Fiche de révision : Calcul des probabilités

📋 Plan du Cours

1. Espaces probabilisés et variables aléatoires
2. Espérance et dépendance
3. Probabilités et espérances conditionnelles
4. Espérance conditionnelle de fonctions indépendantes
5. Calcul stochastique en temps discret

📖 1. Espaces probabilisés et variables aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace probabilisé : Un espace probabilisé est un triplet $(\Omega,\mathcal F,P)$ où $\Omega$ est un ensemble, $\mathcal F$ un champ d’événements et $P:\mathcal F\to[0{,}1]$ une mesure de probabilité.
• Partition : Une partition d’événements est une famille finie d’événements deux à deux disjoints dont la réunion est $\Omega$.
• Variable aléatoire : Une variable aléatoire réelle est une application mesurable de $\Omega$ dans $\mathbb R$.
• Fonction de répartition : La fonction de répartition de $\xi$ est définie par $F_\xi(x)=P(\xi\le x).$

📝 Points essentiels

• La tribu engendrée par une partition est l’ensemble des réunions de ses éléments.

• La tribu engendrée par une variable aléatoire réelle $\xi$ est formée des préimages $\xi^{-1}(\Gamma)$ des boréliens $\Gamma$ de $\mathbb R$.

• Une variable aléatoire $\xi$ est mesurable par rapport à $\sigma\{\eta\}$ si et seulement s’il existe une fonction déterministe $\psi:\mathbb R\to\mathbb R$ telle que $\xi=\psi(\eta)$.

📖 2. Espérance et dépendance

🔑 Notions clés & Définitions

• Variance : La variance de $\xi$ est l’espérance du carré de son écart à sa moyenne : $\operatorname{Var}(\xi)=E[(\xi-E\xi)^2].$
• Covariance : La covariance de $\xi$ et $\eta$ est l’espérance du produit de leurs écarts à leurs moyennes : $\operatorname{Cov}(\xi,\eta)=E[(\xi-E\xi)(\eta-E\eta)].$

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une variable aléatoire finie prenant les valeurs $a_1,\ldots,a_l$, son espérance est $E\xi=\sum_{j=1}^{l}a_jP(\xi=a_j).$

Compléments

📐 Formule - Pour une fonction $\varphi$ et une variable aléatoire finie $\xi$, $E\varphi(\xi)=\sum_{j=1}^{l}\varphi(a_j)P(\xi=a_j).$

📌 Deux variables aléatoires sont indépendantes lorsque les partitions qu’elles engendrent sont indépendantes ; alors $E(\xi\eta)=E\xi\,E\eta$ et $\operatorname{Cov}(\xi,\eta)=0$.

• Pour un espace fini de points $\omega_1,\ldots,\omega_k$ de probabilités $p_1,\ldots,p_k$, la probabilité d’un événement $A$ est la somme des $p_j$ associés aux points de $A$.

📖 3. Probabilités et espérances conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Espérance conditionnelle : L’espérance conditionnelle de $\xi$ sachant une tribu $\mathcal G$ est une variable aléatoire $\mathcal G$-mesurable $\alpha$ telle que $E(\lambda\xi)=E(\lambda\alpha)$ pour toute variable aléatoire bornée $\mathcal G$-mesurable $\lambda$ ; on la note $E(\xi\mid\mathcal G)$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un événement $B$ de probabilité positive, la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$

📌 Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$, ce qui équivaut, lorsque $P(B)>0$, à $P(A\mid B)=P(A)$.

📌 L’espérance de l’espérance conditionnelle est l’espérance initiale : $E(E(\xi\mid\eta))=E\xi$.

Compléments

📌 Des événements $A_1,\ldots,A_l$ sont mutuellement indépendants lorsque, pour toute partie non vide $I\subseteq\{1,\ldots,l\},$ on a $P\left(\bigcap_{j\in I}A_j\right)=\prod_{j\in I}P(A_j).$

📐 Formule - Pour $P(B)>0$, l’espérance conditionnelle de $\xi$ sachant $B$ est $E(\xi\mid B)=\frac{E(\xi\mathbf 1_B)}{P(B)},$ où $\mathbf 1_B$ vaut 1 sur $B$ et 0 hors de $B$.

• Pour une partition finie $\mathcal B=(B_1,\ldots,B_m)$, $P(A\mid\mathcal B)$ et $E(\xi\mid\mathcal B)$ sont les variables aléatoires qui prennent respectivement les valeurs $P(A\mid B_j)$ et $E(\xi\mid B_j)$ sur chaque $B_j$.

📌 La probabilité conditionnelle d’un événement $A$ sachant une partition $\mathcal B$ est l’espérance conditionnelle de son indicatrice : $P(A\mid\mathcal B)=E(\mathbf 1_A\mid\mathcal B)$.

📌 Si $\eta$ est une variable aléatoire, alors $E(\xi\mid\eta)=E(\xi\mid\sigma\{\eta\})$ et $P(A\mid\eta)=P(A\mid\sigma\{\eta\})$.

• Si $\eta$ est constante, alors $E(\xi\mid\eta)=E\xi$.

• Si $\xi$ et $\eta$ sont indépendantes, alors $E(\xi\mid\eta)=E\xi$.

• Si $\sigma\{\xi\}\subseteq\sigma\{\eta\}$, alors $E(\xi\mid\eta)=\xi$.

• Si $\sigma\{\xi\}\subseteq\sigma\{\eta\}$, alors $E(\gamma\xi\mid\eta)=\xi E(\gamma\mid\eta)$.

• Si $\mathcal A$ et $\mathcal B$ sont des partitions telles que $\sigma\{\mathcal A\}\subseteq\sigma\{\mathcal B\}$, alors $E(\xi\mid\mathcal A)=E(E(\xi\mid\mathcal B)\mid\mathcal A)$.

• Si $\xi$ et $\eta$ sont indépendantes et si $H(\xi,\eta)$ est intégrable, alors $E(H(\xi,\eta)\mid\eta)=h(\eta)$, où $h(y)=E[H(\xi,y)]$.

📖 4. Espérance conditionnelle de fonctions indépendantes

★ À maîtriser

• Si ξ et η sont indépendantes et si H est mesurable avec E|H(ξ,η)|<∞, alors E(H(ξ,η)|η)=h(η), où h(y)=E[H(ξ,y)].

Compléments

• Pour deux variables aléatoires indépendantes, leur fonction de répartition conjointe se factorise : Fξ,η(x,y)=Fξ(x)Fη(y).

• La preuve de l’espérance conditionnelle de H(ξ,η) utilise la factorisation de la loi conjointe des variables indépendantes, puis le théorème de Fubini pour intégrer d’abord selon ξ.

📖 5. Calcul stochastique en temps discret

🔑 Notions clés & Définitions

• Temps de Markov : Un temps de Markov τ à valeurs dans ℕ={0,1,2,…} vérifie {τ=n}∈Fₙ pour tout n≥0 ; s’il est fini presque sûrement, c’est un temps d’arrêt.
• Martingale : Une suite M=(Mₙ)ₙ≥₀ est une martingale si elle est adaptée, intégrable à chaque date et vérifie E(Mₙ₊₁|Fₙ)=Mₙ pour tout n≥0.
• Filtration : Une filtration (Fₙ)ₙ≥₀ est une suite croissante de σ-champs telle que Fₙ₋₁⊆Fₙ pour n≥1 ; le cadre considéré suppose F₀={∅,Ω}.
• Tribu au temps d’arrêt : Pour un temps de Markov τ, la tribu Fτ est l’ensemble des A∈F tels que A∩{τ=n}∈Fₙ pour tout n≥0.
• Suite adaptée : Une suite de variables aléatoires (ξₙ)ₙ≥₀ est adaptée lorsque ξₙ est Fₙ-mesurable pour tout n≥0.
• Suite prévisible : Une suite de variables aléatoires (ξₙ)ₙ≥₀ est prévisible lorsque ξ₀ est F₀-mesurable et que ξₙ est Fₙ₋₁-mesurable pour tout n≥1.
• Martingale de carré intégrable : Une martingale M est de carré intégrable si E(Mₙ²)<∞ pour tout n≥1.
• Transformation de martingale : Pour une suite prévisible bornée v=(vₖ)ₖ≥₁ et une martingale de carré intégrable m, la transformation M définie par Mₙ=M₀+∑ⱼ₌₁ⁿvⱼ(mⱼ−mⱼ₋₁) est une martingale.

★ À maîtriser

• Un temps à valeurs dans ℕ est un temps d’arrêt si et seulement si {τ≤n}∈Fₙ pour tout n≥0 ; si τ est un temps d’arrêt, alors {τ≥n}∈Fₙ₋₁ pour n≥1.

📐 Formule - La caractéristique quadratique d’une martingale de carré intégrable est $\langle M\rangle_n=\sum_{j=1}^{n}E\bigl((M_j-M_{j-1})^2\mid F_{j-1}\bigr),\quad n\ge1.$

📐 Formule - Pour une martingale de carré intégrable M et un temps d’arrêt borné τ, $E(M_\tau)=M_0,\qquad E(M_\tau^2)=M_0^2+E\langle M\rangle_\tau.$

📐 Formule - Pour des variables ξⱼ i.i.d. intégrables et un temps d’arrêt intégrable τ associé à leur filtration naturelle, l’identité de Wald donne $E(S_\tau)=E(\tau)E(\xi_1),\quad S_n=\sum_{j=1}^{n}\xi_j.$

Compléments

• Si τ et σ sont des temps d’arrêt, alors τ∧σ, τ∨σ et τ+σ sont des temps d’arrêt ; de plus, Fτ est une σ-algèbre et τ est mesurable par rapport à Fτ.

💡 Astuce mémo

Filtration croissante → temps d’arrêt → martingale → arrêt ou transformation