mesure définie sur les sous-ensembles de l’espace des issues

C’est une application mesurable des réels vers l’espace des issues

Explication

Une variable aléatoire réelle est une application mesurable de l’espace des issues dans l’ensemble des réels. Une application quelconque omet la mesurabilité, tandis que les deux autres réponses inversent le domaine et le codomaine ou décrivent une mesure.

Answer

C’est une application mesurable de l’espace des issues vers les réels

Question 4

4. Une variable finie vaut $2$ avec probabilité $0{,}7$ et $8$ avec probabilité $0{,}3$ . Quelle est son espérance ?

3{,}8

6{,}2

10

1{,}14

Explication

L’espérance pondère chaque valeur par sa probabilité : $2\times0{,}7+8\times0{,}3=1{,}4+2{,}4=3{,}8$ . Le résultat $6{,}2$ inverse les probabilités, $10$ omet la pondération et $1{,}14$ multiplie à tort la somme des valeurs par une probabilité.

Answer

L’espérance de $$\left(\xi-m\right)^2$$

Answer

Leur produit a pour espérance $$-6$$

Answer

Ils sont indépendants

Answer

Elle est $$\mathcal G$$-mesurable et vérifie $$E(\lambda\xi)=E(\lambda\alpha)$$ pour toute variable test bornée $$\mathcal G$$-mesurable

Answer

$$E(\xi)+\eta$$

Answer

Factoriser la loi conjointe, puis appliquer Fubini en intégrant d’abord selon $$\xi$$

Answer

L’événement {τ ≥ 5} appartient à F₄

Answer

Une martingale

Answer

24 unités

Question 5

5. Pour une variable aléatoire $\xi$ de moyenne $m$ , quelle quantité définit sa variance ?

L’espérance de

\xi

Le carré de l’espérance de

\xi-m

L’espérance de

\left|\xi-m\right|

L’espérance de

\left(\xi-m\right)^2

Explication

La variance est l’espérance du carré de l’écart de la variable à sa moyenne. L’écart absolu n’est pas mis au carré, le carré de l’espérance de l’écart n’est pas la définition, et l’espérance de $\xi$ est sa moyenne.

Question 6

6. Deux variables aléatoires finies sont indépendantes et ont des espérances égales à $3$ et $-2$ . Quelle conclusion découle de leur indépendance ?

Leur produit a pour espérance

0

Leur produit a pour espérance

1

Leur produit a pour espérance

6

Leur produit a pour espérance

-6

Explication

Pour des variables indépendantes, l’espérance de leur produit est le produit de leurs espérances : $3\times(-2)=-6$ . La somme donne $1$ , une covariance nulle ne signifie pas que le produit a une espérance nulle, et $6$ résulte d’un oubli du signe négatif.

Question 7

7. Un événement $B$ a une probabilité de $0{,}4$ , et $P(A\cap B)=0{,}12$ . Quelle est la probabilité de $A$ sachant $B$ ?

0,048

3,33

0,28

0,3

Explication

La probabilité conditionnelle se calcule par $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$ , donc $0{,}12/0{,}4=0{,}3$ . Le complément de l’intersection donne 0,88, la multiplication donne 0,048 et le rapport inversé donne environ 3,33.

Question 8

8. On sait que $P(B)>0$ et que $P(A\mid B)=P(A)$ . Quelle conclusion peut-on tirer sur $A$ et $B$ ?

Ils ont la même probabilité

Ils sont indépendants

Ils sont incompatibles

Ils sont corrélés positivement

Explication

Lorsque $P(B)>0$ , l’égalité $P(A\mid B)=P(A)$ équivaut à l’indépendance de $A$ et $B$ . L’incompatibilité impose une intersection de probabilité nulle, tandis que l’égalité des probabilités marginales ne suffit pas à établir l’indépendance.

Question 9

9. Quelle propriété caractérise l’espérance conditionnelle $\alpha$ de $\xi$ sachant une tribu $\mathcal G$ ?

Elle est constante et vérifie

E(\lambda\xi)=E(\lambda\alpha)

pour toute variable test bornée

\mathcal G

-mesurable

Elle est

\mathcal G

-mesurable et vérifie

E(\lambda\xi)=E(\lambda\alpha)

pour toute variable test intégrable

Elle est

\mathcal G

-mesurable et vérifie

E(\lambda\xi)=E(\lambda\alpha)

pour toute variable test bornée

\mathcal G

-mesurable

Elle est

\mathcal G

-mesurable et vérifie

\lambda\xi=\lambda\alpha

presque sûrement pour toute variable test bornée

\mathcal G

-mesurable

Explication

L’espérance conditionnelle est une variable $\mathcal G$ -mesurable qui reproduit les espérances après multiplication par toute variable test bornée et $\mathcal G$ -mesurable. La confondre avec une constante impose trop, l’égalité pondérée n’est pas une égalité presque sûre, et la définition donnée exige une variable test bornée.

Question 10

10. Pour une variable aléatoire intégrable $\xi$ , on sait que $E(\xi)=5$ . Quelle est la valeur de $E(E(\xi\mid\eta))$ , quelle que soit la variable aléatoire $\eta$ ?

5E(\eta)

\operatorname{Var}(\xi)

5

E(\xi\mid\eta)

Explication

L’espérance de l’espérance conditionnelle est égale à l’espérance initiale, donc le résultat est 5. La valeur conditionnelle peut dépendre de $\eta$ , mais son espérance retrouve celle de $\xi$ ; la variance et le produit des espérances ne sont pas la règle pertinente.

Question 11

11. Les variables $\xi$ et $\eta$ sont indépendantes, et $H(x,y)=x+y$ est intégrable. Quelle est la forme de $E(H(\xi,\eta)\mid\eta)$ ?

E(\xi)+\eta

E(\xi)+E(\eta)

0

\xi+E(\eta)

Explication

Pour des variables indépendantes, on calcule d’abord $h(y)=E[H(\xi,y)]$ , ce qui donne $h(y)=E(\xi)+y$ ; l’espérance conditionnelle vaut donc $E(\xi)+\eta$ . Garder $\xi$ confond la variable intégrée avec son espérance, et remplacer $\eta$ par sa moyenne élimine à tort l’information conditionnelle.

Question 12

12. Dans la démonstration de la formule de l’espérance conditionnelle de $H(\xi,\eta)$ pour des variables indépendantes, quel enchaînement permet de séparer les intégrations ?

Appliquer Fubini pour factoriser la loi conjointe, puis intégrer selon

\eta

Factoriser la loi conjointe, puis appliquer Fubini en intégrant d’abord selon

\xi

Supposer que les lois marginales sont égales, puis intégrer selon

\xi

Appliquer Fubini d’abord selon

\eta

, puis factoriser la loi conjointe

Explication

L’indépendance permet de factoriser la loi conjointe en lois marginales, puis le théorème de Fubini autorise l’intégration successive, en commençant par $\xi$ . Intégrer d’abord selon $\eta$ inverse l’ordre indiqué, l’égalité des lois marginales ne découle pas de l’indépendance, et Fubini ne produit pas la factorisation.

Question 13

13. Pour un temps d’arrêt entier τ, quelle information sur la filtration permet de vérifier que l’événement τ ≥ 5 est connu à la date 4 ?

L’événement {τ ≥ 5} appartient à F₄

L’événement {τ ≤ 5} appartient à F₄

L’événement {τ ≥ 5} appartient à F₃

L’événement {τ ≥ 5} appartient à F₅

Explication

Pour un temps d’arrêt, {τ ≥ n} appartient à Fₙ₋₁ ; avec n = 5, l’événement est donc dans F₄. F₅ oublie le décalage d’une date, F₃ décale trop tôt, et {τ ≤ 5} est un événement différent de celui demandé.

Question 14

14. Une suite adaptée et intégrable vérifie que, pour chaque n, son espérance conditionnelle à la date n de sa valeur à la date n + 1 est égale à sa valeur à la date n. De quelle suite s’agit-il ?

Une suite prévisible

Une martingale de carré intégrable

Une martingale

Une suite à accroissements indépendants

Explication

Une martingale est adaptée et intégrable, et satisfait E(Mₙ₊₁ | Fₙ) = Mₙ à chaque date. L’indépendance des accroissements est une autre propriété, le carré intégrable impose une condition plus forte, et la prévisibilité ne remplace pas l’égalité d’espérance conditionnelle.

Question 15

15. Des gains indépendants et identiquement distribués ont chacun une espérance de 4 unités. Un temps d’arrêt intégrable associé à leur filtration a une espérance de 6 étapes. Quelle est l’espérance du gain cumulé jusqu’à cet arrêt ?

24 unités

10 unités

6 unités

48 unités

Explication

L’identité de Wald donne E(Sτ) = E(τ)E(ξ₁), donc 6 × 4 = 24 unités. Additionner les deux espérances donne 10, omettre le gain moyen donne 6, et compter deux fois ce facteur mène à 48.

QCM : Calcul des probabilités (15 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quel objet mathématique décrit un espace probabilisé ?

2. Une équipe répartit toutes les issues possibles en quatre événements qui ne se recoupent pas. Quelle propriété décrit cette famille ?

3. Quelle condition définit une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé ?

4. Une variable finie vaut $2$ avec probabilité $0{,}7$ et $8$ avec probabilité $0{,}3$ . Quelle est son espérance ?

5. Pour une variable aléatoire $\xi$ de moyenne $m$ , quelle quantité définit sa variance ?

6. Deux variables aléatoires finies sont indépendantes et ont des espérances égales à $3$ et $-2$ . Quelle conclusion découle de leur indépendance ?

7. Un événement $B$ a une probabilité de $0{,}4$ , et $P(A\cap B)=0{,}12$ . Quelle est la probabilité de $A$ sachant $B$ ?

8. On sait que $P(B)>0$ et que $P(A\mid B)=P(A)$ . Quelle conclusion peut-on tirer sur $A$ et $B$ ?

9. Quelle propriété caractérise l’espérance conditionnelle $\alpha$ de $\xi$ sachant une tribu $\mathcal G$ ?

10. Pour une variable aléatoire intégrable $\xi$ , on sait que $E(\xi)=5$ . Quelle est la valeur de $E(E(\xi\mid\eta))$ , quelle que soit la variable aléatoire $\eta$ ?

11. Les variables $\xi$ et $\eta$ sont indépendantes, et $H(x,y)=x+y$ est intégrable. Quelle est la forme de $E(H(\xi,\eta)\mid\eta)$ ?

12. Dans la démonstration de la formule de l’espérance conditionnelle de $H(\xi,\eta)$ pour des variables indépendantes, quel enchaînement permet de séparer les intégrations ?

13. Pour un temps d’arrêt entier τ, quelle information sur la filtration permet de vérifier que l’événement τ ≥ 5 est connu à la date 4 ?

14. Une suite adaptée et intégrable vérifie que, pour chaque n, son espérance conditionnelle à la date n de sa valeur à la date n + 1 est égale à sa valeur à la date n. De quelle suite s’agit-il ?

15. Des gains indépendants et identiquement distribués ont chacun une espérance de 4 unités. Un temps d’arrêt intégrable associé à leur filtration a une espérance de 6 étapes. Quelle est l’espérance du gain cumulé jusqu’à cet arrêt ?

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Questions et réponses du QCM

1. Quel objet mathématique décrit un espace probabilisé ?

2. Une équipe répartit toutes les issues possibles en quatre événements qui ne se recoupent pas. Quelle propriété décrit cette famille ?

3. Quelle condition définit une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé ?

4. Une variable finie vaut 222 avec probabilité 0,70{,}70,7 et 888 avec probabilité 0,30{,}30,3. Quelle est son espérance ?

5. Pour une variable aléatoire ξ\xiξ de moyenne mmm, quelle quantité définit sa variance ?

6. Deux variables aléatoires finies sont indépendantes et ont des espérances égales à 333 et −2-2−2. Quelle conclusion découle de leur indépendance ?

7. Un événement BBB a une probabilité de 0,40{,}40,4, et P(A∩B)=0,12P(A\cap B)=0{,}12P(A∩B)=0,12. Quelle est la probabilité de AAA sachant BBB ?

8. On sait que P(B)>0P(B)>0P(B)>0 et que P(A∣B)=P(A)P(A\mid B)=P(A)P(A∣B)=P(A). Quelle conclusion peut-on tirer sur AAA et BBB ?

9. Quelle propriété caractérise l’espérance conditionnelle α\alphaα de ξ\xiξ sachant une tribu G\mathcal GG ?

10. Pour une variable aléatoire intégrable ξ\xiξ, on sait que E(ξ)=5E(\xi)=5E(ξ)=5. Quelle est la valeur de E(E(ξ∣η))E(E(\xi\mid\eta))E(E(ξ∣η)), quelle que soit la variable aléatoire η\etaη ?

11. Les variables ξ\xiξ et η\etaη sont indépendantes, et H(x,y)=x+yH(x,y)=x+yH(x,y)=x+y est intégrable. Quelle est la forme de E(H(ξ,η)∣η)E(H(\xi,\eta)\mid\eta)E(H(ξ,η)∣η) ?

12. Dans la démonstration de la formule de l’espérance conditionnelle de H(ξ,η)H(\xi,\eta)H(ξ,η) pour des variables indépendantes, quel enchaînement permet de séparer les intégrations ?

13. Pour un temps d’arrêt entier τ, quelle information sur la filtration permet de vérifier que l’événement τ ≥ 5 est connu à la date 4 ?

14. Une suite adaptée et intégrable vérifie que, pour chaque n, son espérance conditionnelle à la date n de sa valeur à la date n + 1 est égale à sa valeur à la date n. De quelle suite s’agit-il ?

15. Des gains indépendants et identiquement distribués ont chacun une espérance de 4 unités. Un temps d’arrêt intégrable associé à leur filtration a une espérance de 6 étapes. Quelle est l’espérance du gain cumulé jusqu’à cet arrêt ?

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4. Une variable finie vaut $2$ avec probabilité $0{,}7$ et $8$ avec probabilité $0{,}3$ . Quelle est son espérance ?

5. Pour une variable aléatoire $\xi$ de moyenne $m$ , quelle quantité définit sa variance ?

6. Deux variables aléatoires finies sont indépendantes et ont des espérances égales à $3$ et $-2$ . Quelle conclusion découle de leur indépendance ?

7. Un événement $B$ a une probabilité de $0{,}4$ , et $P(A\cap B)=0{,}12$ . Quelle est la probabilité de $A$ sachant $B$ ?

8. On sait que $P(B)>0$ et que $P(A\mid B)=P(A)$ . Quelle conclusion peut-on tirer sur $A$ et $B$ ?

9. Quelle propriété caractérise l’espérance conditionnelle $\alpha$ de $\xi$ sachant une tribu $\mathcal G$ ?

10. Pour une variable aléatoire intégrable $\xi$ , on sait que $E(\xi)=5$ . Quelle est la valeur de $E(E(\xi\mid\eta))$ , quelle que soit la variable aléatoire $\eta$ ?

11. Les variables $\xi$ et $\eta$ sont indépendantes, et $H(x,y)=x+y$ est intégrable. Quelle est la forme de $E(H(\xi,\eta)\mid\eta)$ ?

12. Dans la démonstration de la formule de l’espérance conditionnelle de $H(\xi,\eta)$ pour des variables indépendantes, quel enchaînement permet de séparer les intégrations ?