Fiche de révision : Lois discrètes et échantillonnage

📋 Plan du Cours

1. Variables aléatoires discrètes
2. Lois de Bernoulli et moments
3. Échantillonnage avec remise
4. Échantillonnage sans remise
5. Dénombrement hypergéométrique
6. Approximation hypergéométrique binomiale
7. Loi de Poisson et paramètres
8. Sommes et approximation de Poisson

📖 1. Variables aléatoires discrètes

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire discrète : Variable aléatoire réelle à valeurs dans un ensemble E inclus dans ℕ.
• Loi d’une variable discrète : Famille des probabilités p_k = P(X = k), pour les valeurs k de son ensemble E.
• Variable indicatrice : Variable aléatoire discrète à valeurs dans {0, 1}.

📝 Points essentiels

📌 Les probabilités p_k d’une loi discrète sont comprises entre 0 et 1 et leur somme sur E vaut 1.

📖 2. Lois de Bernoulli et moments

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de Bernoulli : Une variable X suit la loi de Bernoulli de paramètre p, notée Ber(p), si P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 − p.
• Espérance : L’espérance d’une variable aléatoire discrète de loi (p_k) est la somme des produits de chaque valeur k par sa probabilité p_k : $\mathbb{E}[X]=\sum_{k\in E} k p_k$.
• Variance : Pour une variable discrète X d’espérance finie, la variance est $\operatorname{Var}(X)=\sum_{k\in E}(k-\mathbb{E}[X])^2p_k=\sum_{k\in E}k^2p_k-(\mathbb{E}[X])^2$.

📝 Points essentiels

📌 Toute variable indicatrice suit une loi de Bernoulli de paramètre p = P(X = 1).

• Pour un tirage équiprobable d’un lymphocyte, l’indicatrice de l’événement « le lymphocyte tiré est un lymphocyte T » suit une loi de Bernoulli dont le paramètre est la proportion de lymphocytes T dans la population.

📐 Formule - Pour une variable X de loi Ber(p), $\mathbb{E}[X]=p$.

📐 Formule - Pour une variable X de loi Ber(p), $\operatorname{Var}(X)=p(1-p)$.

📖 3. Échantillonnage avec remise

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi binomiale : Une variable X à valeurs dans {0, …, n} suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n,p), si $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ pour tout k de 0 à n.

★ À maîtriser

• La somme de n variables indépendantes de même loi Ber(p) suit la loi B(n,p).

📐 Formule - Si X suit B(n,p), $\mathbb{E}[X]=np$ et $\operatorname{Var}(X)=np(1-p)$.

Compléments

📌 Lors d’un tirage de taille n avec remise dans une population où la proportion de succès est p, le nombre de succès suit B(n,p).

📖 4. Échantillonnage sans remise

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi hypergéométrique : Pour une population de N individus dont K vérifient une propriété, avec p = K/N, un échantillon de taille n sans remise donne une variable X de loi H(n,p,N), de support {a,…,b}, où a = max(0,n−N+K), b = min(n,K), et $P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si X suit H(n,p,N), $\mathbb{E}[X]=np$ et $\operatorname{Var}(X)=np(1-p)\frac{N-n}{N-1}$.

Compléments

📌 La loi binomiale et la loi hypergéométrique ont la même espérance np, mais la variance hypergéométrique est inférieure ou égale à la variance binomiale et tend vers celle-ci lorsque N tend vers l’infini.

📖 5. Dénombrement hypergéométrique

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une loi hypergéométrique de paramètres n, p et N, la probabilité d’obtenir k succès est $P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$.

Compléments

• Dans la formule hypergéométrique, le numérateur compte les échantillons favorables en choisissant k succès parmi K et n − k échecs parmi N − K, tandis que le dénominateur compte tous les échantillons possibles.

📖 6. Approximation hypergéométrique binomiale

★ À maîtriser

• Une variable de loi hypergéométrique H(n,p,N) est approximativement de loi binomiale B(n,p) lorsque N est grand devant n, avec le critère N ≥ 20n.

Compléments

• Lorsque N est grand devant n, les tirages avec et sans remise donnent approximativement les mêmes probabilités, et l’approximation binomiale évite d’avoir à connaître exactement N.

💡 Astuce mémo

Quand N grandit devant n, l’effet du tirage sans remise diminue et l’approximation binomiale devient possible.

📖 7. Loi de Poisson et paramètres

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de Poisson : La loi de Poisson de paramètre λ>0 est une loi discrète sur les entiers k≥0 telle que $P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une variable X de loi de Poisson P(λ), $E[X]=\operatorname{Var}(X)=\lambda$.

Compléments

• La série exponentielle $e^\lambda=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k}{k!}$ garantit que les probabilités de la loi de Poisson ont une somme égale à 1.

• Si une variable de comptage est multipliée par 1000 lors d’un changement d’unité, sa moyenne est multipliée par 1000 et sa variance par 10⁶; l’égalité de la moyenne et de la variance ne persiste donc pas.

📖 8. Sommes et approximation de Poisson

★ À maîtriser

📌 Si X₁ et X₂ sont indépendantes et suivent respectivement des lois de Poisson de paramètres λ₁ et λ₂, alors X₁+X₂ suit une loi de Poisson de paramètre λ₁+λ₂.

📌 En pratique, on approxime B(n,p) par P(λ) avec λ=np lorsque n est grand et p petit, en prenant comme critères n≥20 et p≤0,05.

Compléments

• Pour 6 lymphocytes T de paramètre 3 et 4 lymphocytes NK de paramètre 4,5, si les nombres de granules cytotoxiques sont indépendants, leur total suit une loi de Poisson de paramètre 6×3+4×4,5=36.

• Quand n tend vers l’infini avec p=λ/n, la loi binomiale B(n,p) converge vers la loi de Poisson P(λ).

💡 Astuce mémo

Hypergéométrique → binomiale → Poisson.

📊 Tableaux de synthèse

Tirages avec et sans remise