Flashcards : Lois discrètes et échantillonnage (40 cartes)

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1Question

Dans quel ensemble une variable aléatoire discrète prend-elle ses valeurs ?

Réponse

Dans un ensemble inclus dans ℕ.

2Question

Comment définit-on la loi d’une variable discrète $X$ ?

Réponse

La famille des probabilités $p_k = P(X = k)$ pour les valeurs $k$ de son ensemble $E$ .

3Question

Quelles probabilités caractérisent une variable X de loi de Bernoulli Ber(p) ?

Réponse

$P(X=1)=p$ et $P(X=0)=1-p$ .

4Question

Comment calcule-t-on l’espérance d’une variable discrète de loi $(p_k)$ ?

Réponse

$\mathbb{E}[X]=\sum_{k\in E}kp_k$ .

5Question

Comment calcule-t-on la variance d’une variable discrète X d’espérance finie ?

Réponse

$\operatorname{Var}(X)=\sum_{k\in E}(k-\mathbb{E}[X])^2p_k=\sum_{k\in E}k^2p_k-(\mathbb{E}[X])^2$ .

6Question

Quelle formule définit la loi binomiale de paramètres n et p pour X ?

Réponse

$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ pour tout entier k de 0 à n.

7Question

Quelle loi suit la somme de n variables indépendantes de loi Ber(p) ?

Réponse

La loi binomiale B(n,p).

8Question

Quelle est l’espérance d’une variable X de loi B(n,p) ?

Réponse

$np$ .

9Question

Quelle est la variance d’une variable X de loi B(n,p) ?

Réponse

$np(1-p)$ .

10Question

Comment se définit la loi hypergéométrique pour un échantillon sans remise ?

Réponse

$X\sim H(n,p,N)$ , où $p=K/N$ .

11Question

Quelles sont les bornes du support d’une loi hypergéométrique ?

Réponse

$a=\max(0,n-N+K)$ et $b=\min(n,K)$ .

12Question

Quelle est la formule de la probabilité d’une loi hypergéométrique ?

Réponse

$P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$ .

13Question

Quelle est l’espérance de $X\sim H(n,p,N)$ ?

Réponse

$\mathbb{E}[X]=np$ .

14Question

Quelle est la variance de $X\sim H(n,p,N)$ ?

Réponse

$\operatorname{Var}(X)=np(1-p)\frac{N-n}{N-1}$ .

15Question

Quelle loi binomiale approxime $H(n,p,N)$ lorsque $N\geq 20n$ ?

Réponse

La loi $B(n,p)$ .

16Question

Quelle formule définit la loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$ pour $k\geq0$ ?

Réponse

$P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ .

17Question

Quelle égalité relie espérance et variance pour une variable de loi $P(\lambda)$ ?

Réponse

$E[X]=\operatorname{Var}(X)=\lambda$ .

18Question

Quelle loi suit la somme de deux variables de Poisson indépendantes de paramètres $\lambda_1$ et $\lambda_2$ ?

Réponse

Une loi de Poisson de paramètre $\lambda_1+\lambda_2$ .

19Question

Quels critères pratiques permettent d’approcher $B(n,p)$ par $P(np)$ ?

Réponse

$n\geq 20$ et $p\leq 0{,}05$ .

20Question

Quelles valeurs une variable indicatrice peut-elle prendre ?

Réponse

0 ou 1.

21Question

Entre quelles bornes se trouvent les probabilités $p_k$ d’une loi discrète ?

Réponse

Entre 0 et 1.

22Question

Quelle est la somme des probabilités $p_k$ d’une loi discrète sur $E$ ?

Réponse

23Question

Quel paramètre p caractérise la loi de Bernoulli d’une variable indicatrice X ?

Réponse

$p=P(X=1)$ .

24Question

Quel est le paramètre de Bernoulli de l’indicatrice d’un lymphocyte T tiré au hasard ?

Réponse

La proportion de lymphocytes T dans la population.

25Question

Quelle est l’espérance d’une variable X de loi Ber(p) ?

Réponse

$\mathbb{E}[X]=p$ .

26Question

Quelle est la formule de la variance d’une variable X de loi Ber(p) ?

Réponse

$\operatorname{Var}(X)=p(1-p)$ .

27Question

Quelle espérance la loi binomiale partage-t-elle avec la loi hypergéométrique ?

Réponse

$np$ .

28Question

Comment la variance hypergéométrique se compare-t-elle à la variance binomiale ?

Réponse

Elle lui est inférieure ou égale.

29Question

Vers quelle variance tend la variance hypergéométrique quand $N$ tend vers l’infini ?

Réponse

Vers la variance binomiale.

30Question

Que compte le numérateur de la formule hypergéométrique ?

Réponse

Les échantillons favorables.

31Question

Comment choisit-on les éléments d’un échantillon favorable dans la formule hypergéométrique ?

Réponse

On choisit $k$ succès parmi $K$ et $n-k$ échecs parmi $N-K$ .

32Question

Que compte le dénominateur de la formule hypergéométrique ?

Réponse

Tous les échantillons possibles.

33Question

Que donne l’approximation lorsque les tirages se font avec ou sans remise ?

Réponse

Des probabilités approximativement identiques.

34Question

Quel avantage l’approximation binomiale offre-t-elle concernant $N$ ?

Réponse

Elle évite de connaître exactement $N$ .

35Question

Que garantit la série exponentielle pour les probabilités d’une loi de Poisson ?

Réponse

Leur somme est égale à 1.

36Question

Comment la variance change-t-elle si une variable de comptage est multipliée par 1000 ?

Réponse

Elle est multipliée par $10^6$ .

37Question

Comment la moyenne change-t-elle si une variable de comptage est multipliée par 1000 ?

Réponse

Elle est multipliée par 1000.

38Question

Que devient l’égalité entre moyenne et variance après cette conversion d’unité ?

Réponse

Elle ne persiste pas.

39Question

Quel paramètre suit le total des granules cytotoxiques chez six lymphocytes T et quatre lymphocytes NK indépendants ?

Réponse

36.

40Question

Vers quelle loi converge $B(n,p)$ quand $n$ tend vers l’infini et $p=\lambda/n$ ?

Réponse

Vers la loi de Poisson $P(\lambda)$ .

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 16 questions sur Lois discrètes et échantillonnage.

1. Une variable aléatoire réelle prend ses valeurs dans l’ensemble $\{0,2,5\}$ . Quelle propriété permet de la qualifier de discrète ?

2. Pour une variable discrète $X$ prenant ses valeurs dans $E$ , que désigne sa loi ?

Faire le QCM →

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